Integrali - riassunto PDF

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INTEGRALI Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: il primo problema, affrontato dall’integrale definito, riguarda il calcolo di superfici qualsiasi come quelle del sotto-grafico di una funzione, il secondo invece, affrontato dall’integrale indefinito, consiste nell’effettuare il calcolo inverso della funzione derivata, ovvero data una funzione f(x), definita in un intervallo I, determinare una funzione la cui derivata sia f(x), ossia una primitiva della funzione data. Questi due problemi apparentemente indipendenti sono collegati dal teorema fondamentale del calcolo integrale, secondo cui per una funzione continua calcolare l’integrale definito lo si fa a partire dalla conoscenza della funzione primitiva. Per quanto riguarda il problema affrontato dall’integrale indefinito, la primitiva di una funzione, se esiste, non è unica. Si può perciò concludere che l’operatore derivata non è invertibile. È però impossibile caratterizzare l’insieme di tutte le primitive di una funzione data. Sappiamo però che due funzioni derivabili hanno la stessa derivata se e solo se differiscono per una costante, quindi due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante. Ciò significa che siano date f : I → R e F : I → R derivabile in I , F primitiva di f, per definizione, se e solo se F’(x) = f(x) ∀x ∈ I . 1° TEOREMA SULLA PROPRIETÀ DELLA PRIMITIVA R derivabile in I. Definiamo un intervallo e non Siano date due funzioni f : I e F : I un insieme qualsiasi perché la seconda proprietà è una conseguenza del teorema di Lagrange e se la funzione è definita in un unione di intervalli, in ogni intervallo potrei definire una costante diversa.

Se F è primitiva di f , allora anche F+c è primitiva di f (c ∈ R ). Per ipotesi sappiamo che F è primitiva di f su I e per definizione di primitiva abbiamo che: F ’ ( x )=f ( x ) ∀x ∈ I . Allora anche (F+ c)’=f =¿ F+c primitiva di f Se F e G sono primitive di f, allora ∃c ∈ R ∋' F=G +c ∀x ∈ I . Poniamo H (x )=F(x )– G ( x ) , si ha che H ’(x )= F ’ (x) – G ’(x )= f (x )– f (x )=0 ( per definizione di primitiva G’=F ’=f (x ) ). Come conseguenza del teorema di Lagrange ( Se la derivata della differenza è 0 in tutto l’intervallo, le due funzioni differiscono per una costante) , possiamo asserire che esiste c ∈R

∋

'

F=G+c

INTEGRALE INDEFINITO L’integrale indefinito è l’insieme di tutte le primitive della funzione. Sia f : I  R, l’integrale indefinito di f in I = ∫ f (x) dx, è l’insieme di tutte e sole le primitive di f in I , ovvero F(x )+c , ove F(x ) è primitiva di f e c ∈ R . L’integrale indefinito è un operatore

lineare,

[ f ( x ) ∓ g ( x ) ] dx =¿∫ f ( x ) dx

quindi

∫ f ( x ) dx c ∈ R

∫¿

∓

∫ g( x ) dx

e

∫ c f ( x )dx

=

c

.

METODI DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

∫ f ( x ) dx allora

x = φ ( t ) invertibile e derivabile

∫ f (φ ( t ))φ ' (t )

dt

dx = φ' ( t ) dt

PER PARTI Questo metodo di integrazione si applica quando c’è un prodotto tra due funzioni e una delle due funzioni è già calcolabile come primitiva.

∫ f ( x ) g'( x ) dx

¿ f (x )g ( x ) – ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx

Dimostrazione: D [ f (x )g (x )]=f ’( x )g ( x )+ g ’( x ) f (x )

∫ D [ f ( x ) g ( x ) ] dx = f ’( x ) g ( x ) dx+¿ f (x) g(x)=∫ ¿

f ’ ( x ) g ( x )+¿ g ’ ( x ) f ( x ) dx ∫¿

∫ g ’ (x) f ( x ) dx

∫ g ’ ( x)f ( x ) dx=f ( x ) g ( x ) −∫ f ’ ( x ) g ( x ) dx

INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE CONTINUA ( E LIMITATA) Sia f : [a ;b ] ⊆ R → R continua in [ a ;b ] . Vogliamo calcolare l’area S del trapezoide, ovvero della regione di piano delimitata dal grafico di f dall’asse x e dalle rette verticale x = a e x = b (figura con un lato curvilineo e gli altri rettilinei). L’idea è di approssimare il trapezoide in n numero di intervalli tali da essere simili a rettangoli. Se f > 0 , allora il grafico si trova tutto al di sopra dell’asse delle ascisse. Consideriamo una suddivisione D dell’intervallo [a; b] in n intervalli (per semplicità) di b− a n

uguale ampiezza Δ x =

 D = { x 0 ;… x n } con a=¿

x0

< x n=b .

In ciascuno di questi intervalli la funzione è continua, quindi, per il teorema di Weierstrass, ammette un min e max assoluto. Posso definire dunque per il generico intervallo m i = min f(x) con i che varia da 1 a n e x ∈ [xi -1 ; xi ] e Mi = max f(x) con x ∈ [xi -1 ; xi ] (  Mi e mi esistono per il teorema di Weierstrass). L’ area della figura che è costituita dalla somma di rettangoli che hanno come altezza il minimo, che si chiama plurittangolo iscritto nel trapezoide, costituirà una approssimazione per difetto dell’area S del trapezoide. La somma integrale inferiore s n rappresenta l’area del m

plurirettangolo iscritto nel trapezoide e sarà uguale a sn = m1 Δ x + … mn Δ x (

∑ mi Δx ) i=1; n

Considero invece la figura costituita dalla somma dei rettangoli che hanno come altezza il massimo, ovvero il plurirettangolo circoscritto al trapezoide. La sua area costituirà un’approssimazione per eccesso dell’area S del trapezoide. Chiamo S n la somma integrale superiore che sarà l’area del plurirettangolo circoscritto nel trapezoide e sarà uguale a s n = m

M1

Δ x + … Mn Δ x (

∑

M i Δx ).

i=1; n

Se la prima è una approssimazione per difetto di S e la seconda per difetto, allora s n ≤ S Sn = S. Il valore comune S, ovvero l’area del = nlim →+∞ trapezoide, per definizione si chiama integrale della funzione estesa all’intervallo [a; b] : ≤ Sn. Si dimostra che b

lim sn

n →+∞

∫ f ( x ) dx , con a estremo inferiore di integrazione e b estremo superiore di integrazione. a

Se f < 0, allora il grafico si trova tutto al di sotto dell’asse delle ascisse. Il Δ x =

b− a n

rimane sempre positivo, ma in questo caso i max e i min sono negativi, allora s n ¿ 0 e Sn b

¿ 0 . Allora

∫ f ( x ) dx

¿−S .

a b

Se f è di segno qualsiasi allora

∫ f ( x ) dx sarà uguale alla somma algebrica delle aree del a

sotto-grafico prese col segno positivo negli intervalli in cui f > 0, con segno negativo negli intervalli in cui f < 0. Data una funzione f continua in un intervallo chiuso e limitato, dicesi integrale definito ¿ esteso all’intervallo a e b, il valore comune del lim n →∞

delle successioni delle somme

integrali inferiori e superiori relative ad esse. Geometricamente rappresenta l’area orientata, ovvero la somma algebrica delle aree del sottografico prese con il segno + quando f > 0, con il segno – quando f < 0. ALCUNE PROPRIETÀ ELEMENTARI DELL’INTEGRALE DEFINITO a

1.

∫ f ( x ) dx=0 a

2.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx=−∫f ( x) dx b

3.

b

a

a

∫ f ( x ) +g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx a

4.

b

b

b

a

a

∫ c f ( x) dx = c ∫ f ( x ) dx

c∈ R

FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Sia f :[ a; b ] R continua in [ a ; b] , allora detta F(x ) una primitiva di f , l’integrale definito tra a e b di f (x) è uguale alla differenza dei valori assunti dalla primitiva F(x ) negli estremi a e b: b

∫ f ( x ) dx = F ( b) −F ( a) a

Applicazioni fisiche: 1 Lavoro in una trasformazione isoterma di un gas perfetto Se voglio calcolare il lavoro compiuto da una trasformazione isoterma di un gas perfetto, devo calcolare l’area del sottografico pv, dove p = nRT v

( nRT =cost  y = k\x)

v2

Quindi L =

v2

∫ p dV v1

nRT dV = ∫ v v

v2

1 v

= nRT ∫ dV = nRT (ln V2 – lnV 1). Se V2 > V1 abbiamo v1

1

una frazione impropria, quindi un lavoro positivo, se V2 < V 1 abbiamo un lavoro negativo. 2 Calcolo energia potenziale LA B = UA - UB. Immaginiamo di spostarci da un punto A ad un punto B, il percorso per calcolare il lavoro è indifferente (F conservativa). Se mi sposto da A a A 1 lungo un arco di B

1

circonferenza, il lavoro è 0 e poi da A a B, dove LA B

[ ( )] −1 −1 − rB rA

rB

∫ rA

GMm dr . r2

GMm=

−GMm rB

GMm = ∫ 2 dr =GMm r A

B

∫ r12 dr =¿ A

−GMm , ovvero UA - UB. l’energia potenziale è dunque rA...