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Semana 3 sesión 1- ejercicios resueltos preparación para exámenes - talleres...

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TALLER VIRTUAL Nº03 CURSO: CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES – PREGRADO TEMA: REPASO DE CONTENIDOS SEMANA 3. DOCENTE: Miguel Martín Correa Coronel CORREO: [email protected] Sede FACULTAD

TODAS AREA DE CIENCIAS E INGENIERÍA 2021-2 TODAS TODAS Período lectivo Sección Aula TODAS Turno 27/08/2021 De 06:30 PM a 08:00 PM Fecha de realización Horario

EJERCICIOS PROPUESTOS Sea la ecuación diferencial, a la cual le llamaremos lineal de primer orden (EDLPO), cuya forma es: 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 Se define como factor integrante (FI) a la expresión: 𝑢(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Finalmente, multiplicando el FI en la EDLPO se obtiene la solución general: 𝒚 = 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 𝑸(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] (Espinoza, 2004, p.119)

Resolver las siguientes EDLPO: 𝑎) 𝑦 ′ = 9𝑦 𝑏)𝑦′ − 5𝑦 = 𝑒 −𝑥

𝑐)𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥 3

𝑑) 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = √𝑥

𝑒)𝑥𝑦 ′ − 3𝑦 = 𝑥 4

(Mansor, 2017, p.5)

(Mansor, 2017, p.5)

𝑓)𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; (Mansor, 2017, p.5)

𝑑𝑤 + 𝑤 = 𝑡𝑒 3𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑗)(𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑦 = 1 𝑑𝑥 ℎ)(𝑡𝐿𝑛𝑡)

(Mansor, 2017, p.5)

𝑔) (𝑥 + 1)𝑦 ′ + 𝑦 = 3𝑥 𝑖)(𝑡 + 2)

𝑑𝑦 + (𝑡 + 3 )𝑦 = 4 𝑑𝑡

Resolución.

𝒅𝒚 𝒂) 𝒚′ = 𝟗𝒚 → 𝒅𝒙 − 𝟗𝒚 = 𝟎

Comparando con el modelo:

𝒅𝒚 + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) → 𝒑(𝒙) = −𝟗 𝒅𝒙 Calculamos nuestro factor integrante (FI): →

→ 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ −𝟗𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆−𝟗𝒙 Multiplicando el FI en la EDLPO: 𝒅𝒚 → 𝒆−𝟗𝒙 − 𝟗𝒚𝒆−𝟗𝒙 = 𝟎. 𝒆−𝟗𝒙 𝒅𝒙

Operando: → 𝒆−𝟗𝒙

𝒅𝒚 − 𝟗𝒚𝒆−𝟗𝒙 = 𝟎 𝒅𝒙

𝒅 −𝟗𝒙 (𝒆 . 𝒚) = 𝟎 𝒅𝒙 Finalmente, para calcular la solución general, tomamos una integral a derecha e izquierda de la expresión, luego: 𝒅 (𝒆−𝟗𝒙 . 𝒚) = ∫ 𝟎𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒙 → 𝒆−𝟗𝒙 . 𝒚 = 𝑪 → 𝒚 = 𝑪𝒆𝟗𝒙 →

Nota: Podríamos asumir que 𝑪 = 𝒆𝒌 Reemplazando: 𝒚 = 𝒆𝒌 . 𝒆𝟗𝒙 → 𝒚 = 𝒆𝟗𝒙+𝒌

𝒃)𝒚′ − 𝟓𝒚 = 𝒆−𝒙 Operando: 𝒅𝒚 → − 𝟓𝒚 = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 Comparando con el modelo: 𝒅𝒚 + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) → 𝒑(𝒙) = −𝟓, 𝑸(𝒙) = 𝒆−𝒙 → 𝒅𝒙 Calculamos nuestro factor integrante (FI): → 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ −𝟓𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆−𝟓𝒙 Multiplicando el FI en la EDLPO: 𝒅𝒚 → 𝒆−𝟓𝒙 . − 𝟓𝒚. 𝒆−𝟓𝒙 = 𝒆−𝒙 . 𝒆−𝟓𝒙 𝒅𝒙 Operando: 𝒅𝒚 → 𝒆−𝟓𝒙 . − 𝟓𝒚. 𝒆−𝟓𝒙 = 𝒆−𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝒅 −𝟓𝒙 → (𝒆 . 𝒚) = 𝒆−𝟔𝒙 𝒅𝒙 Finalmente, para calcular la solución general, tomamos una integral a derecha e izquierda de la expresión, luego: 𝒅 →∫ (𝒆−𝟓𝒙 . 𝒚) = ∫ 𝒆−𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 →

→ → →

𝒆−𝟓𝒙 . 𝒚 = ∫ 𝒆−𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝒆−𝟓𝒙 . 𝒚 = − 𝒆−𝟔𝒙 + 𝑪 𝟔 𝟏 𝒚 = − 𝒆−𝟔𝒙 . 𝒆𝟓𝒙 + 𝑪. 𝒆𝟓𝒙 𝟔 𝟏 𝒚 = − 𝒆−𝒙 + 𝑪. 𝒆𝟓𝒙 𝟔

𝑐)𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥 3 Operando: 𝒅𝒚 →𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝒙𝟑 𝒅𝒙 Se divide entre el factor que le está multiplicando a luego: 𝒅𝒚 𝒙 𝟐𝒚 𝒙𝟑 𝒅𝒙 → − = 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 − ( ) 𝒚 = 𝒙𝟐 → 𝒅𝒙 𝒙 Comparando con el modelo: 𝟐 𝒅𝒚 + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) → 𝒑(𝒙) = − ; 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟐 → 𝒙 𝒅𝒙 Calculamos nuestro factor integrante (FI): 𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙

,

𝟏

→ 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆∫(−𝒙)𝒅𝒙 = 𝒆−𝟐 ∫𝒙𝒅𝒙 = 𝒆−𝟐𝑳𝒏𝒙 −𝟐

→ 𝒖(𝒙) = 𝒆−𝟐𝑳𝒏𝒙 = 𝒆𝑳𝒏𝒙 = 𝒙−𝟐 Multiplicando el FI en la EDLPO: 𝟐 𝒅𝒚 − ( ) 𝒚. 𝒙−𝟐 = 𝒙𝟐 . 𝒙−𝟐 → 𝒙−𝟐 . 𝒅𝒙 𝒙 Operando: 𝒅𝒚 𝟐 → 𝒙−𝟐 . − ( ) 𝒚. 𝒙−𝟐 = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒅 (𝒙−𝟐 . 𝒚) = 𝟏 → 𝒅𝒙 Finalmente, para calcular la solución general, tomamos una integral a derecha e izquierda de la expresión, luego: 𝒅 (𝒙−𝟐 . 𝒚) = ∫ 𝟏𝒅𝒙 →∫ 𝒅𝒙 → 𝒙−𝟐 . 𝒚 = 𝒙 + 𝑪 → 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝑪𝒙𝟐

Nota algebraica: 𝒆𝑳𝒏 (𝑨) = 𝑨; 𝑨 > 𝟎

𝒅) 𝒙𝒚′ + 𝒚 = √𝒙 Operando: 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒚 √𝒙 →𝒙 + 𝒚 = √𝒙 → + = 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝒅𝒚 𝟏 𝒅𝒚 𝟏 𝒙𝟐 → + ( )𝒚 = → + ( ) 𝒚 = 𝒙− 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 Comparando con el modelo: 𝟏 𝒅𝒚 𝟏 → + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) → 𝒑(𝒙) = ; 𝑸(𝒙) = 𝒙−𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Calculamos nuestro factor integrante (FI): 𝟏

→ 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆∫𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏𝒙 = 𝒙 Multiplicando el FI en la EDLPO: 𝟏 𝒅𝒚 𝟏 → 𝒙. + ( ) 𝒚. 𝒙 = 𝒙−𝟐 . 𝒙 𝒅𝒙 𝒙

Operando:

𝟏 𝒅𝒚 𝟐 → 𝒙. +𝒚=𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒅 𝟐 (𝒙. 𝒚) = 𝒙 → 𝒅𝒙 Finalmente, para calcular la solución general, tomamos una integral a derecha e izquierda de la expresión, luego: 𝟏 𝒅 →∫ (𝒙. 𝒚) = ∫ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟏

→

𝒙𝒚 = ∫ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙

→

𝒙𝒚 =

→

𝟐 𝟑/𝟐 𝒙 +𝑪 𝟑 𝟐 𝒚 = 𝒙𝟏/𝟐 + 𝑪𝒙−𝟏 𝟑

𝒆)𝒙𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟒 𝒅𝒚

𝒅𝒚 𝟑 ) 𝒚 = 𝒙𝟑 𝒅𝒚 𝟑𝒚 𝒙𝟒 → − (𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝒙 → − = 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 → 𝒑(𝒙) = − ; 𝒒(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒙

→𝒙

𝟒

𝟑

→ 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ −𝒙𝒅𝒙 = 𝒆−𝟑𝑳𝒏𝒙 = 𝒆𝑳𝒏𝒙 = 𝒙−𝟑 Operando: 𝟑 𝒅𝒚 − (𝒙−𝟑 ). ( ) 𝒚 = (𝒙−𝟑 ). 𝒙𝟑 → (𝒙−𝟑 ). 𝒙 𝒅𝒙 𝒅 (𝒙−𝟑 . 𝒚) = 𝟏 → 𝒅𝒙 Finalmente: 𝒅 (𝒙−𝟑 . 𝒚) = ∫ 𝟏𝒅𝒙 →∫ 𝒅𝒙 → 𝒙−𝟑 . 𝒚 = 𝒙 + 𝒄 → 𝒚 = 𝒙𝟒 + 𝑪𝒙𝟑 −𝟑

𝒇) 𝒙𝟐 𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

Luego:

𝒅𝒚

𝒅𝒚 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 → + ( ) 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 → 𝒑(𝒙) = ; 𝒒(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒙

→ 𝒙𝟐

𝟐

𝟐

→ 𝒖(𝒙) = 𝒆∫𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝑳𝒏𝒙 = 𝒆𝑳𝒏𝒙 = 𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝒙 . ( ) 𝒚 =. 𝒙 →𝒙 . 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒅 (𝒙𝟐 . 𝒚) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 → 𝒅𝒙

Tomando integral: →∫ → → →

𝟐

𝒅 (𝒙𝟐 . 𝒚) = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟏 𝒙𝟐 . 𝒚 = + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟒 𝒙 𝟏 𝒚 = 𝟐 + 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) + 𝑪𝒙−𝟐 𝟒𝒙 𝟐𝒙 𝑪 𝟏 𝟏 + 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) + 𝟐 𝒚= 𝟐𝒙 𝟒𝒙 𝒙

𝒈) (𝒙 + 𝟏)𝒚′ + 𝒚 = 𝟑𝒙

Operando: → (𝒙 + 𝟏) → 𝒑(𝒙) =

Luego:

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝒙+𝟏

→ (𝒙 + 𝟏). →

𝟏

𝒅𝒚 𝟏 𝟑𝒙 +( )𝒚 = 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒖(𝒙) = 𝒆∫𝒙+𝟏𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏(𝒙+𝟏) = 𝒙 + 𝟏

+ 𝒚 = 𝟑𝒙 → →

𝒅𝒚 𝟏 𝟑𝒙 + (𝒙 + 𝟏) ( ) 𝒚 = (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝒙+𝟏 𝒙+𝟏

𝒅 ((𝒙 + 𝟏). 𝒚) = 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Tomando la integral: →∫ → →

𝒅 ((𝒙 + 𝟏). 𝒚) = ∫ 𝟑𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟑 (𝒙 + 𝟏). 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟑𝒙𝟐 𝑪 𝒚= + 𝟐(𝒙 + 𝟏) 𝒙 + 𝟏

Referencia bibliográfica: Espinoza, E. (2004). Ecuaciones diferenciales y aplicaciones para estudiantes de ciencias e ingenierías. Perú: Edición propia del autor. Mansor, N. (2017). Differential Equations. Malaysia: Oxford Fajar Sdn Bhd....