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Integrali doppi: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt`a maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali doppi sugli insiemi specificati: ( ) √ Z q 2 2 2 a) , y 0, y > 0

n

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1, x2 + y2 < 2x, y > 0

n

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + 2y2 < 1, x > 0, y > 0

1

o

o

o

h i 3 4

h

5 48

i

h i 1 16

2

Integrali doppi: esercizi svolti

g)

Z

Ω

x(1 − y) dx dy,

) √ q 2 2 , y 0, y > 0 h n

2 1 6 log 4

√ o √ π < y < 2π

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 4x < 0

n

h

[log 25 − log 24]

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 < y < 2x2 , 1 < x < 2

n

x2 + y2 dx dy,

Ω

r)

n

Ω = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < y2 ,

Ω

q)

1 x < y2 < x, 1 < xy < 2 4

Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4

h

¾

[5 log 2 − 3]

Ω = (x, y) ∈ R2 :

1 dx dy, ( x + y )2 Ω

Ω

2

½

x dx dy, y2

Z

Z

1 1 Ω = (x, y) ∈ R : −1 < x < − , 4x < y < x 2 ½

i

1 16

−

o

7 3

+

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1, x2 + y2 < 2y, x < 0 h

o

3 − 20

i

3

Integrali doppi: esercizi svolti

s)

Z

n

Ω = (x, y) ∈ R2 : 2x2 + 3y2 < 4, x > 0, y > 0

(x + y) dx dy,

Ω

o

h ³√ 4

3+

9

√ ´i 2

Svolgimento a) Consideriamo l’integrale

Z

(x + y) dx dy, dove

Ω

) √ q 2 2 , y 0, y > 0 . y 2.5

2

1.5

1

0.5

x

0 −0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Fig. 4: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω `e sia x-semplice che y-semplice. Osserviamo che Ω presenta una simmetria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ:

(

x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ,

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π,

Allora (x, y) ∈ Ω

⇐⇒

(

|det JΦ (ρ, ϑ)| = ρ.

1 0, y > 0 . y 2

1

x

0 −2

−1

0

1

2

−1

−2

Fig. 24: L’insieme Ω (in azzurro).

Essendo Ω la parte del I quadrante inclusa nell’ellisse di equazione

x2 2

+

y2 4 3

passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi √ ( x = 2ρ cos ϑ 2√ 6ρ. ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π, |det JΦ (ρ, ϑ)| = Φ: √ 3 y = 32 3ρ sin ϑ, Allora (x, y) ∈ Ω

⇐⇒

(

0...