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TALLER DE MATEMÁTICAS TALLER DE MATEMÁTICAS Autores: J.V. Becerril E., D. Elizarraraz M., R. Herrera A., R. Pérez F., L.F. Reséndis O., M. Salazar A., C.A. Ulı́n J., C. Zubieta B. Coordinador: L. F. Reséndis O. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapo...

Description

´ TALLER DE MATEMATICAS

´ TALLER DE MATEMATICAS

Autores: J.V. Becerril E., D. Elizarraraz M., R. Herrera A., R. P´ erez F., L.F. Res´ endis O., M. Salazar A., C.A. Ul´ın J., C. Zubieta B. Coordinador: L. F. Res´ endis O.

Departamento de Ciencias B´ asicas Universidad Aut´ onoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco

Rector General Enrique Fernández Fassnacht Secretaria General Iris Santacruz Fabila Coordinador General de Difusión Carlos Ortega Guerrero Director de Publicaciones y Promoción Editorial Bernardo Ruiz Subdirectora de Publicaciones Laura González Durán Subdirector de Distribución y promoción editorial Marco Moctezuma

UNIDAD AZCAPOTZALCO Rectora Gabriela Paloma Ibáñez Villalobos Secretario Dario Guaycochea Guglielmi Director de la División de Ciencias Básicas e Inganiería Luis Enrique Noreña Franco Secretaria Académica Ma. de Lourdes Delgado Nuñez Jefe del Departamento de Ciencias Básicas David Elizarraraz Martínez Presidente del Consejo Editorial de la División de CBI Alejandro León Galicia Presidente del Comité Editorial de la División de CBI Lucio Vazquez Briseño Jefa de la Oficina de Producción Editorial y Difusión de Eventos de la División de CBI Rosa Ma. Benítez Mendoza

Taller de Matemáticas Primera edición 2013 Distribución nacional Diseño Gráfico: Juan Manuel Galindo Medina D.R. © 2013, Universidad Autónoma Metropolitana Prolongación Canal de Miramontes 3855, Ex Hacienda San Juan de Dios, Delegación Tlalpan 14387 México, D.F. D.R. © 2013 J.V. Becerril E., D. Elizarraraz M., R. Herrera A., R. Pérez F., L.F. Reséndis O., M. Salazar A., C.A. Ulín J., C. Zubieta B. Unidad Azcapotzalco / División de Ciencias Básicas e Ingeniería / Departamento de Ciencias Básicas Tel. (55) 5318 9011 - 9012, Fax (55) 5394 7385 ISBN de la colección: 978-607-477-934-9 Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada o transmitida, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma y por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo y por escrito, de los editores.

Impreso en México / Printed in Mexico Este material fue dictaminado y aprobado para su publicación por el Comité Editorial de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería de la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco en su sesión del día 28 de febrero del año 2013.

´ PROLOGO

Este libro presenta los temas del curso Taller de Matem´aticas, que forma parte del programa de nivelaci´on acad´emica de la Divisi´on de Ciencias B´asicas e Ingenier´ıa de la Universidad Aut´onoma Metropolitana, unidad Azcapotzalco. Se ha escrito con la intenci´on de ser un texto para el curso Taller de Matem´aticas, asimismo una gu´ıa para el profesor que imparte el curso y para el alumno que lo estudia; principalmente en cuanto a las habilidades operativas, que se desea alcance el estudiante al finalizar el curso. Se presentan de manera accesible, los conceptos necesarios para abordar los ejemplos y ejercicios del libro. En general, el contenido es material que el alumno ya conoce o debiese conocer de sus cursos de secundaria y bachillerato, sin embargo se han adicionado argumentos que ilustran algunos conceptos o que justifican algunos resultados, lo cual favorece que estudiantes que no han cubierto determinados temas en su anterior formaci´on, lo puedan hacer a partir del propio texto. Los ejemplos est´an resueltos con detalle y se espera que el alumno los lea y revise con atenci´on, procurando siempre entender cada uno de los pasos que se han redactado en la soluci´on de los mismos. Un prop´osito m´as es ofrecer al estudiante la oportunidad de resolver suficientes ejercicios que le ayuden a fortalecer lo bien aprendido y a corregir errores debidos a deficiencias en su formaci´on. En vista de lo anterior se han inclu´ıdo las soluciones al final de cada grupo de ejercicios. La abundante cantidad de ´estos tiene por finalidad que el profesor pueda trabajar en clase con equipos de estudiantes y as´ı asignar ejercicios distintos a cada uno de ´estos. La conducci´on del curso de Taller, presupone s´olo una exposici´on sucinta del material por parte del profesor, por ello es deseable que el estudiante lea el material te´orico y los ejemplos resueltos con anticipaci´on para que, en clase, la explicaci´on del profesor se reduzca a aclarar dudas y pasar directamente a la resoluci´on de ejercicios.

En algunas ocasiones, entender bien los ejemplos puede ser suficiente para resolver los ejercicios y el alumno puede omitir la lectura de la teor´ıa, que en general ya ha visto en alguna etapa de su formaci´on escolar. Sin embargo se recomienda leerla, pues as´ı podr´a entender un poco m´as el sustento te´orico de lo que ha aprendido de forma operativa. Aunque el texto ha sido escrito exprofeso para el Taller de Matem´aticas, puede ser usado por estudiantes y profesores de los cursos correspondientes de secundaria y bachillerato. Un lector dedicado se podr´a dar cuenta que es un texto adecuado para un estudio autodidacta. La escritura de este texto ha sido un esfuerzo colegiado de los autores, donde las diversas filosof´ıas personales de ense˜ nanza de las matem´aticas, redacci´on y escritura de textos matem´aticos, conocimiento matem´atico, concepciones sobre los estudiantes y muchos elementos m´as, fueron vertidas en los manuscritos originales y puestas a discusi´on en m´ ultiples reuniones de trabajo. Sabemos que cualquier trabajo es perfeccionable y tambi´en es el caso de este texto. Agradecemos a las autoridades de la Divisi´on de Ciencias B´asicas e Ingenier´ıa de la Universidad Aut´onoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco, su inter´es y apoyo para la escritura y edici´on de este libro.

´Indice general 1. Aritm´ etica 1.1. Los n´ umeros reales . . . . . . . . . 1.1.1. Propiedades de los n´ umeros 1.2. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . 1.3. Producto de n´ umeros racionales . . 1.4. Fracciones equivalentes . . . . . . 1.5. Fracciones irreducibles . . . . . . . 1.6. Divisi´on de n´ umeros racionales . . 1.7. Suma de n´ umeros racionales . . . .

. . . . reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 2. Algebra 2.1. Notaci´on algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Exponentes Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Exponentes fraccionarios y radicales . . . . . . . . 2.3. Operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Multiplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Producto de binomios conjugados . . . . . . . . . 2.4.2. Producto de dos binomios con un t´ermino com´ un 2.4.3. Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Tri´angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. F´ormula del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Factor com´ un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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15 15 16 17 21 22 23 25 28

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37 37 39 39 46 59 59 61 67 82 82 85 88 92 95 100 103 103

´ Indice general

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2.6.

2.7. 2.8.

2.9.

2.5.2. Factorizaci´on por agrupaci´on . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5. Trinomio cuadr´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6. Suma y diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . 2.5.7. Miscel´anea de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Simplificaci´on de fracciones algebraicas . . . . . . . . 2.6.2. Multiplicaci´on y divisi´on de fracciones algebraicas . . 2.6.3. Suma de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Otras fracciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . Racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Ecuaciones de primer grado con una inc´ognita . . . . 2.8.2. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos inc´ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3. M´etodo de sustituci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4. M´etodo de suma o resta . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.5. Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado . . . . Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. El m´etodo de factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2. M´etodo de completaci´on de cuadrados . . . . . . . . 2.9.3. La f´ormula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Geometr´ıa ´ 3.1. Angulos y rectas paralelas . . . 3.2. Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Tri´angulos . . . . . . . . . 3.2.2. Cuadril´ateros . . . . . . . 3.3. El c´ırculo . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. El per´ımetro de un c´ırculo 3.3.2. El ´area de un c´ırculo . . . 3.4. S´olidos . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Cilindros . . . . . . . . . 3.4.2. Conos . . . . . . . . . . . 3.4.3. Esferas . . . . . . . . . . .

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106 109 110 113 125 128 133 133 135 140 146 155 159 159

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168 171 175 179 189 189 193 197

203 . 203 . 210 . 210 . 218 . 222 . 222 . 226 . 228 . 228 . 232 . 234

´ Indice general

13

4. Geometr´ıa anal´ıtica 4.1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. La l´ınea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Inclinaci´on y pendiente de una recta . . . . . 4.2.2. Ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos 4.2.3. Ecuaci´on de la recta punto-pendiente . . . . . 4.2.4. Ecuaci´on de la recta de pendiente-ordenada . 4.2.5. Rectas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6. Rectas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ecuaci´on general de la recta . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Intersecci´on de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Ecuaci´on general de la circunferencia . . . . . 4.8. La par´abola vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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247 . 247 . 250 . 250 . 253 . 254 . 256 . 257 . 258 . 259 . 261 . 264 . 267 . 270 . 271 . 278

5. Trigonometr´ıa 5.1. Las funciones trigonom´etricas 5.2. El c´ırculo trigonom´etrico . . 5.3. Los ´angulos escuadra . . . . . 5.4. Identidades trigonom´etricas . 5.5. Aplicaciones . . . . . . . . .

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285 285 293 302 305 311

Cap´ıtulo 1 Aritm´ etica En este cap´ıtulo se revisan conceptos, propiedades y operaciones entre n´ umeros racionales.

1.1.

Los n´ umeros reales

El conjunto de n´ umeros reales se denota por R. No se da una definici´on rigurosa de este conjunto de n´ umeros, s´olo se recuerdan algunos subconjuntos destacados de n´ umeros reales. El primero de ellos es el conjunto de los n´ umeros naturales, denotado por N, que consta de los n´ umeros que se usan para contar y es N = { 1, 2, 3, . . . }

donde los puntos suspensivos indican que la lista continua dando lugar a un conjunto infinito. La necesidad de resolver ecuaciones de la forma x + 1 = 0, o m´as generalmente x + a = 0, para a ∈ N, propici´o la introducci´on de los n´ umeros enteros, denotados por Z, m´as precisamente Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } . a Una fracci´ on es un n´ umero de la forma , donde a es un n´ umero entero b llamado el numerador de la fracci´on y b es otro n´ umero entero, con b ̸= 0 y llamado denominador de la fracci´on. El conjunto de todas las fracciones es el conjunto de los n´ umeros racionales; se denota como a Q = { q = , a, b ∈ Z, b ̸= 0 } . b 15

16

Cap´ıtulo 1.

Aritm´etica

Se observa que N⊂Z⊂Q⊂R. Existen n´ umeros reales que no pueden expresarse en forma de fracci´on, a tales n´ umeros se les llama irracionales y el conjunto de estos n´ umeros se √ denota por I. Los n´ umeros 2 y π son ejemplos de n´ umeros irracionales. Finalmente se tiene el conjunto de los n´ umeros reales como la uni´on de estos dos conjuntos ajenos, es decir: R=Q∪I , con Q ∩ I = ∅.

1.1.1.

Propiedades de los n´ umeros reales

Los n´ umeros reales junto con las operaciones de suma y producto, satisfacen ciertas propiedades que se aplican cuando se opera con ellos, las cuales son conocidas. A continuaci´on se enuncian de manera expl´ıcita algunas de estas propiedades. Para cada a, b ∈ R: Cerradura. Se tiene a + b y a · b ∈ R. Es decir, la suma y el producto de dos n´ umeros reales es nuevamente un n´ umero real. Conmutativa. Se tiene a + b = b + a y a · b = b · a. Esto es, el orden de los t´erminos en la suma y el de los factores en el producto, no altera el resultado. Asociativa. Se tiene (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c). Es decir, el orden de asociaci´on al hacer una suma o un producto da el mismo resultado. Distributiva. Se tiene a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a. Es decir, el producto se distribuye con respecto a la suma. Existencia de elementos neutros. Existen dos elementos distintos, 0 ∈ R y 1 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, a · 1 = 1 · a = a. El n´ umero 0 se llama neutro aditivo y el n´ umero 1 neutro multiplicativo. Existencia de inversos. Para cada a ∈ R existe el elemento −a ∈ R, el inverso aditivo de a, tal que a + (−a) = 0. Si a ̸= 0, existe a−1 ∈ R, el inverso multiplicativo de a, tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.

1.2.

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Divisibilidad

Estas propiedades se ense˜ nan y aprenden de manera intuitiva desde los primeros cursos de matem´aticas. De igual forma en este texto se aplicar´an estas propiedades.

1.2.

Divisibilidad

Sean a, b dos n´ umeros enteros. Se dice que b divide al n´ umero a si existe c ∈ Z tal que a = bc. Se observa entonces que a es divisible por b y por c. Se tiene los siguientes criterios de divisibilidad. Un n´ umero es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u ´ 8. Un n´ umero es divisible por 3 si al sumar sus cifras se obtiene un n´ umero m´ ultiplo de 3. Un n´ umero es divisible por 4 si el n´ umero formado por sus dos u ´ ltimas cifras es m´ ultiplo de 4. Un n´ umero es divisible por 5 si termina en 0 ´o bien en 5. Un n´ umero es divisible por 10 si termina en cero. Para saber si un n´ umero es divisible por n´ umeros diferentes a los mencionados anteriormente es necesario realizar la divisi´on. Ejemplo

1.2.1 El n´ umero 875160 es divisible por 2 porque termina en 0 que es un n´ umero par. Es divisible por 3 porque la suma de sus cifras 8 + 7 + 5 + 1 + 6 + 0 = 27 = 3 · 9 es un m´ ultiplo de 3. Es divisible por 4 porque 60 = 4 × 15, que es m´ ultiplo de 4. Es divisible por 5 y por 10, pues termina en 0. Como las divisiones 875160 875160 875160 = 79560 , = 67320 , = 51480 11 13 17 son exactas tambi´en es divisible por 11, 13 y 17.  Ejercicio 1.2.1 Dados los siguientes n´ umeros determine cu´ales son divisibles por 2, 3, 4, 5, 7, 11 y 13. 1. 1000

2. 4800

7. 49140

8. 5824.

3. 28800

4. 2400 5. 660

6. 27720

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Cap´ıtulo 1.

Aritm´etica

Soluciones. 1. 2, 4 y 5

2. 2, 3, 4 y 5

3. 2, 3, 4 y 5

4. 2, 3, 4 y 5

5. 2, 3, 4, 5 y 11

6. 2, 3, 4, 5, 7 y 11

7. 2, 3, 4, 5, 7 y 13

8. 2, 4, 7 y 13.

Un n´ umero natural, diferente de 1, se llama primo si s´olo es divisible por si mismo y la unidad. Los primeros n´ umeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . y hay una infinidad de ellos. Se recuerda que (n factores)

z }| { a = a · a · a···a , n

es decir, an abrevia el producto de a realizado n veces. Teorema 1.2.1 Todo n´ umero natural a se puede escribir de manera u ´nica como el producto de sus diferentes factores primos, contando multiplicidades. As´ı a = p1α1 pα2 2 · · · pαnn

con p1 , . . . , pn n´ umeros primos distintos, y α1 , . . . , αn ∈ N. Ejemplo

1.2.2 Escribir como producto de sus factores primos al n´ umero

257400. Soluci´ on. Para ello se considera el siguiente arreglo y se usan los criterios de divisibilidad 257400 2 se toma mitad 128700 2 se toma mitad 64350 2 se toma mitad 32175 3 se toma tercera 10725 3 se toma tercera 3575 5 se toma quinta 715 5 se toma quinta 143 11 se toma onceava 13 13 se toma treceava 1

1.2.

19

Divisibilidad

Los factores primos aparecen en la segunda columna y sus repeticiones indican su multiplicidad. As´ı, se tiene 257400 = 23 · 32 · 52 · 11 · 13 y esta es la descomposici´on que afirma el teorema anterior.  Ejercicio 1.2.2 Dados los siguiente n´ umeros, escriba su descomposici´on en n´ umeros primos. 1. 42

2. 5400

7. 28875

8. 139425.

3. 1848

4. 31500 5. 15210

6. 13310

Soluciones. 2. 23 · 33 · 52

1. 2 · 3 · 7

5. 2 · 32 · 5 · 132 6. 2 · 5 · 113

3. 23 · 3 · 7 · 11

4. 22 · 32 · 53 · 7

7. 3 · 53 · 7 · 11

8. 3 · 52 · 11 · 132 .

El m´ınimo com´ un m´ ultiplo (m.c.m) de dos n´ umeros a, b ∈ N es el n´ umero m´as peque˜ no que es m´ ultiplo tanto de a como de b. Dos n´ umeros naturales a y b se dicen primos relativos si su m.c.m. es ab; equivalentemente los n´ umeros primos que aparecen en la descomposici´on prima de a son todos diferentes a los que aparecen en la descomposici´on prima de b. Ejemplo

1.2.3 Determinar el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 36 y 15.

Soluci´ on. Los m´ ultiplos de 15 son {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, . . .} y los de 36 son {36, 72, 108, 144, 180, 216, . . .} . De las listas anteriores se observa que el primer m´ ultiplo com´ un, y m´as peque˜ no, de 36 y 15 es 180.  Una manera sistem´atica de obtener el m´ınimo com´ un m´ ultiplo es recurrir a su descomposici´on en factores primos. El siguiente ejemplo lo ilustra. Ejemplo...