Integrali dalla A alla Z PDF

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Gli integrali1-Gli integrali indefiniti1-Prime definizioniPRIMITIVA di 푓( 푥) : una primitiva di 푓( 푥) è una qualsiasi funzione che derivata risulta 푓( 푥) .퐹(푥) è primitiva di 푓(푥)  퐹′(푥)= 푓(푥) ∀푥 ∈ ℝ.Se 퐹( 푥) e 퐺( 푥) sono due primitive di 푓( 푥) su A  ∃푐 ∈ ℝ tale che 퐺( 푥) = 퐹( 푥) + 푐.ERRORE FREQ...

Description

Gli integrali 1-Gli integrali indefiniti 1.1-Prime definizioni PRIMITIVA di 𝑓(𝑥): una primitiva di 𝑓(𝑥) è una qualsiasi funzione che derivata risulta 𝑓(𝑥).

𝐹(𝑥) è primitiva di 𝑓(𝑥)  𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)

∀𝑥 ∈ ℝ.

Se 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) sono due primitive di 𝑓(𝑥) su A  ∃𝑐 ∈ ℝ tale che 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 .

ERRORE FREQUENTE E’ sbagliato dire che 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. Poiché ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 identifica infinite funzioni.

l’unica cosa che possiamo dire è che ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐.

1.2-Proprietà di linearità di un integrale

∫ 𝛼𝑓(𝑥 ) + 𝛽𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = (𝛼 ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥) + (𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥)

1.3- Regola di Integrazione per parti

1.4- Regola di Integrazione per sostituzione

Esempio: ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝑥2

∫ 𝒇(𝝋(𝒙)) ∗ 𝝋(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝝋(𝒙)) + 𝑪 𝑦′ 2 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑦 pongo y = x → 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 2 2

𝑦′ 1 𝑦 1 ∫ ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = ∗ 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 +𝑐; 2 2 2

∫ 𝑥 𝑒𝑥 = 2

1 𝑥2 𝑒 +𝐶, 2

𝐶𝜖ℝ

𝑐𝑜𝑛 𝑦 = 𝑥 2

𝒇′ (𝒙)

1.5-Integrale di una fratta ∫ 𝒇(𝒙) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 → facendo per sostituzione con 𝑦 = 𝑓(𝑥); ∫ 𝑓(𝑥)

∫

1 𝑑𝑦 = 𝑙𝑜𝑔|𝑦| + 𝐶 con 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑦

𝑓′ (𝑥) ∫ 𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔|𝑓(𝑥 )| + 𝐶

1.7-Teoremi 1.7.1 Teorema fondamentale dell’algebra (forma di un polinomio). Ogni polinomio P(x) di grado m, a coefficienti costanti e reali si scrive in modo unico come: 𝑷(𝒙) = [𝒅(𝒙 − 𝓛𝟏 )𝒓𝟏 ∙∙∙ (𝒙 − 𝓛𝒏 )𝒓𝒏 ][(𝒙𝟐 + 𝟐𝒑𝟏 𝒙 + 𝒒 𝟏 )𝒔𝟏 ∙∙∙ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒑 𝒌 𝒙 + 𝒒𝒌 )𝒔𝒌

Dove ”d”,”𝓛𝒊 ”, ”𝒑𝒋 ”, ”𝒒 𝒋 ” sono numeri reali.

Dove “𝒓𝒊 ”, ”𝒔 𝒋 ” sono interi e tali che 𝒓𝟏 +⋅⋅⋅ +𝒓𝒏 + 𝟐𝒔𝟏 +⋅⋅⋅ +𝟐𝒔𝒌 =m.

Dove “𝓛𝒊 ” sono diversi tra loro ed sono le radici di P(x) e “𝒓𝒊 ” è la loro molteplicità. 𝒔𝒋

Mentre ogni fattore (𝒙𝟐 + 𝟐𝒑𝒋 𝒙 + 𝒒𝒋 ) è distinta e non riducibile in ℝ, ed ad esso vi coincidono due radici complesse e congiunte, che hanno molteplicita 𝒔𝒋 . 1.7.2 Teorema di coincidenza di polinomi. Due polinomi di grado “m-1” coincidono se: a) Se e solo se hanno ordinatamente uguali i coefficienti di ciascuna potenza della variabile indipendente; b) Se e solo se assumono valori uguali in m punti distinti.

1.8-Integrali di polinomi fratti 1.8.1 Integrale di un polinomio con numeratore a grado maggiore 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 +

𝒙+𝟒 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐

𝒙+𝟒 𝑨𝟐 𝑨𝟏 + = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐

𝒙 + 𝟓 = 𝑨𝟏 𝒙 + 𝟐𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 𝒙 − 𝑨𝟐 𝒙 + 𝟓 = 𝒙(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 ) + 𝟐𝑨𝟏 − 𝑨𝟐 ; {

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟏

{

𝟐𝑨𝟏 − 𝑨𝟐 = 𝟓

𝑨𝟏 = 𝟏 − 𝑨𝟐 𝟐 − 𝟐𝑨𝟐 − 𝑨𝟐 = 𝟓

{

𝑨𝟏 = 𝟏 − 𝑨𝟐 −𝟑𝑨𝟐 = 𝟑 𝟏

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙−𝟏 𝒅𝒙 − ∫

∫

𝟐𝒙𝟑+𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟕 𝒙𝟐+𝒙−𝟐

{

𝑨𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 𝑨𝟐 = −𝟏

𝟏

𝒙+𝟐

𝒅𝒙

𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐𝒍𝒐𝒈|𝒙 − 𝟏| − 𝒍𝒐𝒈|𝒙 − 𝟐|

1.8.2 Integrale di un polinomio con denominatore a grado maggiore 𝒇(𝒙) =

𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟒 𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟓

𝒇(𝒙) =

𝑨 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟓

𝑫(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓)



𝟑𝒙𝟐 +𝒙−𝟒

𝒙𝟑 +𝟓𝒙𝟐 +𝟗𝒙+𝟓

= 𝑨𝒙𝟐 + 𝟒𝑨𝒙 + 𝟓𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 + 𝑪

𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟒 = 𝒙𝟐 (𝑨 + 𝑩) + 𝒙(𝟒𝑨 + 𝑩 + 𝑪) + (𝟓𝑨 + 𝑪) 𝑨=𝟑−𝑩 𝑨+𝑩 = 𝟑 {𝟒𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟏 { 𝟏𝟐 − 𝟒𝑩 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟏 𝟓𝑨 + 𝑪 = −𝟒 𝟏𝟓 − 𝟓𝑩 + 𝑪 = −𝟒

𝑨= 𝟑−𝑩 𝑨 = 𝟑 − 𝟒 = −𝟏 𝑨 = −𝟏 { 𝑪 = −𝟏𝟏 + 𝟑𝑩 {𝑪 = −𝟏𝟏 + 𝟏𝟐 = 𝟏 { 𝑩 = 𝟒 𝑩=𝟒 𝑪=𝟏 𝟏𝟓 − 𝟏𝟏 + 𝟒 = 𝟐𝑩 𝟑𝒙𝟐 +𝒙−𝟒

𝟏

∫ 𝒙𝟑 +𝟓𝒙𝟐 +𝟗𝒙+𝟓 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒙+𝟏 𝒅𝒙 + ∫

𝟑𝒙𝟐 +𝒙−𝟒

𝟒𝒙+𝟏+𝟕−𝟕 𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟓

𝒅𝒙

𝟏 ∫ 𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟐+𝟗𝒙+𝟓 𝒅𝒙 = −𝒍𝒐𝒈|𝒙 + 𝟏| + 𝟐 ∫ 𝒙𝟐𝟐𝒙+𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒙 − 𝟕 ∫ (𝒙𝟐 𝟏+ +𝟒𝒙+𝟒) +𝟒𝒙+𝟓 𝟑𝒙𝟐+𝒙−𝟒

∫ 𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟐+𝟗𝒙+𝟓 𝒅𝒙 = −𝒍𝒐𝒈|𝒙 + 𝟏| + 𝟐𝒍𝒐𝒈|𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓| − 𝟕 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈(𝒙 + 𝟐) + 𝑪

2-Gli integrali definiti 2.1-definizione trapezoide

𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑢 𝐼 = [𝑎. 𝑏] ⊂ ℝ

definiamo il TRAPEZOIDE di 𝑓 su 𝐼, 𝑇(𝑓; 𝑎, 𝑏), come la regione di piano delimitata dall’intervallo 𝐼, dalle verticali di “𝑎, 𝑏” e dal grafico di 𝑓 .

Dove: 𝑇(𝑓(𝑥); 𝑎. 𝑏) = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; ≤ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 (𝑥)}

2.2- definizione funzione continua a tratti

𝑓(𝑥): [𝑎, 𝑏] → ℝ è continua a tratti se è continua in ogni punti di [a, b] a parte in un numero finito di punti, ove vi è una discontinuità di tipo salto o trascurabile. 2.3- Integrali secondo Cauchy 2.3.1-Osservazioni sulle funzioni, partizioni e min e max.

Supponiamo: 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑖𝑛 [𝑎, 𝑏] = 𝐼 ⊂ ℝ Sia 𝑛 un qualsiasi numero naturale maggiore di 0  𝑛 ⊂ ℕ+ . 𝑏−𝑎 , mediante i Suddividendo [a, b] in n parti uguali, di ampiezza △ 𝑥 = 𝑛

punti 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘𝛥𝑥; 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 𝟎.

1. 𝑆𝑒 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖:

𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 0

−𝑎

le due curve sono entrambe positivi ed uguali quindi si può calcolare un solo integrale e moltiplicare il risultato per due.

2. 𝑆𝑒 𝑓 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖:

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 −𝑎

le due curve sono opposte in segno ed uguali quindi si annullano.

∫(𝑎 𝑓(𝑥) + 𝑏 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥. ∫

𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔|𝑓(𝑥)| + 𝑐 𝑓(𝑥)

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 .

𝑐𝑜𝑛 𝑦 = 𝑔(𝑥)....