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UNIVERSIDAD DE CUENCAFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVASCARRERA DE ECONOMIAALUMNOEduardo OrtizDOCENTE:CARDENAS JARAMILLO RAMON PATRICIO GRUPOEC 04-MATERIA: MICROECONOMÍA II Un monopolista puede producir con costos marginales y medios constantes de CP = CMg = 5 empresa afronta una curva...

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE ECONOMIA ALUMNO Eduardo Ortiz DOCENTE: CARDENAS JARAMILLO RAMON PATRICIO GRUPO EC 04-03 MATERIA: MICROECONOMÍA II

1. Un monopolista puede producir con costos marginales y medios constantes de CP = CMg = 5.La empresa afronta una curva de demanda del mercado de su producto que está determinada por Q = 53 – P. a) Calcule la combinación precio-cantidad que maximiza el beneficio del monopolista. También calcule el beneficio del monopolista. 𝑃 = 53 − 𝑄 𝐼 = 53 − 𝑄2

𝐼𝑚𝑔 = 53 − 2𝑄 𝑖𝑚𝑔 = 𝑐𝑚𝑔

53 − 2𝑄 = 5

𝑄 = 24 𝑃 = 29

𝜋 = 687 − 120 = 576

b) ¿Qué nivel de producción fabricaría esta industria en competencia perfecta, cuando el precio es igual al costo marginal? 53 − 𝑄 = 5 𝑄 = 48 ; 𝑃 = 5

c) Calcule el excedente del consumidor obtenido por los consumidores en el inciso anterior. Demuestre que este excede a la suma del beneficio del monopolista y el excedente del consumidor del inciso a. ¿Cuál es el valor de la perdida de eficiencia económica debida a la monopolización? •

Excedente consumidor competencia perfecta (48)2 = 1152

53

•

•

29

24 ∗ 24 = 576 •

Perdida 24 ∗ 24 = 288 2

5 24 2.

Excedente consumidor 24 ∗ 24 = 288 2 Ganancias

53

Un monopolista afronta una curva de demanda del mercado que está determinada por

Q = 70 – P. a)

Si el monopolista produce con costos medios y marginales constantes e iguales a CM =CMg = 6, ¿qué nivel de producción elegirá el monopolista para maximizar el beneficio? ¿Cuál será el precio para este nivel de producción? ¿A cuánto ascenderá el beneficio del monopolista?

𝑄 = 70 − 𝑃

𝑃 = 70 − 𝑄

𝐼 = 70𝑄 − 𝑄

𝐼𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔 70 − 2𝑄=6

𝑄 = 32; 𝑃 = 38

2

𝜋 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇

𝜋 = 1216 − 192

𝜋 = 1024

b) Supongamos, por el contrario, que el monopolista tiene una estructura de costos en la cual los costos totales están descritos por C(Q) = 0.25Q2 – 5Q + 300. Si el monopolista afronta la misma demanda de mercado e ingreso marginal, .que combinación preciocantidad elegirá ahora para maximizar el beneficio? ¿A cuánto ascenderá el beneficio? 𝜋 = 1200 − [0,25(30)2 − 5(30) + 300]

𝐶𝑚𝑔 = 0,5𝑄 − 5 𝐶𝑚𝑔 = 𝐼𝑚𝑔

𝜋 = 825

0,5𝑄 − 5 = 70 − 2𝑄 2,5𝑄 = 75

𝑄 = 30; 𝑃 = 40

c)

Supongamos ahora que una tercera estructura de costos explica la posición del monopolista, con costos totales determinados por

C(Q) = 0.0133Q3 – 5 Q + 250. De nueva cuenta, calcule la combinación de precio-cantidad del monopolista que maximiza el beneficio. ¿A cuanto ascenderá el beneficio? (Pista: como siempre, iguale CMg =IMg y utilice la formula cuadrática para resolver la ecuación de segundo orden para Q.) 𝐶𝑚𝑔 = 0,0399𝑄2 − 5 𝐶𝑚𝑔 = 𝐼𝑚𝑔

0,0399𝑄2 + 2𝑄 − 75 = 0

399𝑄2 + 20000𝑄 − 75000 = 0 𝑄=

20000 ± √200002 − 4(399)(75000) 2 ∗ 399 𝑄1 = −75,14; 𝑄2 = 25,01

d) Dibuje la curva de demanda del mercado, la curva del ingreso marginal y las tres curvas del costo marginal correspondientes a los incisos a, b y c. Nótese que la capacidad del monopolista para obtener utilidades está limitada por 1) la curva de demanda del mercado, con su correspondiente curva del ingreso marginal, y 2) la estructura de costos que fundamenta la producción.

CmgB

CmgA

3. Una sola empresa monopoliza todo el mercado de artefactos y puede producir con costos promedio y marginales constantes de CM = CMg = 10. Inicialmente, el producto de la empresa tiene una curva de demanda del mercado determinada por Q = 60 – P. a. Calcule la combinación de precio-cantidad que maximiza el beneficio de la empresa. ¿A cuánto asciende el beneficio de la empresa?

𝐼 = 60𝑄 − 𝑄2

𝐼𝑚𝑔 = 60 − 2𝑄

𝐶𝑚𝑔 = 𝐼𝑚𝑔

10 = 60 − 2𝑄

𝑄 = 25; 𝑃 = 35

𝜋 = (25)(35) − (25)(10) 𝜋 = 625

2𝑄 = 50

b. Supongamos ahora que la curva de demanda del mercado se desplaza hacia fuera, pronunciándose más, y que está determinada por Q = 45 – 0.5P.

¿Cuál es ahora la combinación de precio-cantidad que maximiza el beneficio de la empresa? ¿A cuánto asciende el beneficio? 𝑃 = 90 − 2𝑄

𝑄 = 20; 𝑃 = 50

𝐼 = 90𝑄 − 2𝑄 2

𝜋 = (20)(50) − (20)(10) = 800

𝐼𝑚𝑔 = 90 − 4𝑄 𝐶𝑚𝑔 = 𝐼𝑚𝑔 10 = 90 − 4𝑄 4𝑄 = 80

c. En vez de emplear los supuestos del inciso b, supongamos que la curva de demanda del mercado se desplaza hacia fuera, y se hace más plana, y está determinada por Q = 100 – 2P. ¿Cuál es ahora la combinación de precio-cantidad que maximiza el beneficio de la empresa? ¿A cuánto asciende el beneficio?

𝐼 = 50𝑄 −

𝑄2 2

𝑄 = 40; 𝑃 = 50 𝜋 = (40)(30) − (40)(10) = 800

𝐼𝑚𝑔 = 50 − 𝑄 𝐶𝑚𝑔 = 𝐼𝑚𝑔

10 = 50 − 𝑄 d. Dibuje las tres situaciones de los incisos a, b y c. Utilizando sus resultados, explique por qué no hay una auténtica curva de oferta en el caso del monopolio.

𝜋 = 625

60

35

Cmg 10

Img 20

30

40

60

60

𝜋 = 800

45

Cmg 10

Img 30

40

90

100

𝜋 = 800 50

Img Cmg

10 40

50

La curva de oferta de un monopolio es un solo punto, es decir, que cantidad-precio combinación que corresponde a la cantidad para la cual CM = Img. Una de las razones de esto es que, como la curva de demanda se desplaza, su elasticidad (y su curva Img) generalmente cambia provocando cambios de precio y cantidad muy variables.

4. Supongamos que el mercado de Hula Hoops está monopolizado por una sola empresa. a) Dibuje el equilibrio inicial de este mercado.

P’ P Img

Cmg Img Q

’

D’ D

b) Supongamos ahora que la demanda de Hula Hoops se desplaza ligeramente hacia fuera. Demuestre que, por lo general y, contrariamente a lo que ocurre en competencia perfecta, no es posible predecir el efecto que este desplazamiento de la demanda tendrá en el precio de mercado de los Hula Hoops. No existe una curva de oferta para el monopolio; tiene que examinar Img= intersección Cmg porque cualquier cambio en la demanda va acompañado de un cambio en la curva Img ; P puede subir o bajar en respuesta a un aumento de la demanda. c) Consideremos tres formas posibles en que la elasticidad-precio de la demanda podría cambiar cuando la curva de demanda se desplaza: podría aumentar, disminuir o permanecer constante. Consideremos también que los costos marginales del monopolista podrían estar aumentando, disminuyendo o ser constantes en el intervalo en el cual el ingreso marginal es igual al costo marginal. Por tanto, hay nueve combinaciones distintas de tipos de desplazamiento de la demanda y de configuraciones de la pendiente del costo marginal. Analice cada una de estas posibilidades para determinar cuándo es posible hacer una predicción exacta sobre el efecto que un desplazamiento de la demanda tendrá en el precio de los Hula Hoops.

•

Caso 1 Cmg constante, por lo que la Img que maximiza las ganancias es constante

Elasticidad-precio▼ demanda▲ Precio ▲ Elasticidad-precio (constante) demanda (constante) Precio (constante) Elasticidad-precio▲ demanda▼ Precio ▼

•

Caso 2 Cmg disminuye, por lo que el Imgque maximiza las ganancias disminuye

Elasticidad-precio▼ demanda▲ Precio (ambiguo) Elasticidad-precio (constante) demanda (constante) Precio ▼ Elasticidad-precio▲ demanda▼ Precio ▼ •

Caso 3 Cmg en aumento, por lo que la Img que maximiza las ganancias debe aumentar

Elasticidad-precio▼ demanda▲ Precio ▲ Elasticidad-precio (constante) demanda (constante) Precio ▲ Elasticidad-precio▲ demanda▼ Precio (ambiguo)

5. Supongamos un mercado monopolista con una función de demanda en la cual la cantidad demandada depende no sólo del precio de mercado (P) sino también de la cantidad de publicidad que contrata la empresa (A, medida en dólares). La forma específica de esta función es Q = (20 – P)(1 + 0.1A – 0.01A2). La función de costos de la empresa monopolista está determinada por C = 10Q + 15 + A. a) Supongamos que no se contrata publicidad (A = 0). ¿Qué nivel de producción elegirá la empresa que maximiza el beneficio? ¿Qué precio de mercado tendrá este nivel de producción?00 ¿A cuánto ascenderá el beneficio del monopolio? 𝑃 = 20 − 𝑄

𝐼 = 20𝑄 − 𝑄2

𝐶𝑚𝑔 = 𝐼𝑚𝑔

𝑄 = 20 − 𝑃

𝐶𝑚𝑔 = 10

10 = 20 − 2𝑄

𝐶𝑇 = 10𝑄 + 15

𝑄 = 5; 𝑃 = 15

b) Ahora dejemos que la empresa también elija el nivel óptimo de sus gastos en publicidad. En esta situación, ¿qué nivel de producción elegirá? ¿Cuál será el precio de mercado de esta producción? ¿Cuál será el nivel de publicidad? ¿A cuánto ascenderá el beneficio de la empresa en este caso? 𝑋 = 1 + 0,1𝐴 + 0,01𝐴2

𝜋 = 𝑃𝑄 − 𝐶𝑇 𝜋 = (20𝑃 − 𝑃2 )𝑋 − (200 − 10𝑃)𝑋 − 15 − 𝐴 𝜕𝜋

𝜕𝑃

= (20 − 2𝑃)𝑋 + 10𝑋 = 0

Con el precio igual a 15 𝜋 = (20𝑃 − 𝑃2 )𝑋 − (200 − 10𝑃)𝑋 − 15 − 𝐴 𝜋 = (20(15) − (15)2 )𝑋 − (200 − 10(15))𝑋 − 15 − 𝐴

𝜋 = 75𝑋 − 50𝑋 − 15 − 𝐴 𝜋 = 25𝑋 − 15 − 𝐴 Reemplazamos X 𝜋 = 25(1 + 0,1𝐴 + 0,01𝐴2 ) − 15 − (1 + 0,01𝐴 + 0,01𝐴2 ) Nivel de publicidad 𝑑𝜋 𝐴

= 1,5 − 0,5𝐴

1,5 − 0,5𝐴 = 0 𝐴=3 Beneficio 𝐐 = (𝟐𝟎 – 𝟏𝟓)(𝟏 + 𝟎. 𝟏(𝟑)– 𝟎. 𝟎𝟏(𝟑)𝟐 ) = 𝟔, 𝟎𝟓 𝑪 𝑻 = 𝟏𝟎(𝟔, 𝟎𝟓) + 𝟏𝟓 + 𝟑 = 𝟕𝟖, 𝟓

𝝅 = 𝟔, 𝟎𝟓(𝟏𝟓) − 𝟕𝟖, 𝟓 = 𝟏𝟐, 𝟐𝟓 𝝅 = 𝟗𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟕𝟖, 𝟓 = 𝟏𝟐, 𝟐𝟓

6. Los impuestos aplicados al monopolio a veces producen resultados diferentes a los del caso de la competencia perfecta. Este problema analiza algunos de esos casos. Podemos analizar la mayor parte de ellos empleando la regla de la inversa de la elasticidad (ecuación 9.13 o 13.1) -

Regla de elasticidad inversa 𝑃=

-

𝐶𝑀 1 1+𝑒

El monopolio está sujeto a un impuesto de 𝑡 𝑃=

1 𝐶𝑀 ∙ (1 − 𝑡) 1 + 𝑒

a. Consideremos primero un impuesto ad valorem sobre el precio de un bien del monopolio. Este impuesto disminuye el precio neto que recibe el monopolio de P a P(1 t), donde t es la tasa fiscal proporcional. Demuestre con una curva lineal de demanda y un costo marginal constante que la

imposición de este impuesto provoca que el precio aumente una cantidad inferior al monto completo del impuesto. -

A medida que aumente el precio e se vuelve más elástico 𝑃𝐷𝑒𝑠𝑝 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝 =

𝐶𝑀 × (1 − 𝑡) 1 + =

𝑃𝐴𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝

1

1 𝑒𝐷𝑒𝑠𝑝 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝

<

𝐶𝑀 × (1 − 𝑡) 1 +

1

1 𝑒𝐴𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝

(1 − 𝑡)

b. Supongamos que la curva de demanda del inciso a fuera una curva de elasticidad constante. Demuestre que el precio ahora aumentaría en cantidad exactamente igual al monto completo del impuesto. Explique la diferencia entre estos dos casos. 𝑷𝑫𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 =

𝑷𝑨𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 (𝟏 − 𝒕)

c. Describa un caso en el cual la imposición de un impuesto ad valorem a un monopolio provocaría que el precio aumentara en una cantidad superior al monto del impuesto. 𝑃𝐷𝑒𝑠𝑝 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝 =

𝐶𝑀𝐷𝑒𝑠𝑝 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝 (1 − 𝑡)

×

1

1 1+𝑒

<

𝐶𝑀𝐴𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝 × (1 − 𝑡)

1

1 1+𝑒

=

𝑃𝐴𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑝 (1 − 𝑡)

d. Un impuesto específico es un monto fijo por unidad de producto. Si la tasa fiscal es de Y por unidad, la recaudación fiscal total será YQ. Demuestre que la imposición de un impuesto específico a un monopolio disminuirá la producción y aumentará el precio más que la imposición de un impuesto ad valorem que recauda la misma cantidad de ingresos. 𝐶𝑀 = 𝑃𝑎 (1 − 𝑡) ∙

1

1 1+ 𝑒

= 𝑃𝑆 ∙

1

1+

1 𝑒

−𝑟

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑠 > 𝑃𝑎

7. Supongamos que un monopolio puede producir un nivel de producción cualquiera que desee, con un costo marginal (y promedio) constante de $5 por unidad. Supongamos que el monopolio vende sus bienes en dos mercados distintos, separados por cierta distancia. La curva de demanda del primer mercado está determinada por

𝑸𝟏 = 𝟓𝟓 − 𝑷𝟏 y la curva de demanda del segundo mercado está determinada por 𝑸𝟐 = 𝟕𝟎 − 𝟐𝑷𝟐 a. Si el monopolista puede mantener la separación entre los dos mercados, ¿qué nivel de producción debería fabricar en cada mercado y qué precio habrá en cada uno? ¿Cuál será el beneficio total en esta situación? Mercado 1 -

Ingreso Total

Ingreso Marginal

𝑃1 ∗ 𝑄1 = (55 − 𝑄1) ∗ 𝑄1 = 55𝑄1 − 2 -

55 − 2𝑄1

Maximización de Beneficios 55 − 2𝑄1 = 5 𝑸𝟏∗ = 𝟐𝟓

𝑃1 ∗ = 55 − 𝑄1 ∗ 𝑃1 ∗ = 55 − 25 𝑷𝟏 ∗ = 𝟑𝟎

𝜋 ∗ = (𝑃1 − 5) ∗ 𝑄1 𝜋 ∗ = (25) ∗ 25 𝝅∗ = 𝟔𝟐𝟓

Mercado 2 Ingreso Total 𝑃2 ∗ 𝑄2 = (35 − -

Ingreso Marginal 𝑄2

) ∗ 𝑄2 = 35𝑄2 − 2

𝑄2 2 2

Maximización de Beneficios 35 − 𝑄2 = 5 𝑸𝟐∗ = 𝟑𝟎

𝑷𝟐 ∗ = (𝟑𝟓 −

𝟑𝟎 ) 𝟐

𝑷𝟐∗ = 𝟐𝟎 𝜋2 ∗ = (20 − 5) ∗ 3 𝝅𝟐∗ = 𝟒𝟓𝟎

35 − 𝑄2

b. ¿Cómo cambiaría su respuesta si a los demandantes sólo les costara $5 transportar los bienes entre los dos mercados? ¿Cuál sería el nuevo nivel de utilidades del monopolista en esta situación? A los demandantes les cuesta 5 dólares trasladar sus bienes de un mercado a otro, por lo tanto, la diferencia de precios entre ambos mercados no podría ser mayor a 5 dólares. El monopolista debe maximizar su beneficio 𝜋 = (𝑃1 − 5)(55 − 𝑃1 ) + (𝑃2 − 5)(70 − 2𝑃2 ) -

Restricción 𝑃1 = 𝑃2 + 5

-

Lagrangeano 𝜋 + λ(5 − 𝑃1 + 𝑃2 )

-

𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝜕𝐿 = 60 − 2𝑃1 − λ = 0 𝜕𝑃1 𝜕𝐿 = 80 − 4𝑃2 + λ = 0 𝜕𝑃2 𝜕𝐿 = 5 − 𝑃1 + 𝑃2 = 0 𝜕λ -

Despejando landa λ = 60 − 2𝑃1 λ = −80 + 4𝑃2

-

Igualando

60 − 𝑃1 = 4𝑃2 − 80

𝑃1 = 𝑃2 + 5

130 = 6𝑃2 𝑃1 = 26,6

𝑃2 = 21,6

𝜋 = 1058,3

c. ¿Cómo cambiaría su respuesta si los costos de transporte fueran nulos y la empresa se viera obligada a aplicar una política de precio único?

Si el costo del transporte fuera nulo, entonces solo habría un mercado donde 𝑃1 = 𝑃2 -Maximización 𝜋 = 140𝑃 − 3𝑃 − 625 140 − 6𝑃 = 0

𝑃=

140 = 23,33 6

𝑄1 ∗ = 55 − 23,33 𝑸𝟏∗ = 𝟑𝟏, 𝟔𝟕

𝑄2 ∗ = 70 − 2 ∗ 23,33 𝑄2 ∗ = 23,34

𝝅 = 𝟏𝟎𝟎𝟖, 𝟑𝟑

d. Supongamos que la empresa puede adoptar una tarifa lineal de dos partes, en la cual los precios marginales deben ser iguales en los dos mercados, pero la cuota única para entrar podría variar. ¿Qué política de fijación de precios deberá seguir la empresa? La empresa adopta una tarifa lineal de la forma 𝑇(𝑄𝑖 ) = 𝑎𝑖 + 𝑚𝑄𝑖 entonces puede maximizar los beneficios haciendo m=5 𝛼1 = .5(55 − 5)(50) = 125 𝛼2 = .5(35 − 5)(60) = 900 𝝅 = 𝟐𝟏𝟓𝟎

8. Supongamos que una industria en competencia perfecta produce artefactos a un costo marginal constante de $10 por unidad. Los costos marginales monopolizados aumentan a $12 por unidad porque se deben pagar $2 a los grupos de cabilderos para mantener la posición privilegiada de los productores de artefactos. Supongamos que la demanda de mercado de estos artefactos está determinada por

𝑸𝑫 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝑷 a. Calcule el nivel de producción y los precios en competencia perfecta y en el caso del monopolio. Competencia perfecta 𝐶𝑀 = $10 Monopolio 𝐶𝑀 = $12 𝑄𝐷 = 1000 − 50𝑃 -

Competencia Perfecta 𝑃 = 𝐶𝑀 = 10

-

𝑄 = 500

Monopolio 1 50

1 𝑄 = 20𝑄 𝑄 2 50 1 𝑄 = 12 𝑄 = 200 𝐶𝑀 = 𝐼𝑀𝑔 = 20 − 25 𝑃 = 20 −

𝑃 = $16

b. Calcule la pérdida total del excedente del consumidor con la monopolización de la producción de artefactos. Excedente del consumidor para monopolio 1 (4)(200) = 400 2 Excedente del consumidor para competencia perfecta 1 (10)(500) = 2500 2

𝑷𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒖𝒎𝒊𝒅𝒐𝒓 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 = 𝟐𝟏𝟎𝟎

c.

Dibuje sus resultados y explique en qué difieren del análisis habitual.

De la perdida de 2100, 800 es una transferencia a ganancias de monopolio, 400 es una perdida por aumento de costos y 900 es una perdida de peso muerto.

9. Supongamos que el gobierno desea combatir los efectos indeseables que la monopolización tiene en la asignación empleando un subsidio. a. ¿Por qué un subsidio de pago único no lograría el objetivo del gobierno? El gobierno desea que el monopolio expanda la producción a 𝑃 = 𝐶𝑀. Un subsidio de suma global no tendrá ningún efecto en la opción de maximización de ganancias del monopolista, por lo que esto no logrará el objetivo. b. Utilice una gráfica para demostrar cómo un subsidio por unidad de producto podría lograr el objetivo del gobierno.

Un subsidio por unidad de producción desplazará efectivamente la curva CM hacia abajo. La figura ilustra esto para el caso de CM constante.

c. Supongamos que el gobierno quiere que su subsidio maximice la diferencia entre el valor total del bien para los consumidores y el costo total del bien. Demuestre que para conseguir este objetivo debería igualar 𝒕 𝟏 =− 𝑷 𝒆𝑸,𝑷 donde t es el subsidio por unidad y P es el precio competitivo. Explique sus resultados intuitivamente. Se debe elegir un subsidio (t) para que el monopolio elija la cantidad socialmente óptima, dado t. Dado que la optimización social requiere P = CM y la maximización de beneficios 1

requiere que 𝐼𝑀 = 𝐶𝑀 − 𝑡 = 𝑝 (1 + 𝑒) rendimientos de sustitución

𝑡

𝑝

1

= − como se 𝑒

muestra iintuitivamente, el monopolio crea una brecha entre el precio y el costo marginal y se elige el subsidio óptimo para igualar esa brecha expresada como una relación con el precio.

10. Supongamos que un monopolista fabrica pilas alcalinas que pueden tener distintas vidas útiles (X). Supongamos también que la demanda (inversa) de los consumidores depende de la vida útil de las pilas y de la cantidad (Q) adquirida de acuerdo con la función 𝑷(𝑸, 𝑿) = 𝒈 (𝑿 ∙ 𝑸) Donde 𝒈´ < 𝟎 Es decir a los consumidores sólo les importa el producto de la cantidad por la vida útil. Están dispuestos a pagar lo mismo por muchas pilas de poca duración que por unas pocas de larga duración. Supongamos que los costos de las pilas están determinados por 𝑷(𝑸, 𝑿) = 𝑪 (𝑿) ∙ 𝑸 Donde 𝑪󰆷 > 𝟎 Demuestre que, en este caso, el monopolio optará por el mismo nivel de X que una industria en competencia, a pesar de que los niveles de producción y los precios podrían diferir. Explique su resultado.

Dado que los consumidores solo valoran 𝑿 − 𝑸, las empresas buscan minimizar el

costo de la producción 𝑿 ∗ 𝑸 para cualquier nivel de esa producción. -Lagrangiano 𝐹 = (𝐶 ∗ 𝑄) + λ(K − XQ) -Condiciones de primer orden 𝜕𝐹 = 𝐶´(𝑋)𝑄 − λ𝑄 = 0 𝜕𝑋 𝜕𝐹 = 𝐶(𝑋) − λ𝑋 = 0 𝜕𝑄 𝜕𝐹 = 𝐾 − 𝑋𝑄 = 0 𝜕λ

La combinación de los dos primeros muestra 𝐶(𝑋) − 𝐶´(𝑋)𝑋 = 0. Por lo tanto, el nivel de 𝑋 es independiente de 𝑄. Las funciones de demanda y costos permiten separar la separación de durabilidad de duración de la decisión del precio....