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ollo de la presente unidad se podrá identifEn el desarrollo de la presente unidad se podrá identificar, reconocer y abstrae el
flujo de datos mediante el análisis de un estudio de caso para diseñar el modelo
conceptual aplicando la técnica del diagrama Entidad Relación. Con el fin de que...

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Tarea 2 - Métodos de Integración

CALCULO INTEGRAL

Autor: Óscar Tomás Carrillo

Tutor: Germán Arturo Mancillo Fernández.

Grupo: 100411_58

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Junio 2021

Introducción Para resolver métodos matemáticos a través del cálculo integral es necesario conocer los diferentes métodos necesarios para realizar estos cálculos, dentro de estos se encuentra: sustitución simple, integración por partes, fracciones parciales, sustituciones trigonométricas e integrales impropias, cada uno de los mencionados anteriormente se emplea de acuerdo al ejercicio que se vaya a realizar, permitiendo así que las integrales sean resueltas de una manera mucho más rápida gracias a las condiciones de cada método. En el siguiente informe se emplearán los métodos mencionados anteriormente para describir el paso a paso y así llegar al resultado final esperado.

Desarrollo de la actividad Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio E.

∫ 2−√ √x x dx Solución Primero se aplica el método de sustitución simple, con el cual se define cual de los parámetros toma el valor de u y se determina su derivada.

u= √ x ; du=

1 2√ x

dx

Luego, se la derivada se despeja el parámetro dx

dx=2 √ x du

Ahora, conociendo el valor de dx, se reemplaza en la integral original

∫ 2−√ √x

x( 2 √ x du )

Luego, se simplifica la integral para que esta quede mucho más fácil de resolver.

2∫ ( 2−u) du

Se obtiene una resta de dos términos, y de acuerdo a las reglas de las integrales, se puede separar en una resta de dos integrales.

2[ ∫ 2 du−∫ u du ]

Ahora que las integrales son más sencillas, se resuelve cada una

2

∫ 2 du=2u ; ∫ u du= u2

Con las dos integrales resueltas, se obtiene lo siguiente:

[

2 2u−

u2 2

]

El resultado debe expresarse nuevamente en términos de x, por lo cual se reemplaza los valores de u:

[

2 2 √ x−

( √ x) 2 2

] [√ ]

=2 2 x− x =4 √ x−x 2

Con lo obtenido, la respuesta de la integral es:

∫ 2−√ √x x dx=4 √ x−x+ C Se realiza la comprobación mediante Geogebra:

Ilustración 1. Comprobación integral por sustitución.

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio E.

∫ ( cos x ) (ln ( senx ) ) dx Solución. Para aplicar este método, hay que emplear la siguiente fórmula:

uv−∫ vdu

De acuerdo a la fórmula anterior, se debe asignar el valor de u, y el resto de los términos serán asignados a dv. Luego se deriva a u y se integra a dv para obtener los valores de du y v respectivamente

u=ln ( senx) ; du=

cosx dx senx

dv =cos x dx ; v= senx

Ahora, reemplazando en la fórmula, se obtiene:

( cosx )

( ln ( senx ) ) ( senx ) −∫ ( senx ) senx dx

Organizando los términos

senx ln ( senx) −∫ cosxdx

Resolviendo la integral de la derecha

senx ln ( senx) −senx

Finalmente la respuesta de la integral es:

∫ ( cos x ) (ln ( senx ) ) dx=senx ln ( senx ) −senx+C

Se realiza la comprobación mediante Geogebra:

Ilustración 2. Comprobación integral por partes.

Tipo de ejercicios parciales.

3 – Sustitución

Trigonométrica y

Fracciones

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio E.

∫ ( x+1 ) 2x(

4

x 4−1 )

dx

Solución Para emplear el método de fracciones parciales, primero se debe factorizar el denominador.

( x+ 1 )2 ( x 4 −1 )= ( x +1 )2 ( x 2−1 )( x 2 +1 ) ( x+ 1 )2 ( x+ 1 )( x−1 ) ( x 2 +1) ( x+ 1 ) ( x−1 ) ( x 2+1 ) 3

Sacando la fracción de la integral, de manera factorizada se expresa como:

x4 x4 = 2 4 3 ( x +1 ) ( x −1 ) ( x +1 ) ( x−1) ( x 2+1 )

Al tener los términos del denominador factorizados, se expresa en fracciones parciales de la siguiente forma: 4

x B A C D Ex + F + + 2 = + + 2 3 3 2 x+1 x−1 x +1 x+1 x +1 ( ) ( ) ( x +1 ) ( x−1 )( x +1)

Luego, se multiplica por el denominador cada uno de los términos de la izquierda y la derecha

x 4 ( x +1) ( x−1 ) ( x 2 +1 ) A (x +1 ) ( x−1 ) ( x 2 +1) B ( x+ 1 ) ( x−1) ( x 2+1 ) C ( x +1 ) ( x−1 ) ( x 2+1 ) D ( x+1 ) ( x + = + + 2 3 3 x +1 x− ( x +1) ( x −1) ( x 2 +1 ) ( x+1 ) (x +1 ) 3

3

3

3

3

Se simplifica los términos para trabajar más fácil.

x = A ( x +1 ) ( x−1 ) ( x +1 ) + B (x +1 ) ( x−1 ) ( x +1 ) +C ( x −1 ) ( x +1 ) + D ( x+1 ) ( x +1 ) +( Ex + F ) ( ( x+1 ) ( x−1 ) ) 4

2

2

2

2

3

2

3

Luego para hallar cada una de las constantes, se le asignan valores a x. Si x=1 4 2 3 2 3 2 2 2 ( 1) =A ( 1+1 ) ( 1−1) ( 1 + 1 ) +B( 1+1 ) ( 1−1 ) ( 1 + 1)+C ( 1−1 ) (1 + 1 ) + D ( 1+1 ) ( 1 + 1) +( E+F ) ( ( 1+1 ) ( 1−1 ))

1=16 D D=

1 16

Si x=-1

(−1 ) 4 =A ( −1+1) 2 (−1−1 ) ( (−1)2+1 ) +B ( −1+1) ( −1−1 ) ( (−1)2 +1 ) +C (−1−1 )( ( −1 )2 +1 ) + D (−1+1 )3 ( ( −1)2+1

1=−4 C C=

−1 4

El procedimiento anterior se puede repetir para cada uno de los términos, sin embargo, con las constantes halladas se reemplazan en la ecuación para ir reduciendo.

1 1 2 3 3 x 4= A ( x +1 ) ( x−1 ) ( x 2 +1 ) + B (x +1 ) ( x−1 ) ( x2 +1 ) − ( x−1 ) ( x 2 +1 )+ ( x +1 ) ( x2 +1 ) + ( Ex + F) ( ( x +1 ) ( x −1 ) 4 16

Se resuelven los paréntesis:

x 4= A x 5 + A x 4− Ax− A+ B x 4−B+ E x 5+2 E x 4 −2 E x 2−Ex + F x 4 +2 F x3 −2 Fx −F+

1 5 3 4 1 2 1 x + x− x+ 1 2 16 6

Se agrupan los términos de acuerdo al valor de x que lo esté acompañando:

(

x 4= A + E +

) (

)

(

) (

) (

1 5 3 4 2 F 3 1 −2 E 2 1 x+ 5 − A − B − F x + A +B+F +2E+ x +( ) x + x + − A−2 F−E− 2 16 16 16 16

Con la ecuación anterior, se tienen una serie de ecuaciones e incógnitas, las cuales se pueden determinar a través de los sistemas de ecuaciones lineales, sacando cada uno de los términos e igualándolo con el valor que está después del igual.

A + E+

1 =0 16

A + B + F +2E+

3 =1 16

2 F=0 1 −2 E=0 2 − A−2 F − E−

1 =0 16

5 − A − B−F = 0 16

Al ser un sistema tan extenso, es posible hacer uso de Geogebra, en el cual se ingresa las ecuaciones anteriores y se resuelve el sistema para encontrar los valores de las constantes faltantes:

)

Ilustración 3. Solución de sistema de ecuaciones por medio de Geogebra.

Se obtiene los siguientes valores:

A=

1 1 5 −1 −5 ; B= ; C= ; D= ; E= ; F=0 4 16 4 16 8

Se reemplazan los valores de las constantes en la fracción parcial

5 5 1x 1 1 4 x 8 16 4 16 = − + + + 2 2 3 2 3 ( x +1 ) ( x−1 )( x +1) x+1 ( x+1 ) ( x+1 ) x −1 x +1 4

−

Al tener una serie de fracciones, es más fácil resolver la integral, por lo cual se obtiene una suma de integrales, así:

x

4

∫ ( x+1 ) 2( x 4−1 ) dx=∫

5 1 1 5 1 x − 4 16 8 16 4 dx+∫ dx +∫ dx +∫ 2 dx dx +∫ x+ 1 x−1 ( x +1) 2 ( x +1)3 x +1

−

Se sacan los valores constantes de la integral y se expresan nuevamente:

¿−

1 5 1 x 1 1 1 5 1 1 dx + ∫ dx + ∫ 2 dx dx− ∫ dx + ∫ 8 ( x+1 )2 16 ∫ x +1 4 x +1 4 ( x +1)3 16 x−1

Dado que son una gran cantidad de integrales a resolver por diferentes métodos, con el apoyo de Geogebra se obtienen los resultados:

1 −5 −5 ln ( x+1 ) dx= ∫ 16 16 x +1

−5 1 5 dx = ∫ 2 8 ( x +1 ) 8 (x +1 )

1 −1 −1 dx= 2 4 ∫ (x +1 )3 8 ( x +1)

1 1 1 dx= ln ( x−1 ) ∫ 16 16 x −1

1 x 1 dx= ln ( x 2+1 ) ∫ 2 8 4 x +1

Ilustración 4. Resultados de integrales por medio de Geogebra.

Finalmente, el resultado de la integral obtenida es:

∫ ( x+1 ) 2x(

4

x −1 ) 4

dx=

5 1 1 −5 ( 1 2 ln x +1 ) − − + ln ( x−1) + ln ( x +1 )+C 2 8 16 8 ( x +1 ) 8 (x +1 ) 16

Comprobando mediante Geogebra:

Ilustración 5. Comprobación de integral por fracciones parciales.

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio E. 1

∫ ln√ xx dx 0

Solución Puesto que la función no es continua en x=0, es necesario establecer el siguiente límite: 1

lim ∫ b→0 b

ln x dx √x

Ahora, para resolver la integral se emplea el método de integral por partes, de acuerdo a la siguiente fórmula:

uv−∫ vdu

Se asigna el valor de u y el resto se toma como dv, contiguo a ello se deriva u y se integra dv

1 u=ln x ; du= dx x dv=

1 dx ; v=2 √ x √x

Luego se reemplaza los términos en la fórmula general:

( ln x ) ( 2√ x )−∫

2√x dx x

Se resuelve la integral.

¿ ( ln x ) ( 2 √ x ) −4 √ x

Ahora con el resultado obtenido, se evalúa la solución de la integral.

[ ( ln x ) ( 2 √ x ) −4√ x ] 1b = [ ( (ln ( 1) ) (2 √ 1)−4 √ 1 )−( ( ln b )( 2 √b )− 4 √ b) ] [ ( ln x ) ( 2 √ x ) −4√ x ] 1b = ( 0−4) −( ( ln b) (2 √ b )−4 √ b) Luego, se aplica el límite al resultado obtenido:

lim [ ( 0− 4 )−( ( ln b ) ( 2 √ b) −4 √ b ) ]=−4−0 b→0

lim [ ( 0− 4 )−( ( ln b ) ( 2 √ b) −4 √ b ) ]=−4 b→0

De acuerdo con el resultado, se concluye que la integral converge.

Se comprueba mediante la herramienta Symbolab

Ilustración 6. Comprobación de integral impropia.

Bibliografía Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83). Recuperado de https://elibro-et.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/70095?page=1 Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 135 – 141; 176 - 181). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=1 Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 181 184). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40465?page=1...