Tarea 2 Relaciones de recurrencia y técnicas de conteo PDF

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ESTUDIANTE ADesarrolle los cinco ejercicios de teoría de conteo dados a continuación. Cada ejercicio debe mostrar el paso a paso de manera lógica, se debe resolver gráfica y/o analíticamente cuando sea posible. En un establecimiento educativo, 35 estudiantes toman clases de física, 25 estudiantes to...

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ESTUDIANTE A Desarrolle los cinco ejercicios de teoría de conteo dados a continuación. Cada ejercicio debe mostrar el paso a paso de manera lógica, se debe resolver gráfica y/o analíticamente cuando sea posible.

1. En un establecimiento educativo, 35 estudiantes toman clases de física, 25 estudiantes toman clases de química y 10 estudiantes toman ambas asignaturas. ¿Cuántos estudiantes hay en total? F ∪Q =|F |+|Q|−F ∩Q ¿ 35 + 25 −10 ¿ 50

2. Se van a producir placas para automóvil con las siguientes condiciones: cada placa empieza con dos letras tomadas del siguiente conjunto {A, B, C, D, E, F, G} y debe terminar con cuatro dígitos. Si ninguna letra o dígito puede repetirse. ¿Cuántas placas diferentes son posibles con las anteriores condiciones?

Principio: Una variación.

Formula de Sin Repetición

Dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

De 6letras utilizo 2

6! 6 ! 6∗5∗4∗3∗2∗1 720 6 = =360 = = v = 3∗2∗1 2 2 (6−2)! 2 ! De10 digitos utilizo 4

v

10 10 ! 10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 3628800 10 ! = = = =5040 = 6∗5∗4∗3∗2∗1 720 4 (10−4)! 6 ! ¿Cuántas placas diferentes son posibles con las anteriores condiciones? Solución: Ahora multiplicamos el resultado que nos dio con letra y los dígitos y obtenemos la respuesta a la pregunta 360∗5040 =1814400

3. El menú de una cafetería consta de dos entradas, cuatro platos principales y tres bebidas de acuerdo con la siguiente tabla:

Entrada

Plato principal

Bebidas

Nachos (N)

Perro caliente (P)

Gaseosa (G)

Ensalada (E)

Hamburguesa (H)

Limonada (L)

Arepa con queso (A)

Cerveza (C)

Tamal (T)

Muestre gráfica y analíticamente cuantas posibles agrupaciones diferentes de este menú existen que consten de una entrada, un plato principal y una bebida. 4. a) De un grupo de 15 personas se deberá escoger un grupo conformado por un presidente, un secretario y un vocal. ¿De cuantas maneras se puede formar dicho comité? Principio: Combinación. n=21 r=3

c

Formula de Sin Repetición

15 ! 15∗14∗13∗12! 5∗7∗13 15 ! 15 =455 = = = = 1∗1∗1 3 3 ! ( 15−3 ) ! 3∗12! 3∗12!

Las maneras en la que se puede formar dicho comité son de 455 maneras.

b) Determinar de cuántas maneras pueden formarse cuatro comités distintos de un grupo de 25 personas, si los comités deben tener 4,5,8 y 6 personas, respectivamente. nCr=

n! ( n−r ) ! r !

n=30 r=4 P=

30 ! 30! = 30∗29∗28∗27∗26 ! =¿ = 26 ! 4 ! ( 30− 4 ) ! 4 ! (26 ! ) 4 !

P=

30∗29∗28∗27 657720 = =27405 4∗3∗2∗1 24

Comité de 4 es de

27.405

n=30 r=5

P=

30 ! 30∗29∗28∗27∗26∗25! 30 ! =¿ = = 25 ! 5 ! ( 30−5 )! 5 ! ( 25 ! ) 5 !

P=

30∗29∗28∗27∗26 17100720 = =142.506 5∗4∗3∗2∗1 120

Comité de 5 es

142.405

n=30 r=8

P=

30 ! 30 ! 30∗29∗28∗27∗26∗25∗24∗23∗22 ! = = =¿ 22! 8! ( 30− 8 )! 8 ! ( 22 ! ) 8 !

P=

30∗29∗28∗27∗26∗25∗24∗ 23 =5.852.925 8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1

Comité de 8 es

5.852.925

n=30 r=6

P=

30 ! 30 ! 30∗29∗28∗27∗26∗25∗24 ! =¿ = = 24 ! 6 ! ( 30−6 )! 6 ! ( 24 !) 6 !

P=

30∗29∗28∗27∗26∗25 =593.775 6∗5∗4∗3∗2∗1

Comité de 6 es

593.775

5. a) ¿De cuantas maneras distintas puede escogerse un comité de dos mujeres y cuatro hombres de un grupo de seis mujeres y cinco hombres? nCr=

n! ( n−r ) ! r !

Hombres N= 5 R= 4

P=

5! 5! 5∗4∗3∗2∗1 = 120 =5 = = ( 5− 4 )! 4 ! ( 1! ) 4 ! 1∗4∗3∗2∗1 24

Mujeres N= 6 R= 2 P=

6! 6! 6∗5∗4∗3∗2∗1 720 = = = =15 ( 6−2 ) ! 2 ! ( 4 ! ) 2! 4∗3∗2∗1∗2∗1 48

5∗15 =75

La cantidad de maneras en las que se puede escoger un comité de dos mujeres y cuatro hombres es de 75 maneras b) Determinar de cuantas maneras es posible seleccionar 12 canicas azules en cinco bolsas. nCr=

n! ( n−r ) ! r !

N= 12 R=5 P=

12 ! 12 ! 12∗11∗10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 = = =¿ 7∗6∗5∗4∗3∗2∗1∗2∗1 ( 12−5 ) ! 5 ! ( 7 ! ) 2!

P=

479001600 =47520 10080

Las formas de cuantas veces pueden seleccionar 12 canicas entre en cinco bolsas azules es de 47.520 veces.

Problemas relaciones de recurrencia. Estos dos problemas resueltos se deberán sustentar por medio del vídeo.

1) En la progresión geométrica {an} = { , , 1, ...}, si se supone que la misma consta solo de 10 términos. Determinar: a) El valor del último término. b) La suma de los 10 términos. c) El producto de todos los términos. b) La suma de los 10 términos. c) El producto de todos los términos. Solución Para resolver una progresión geométrica usaremos la formula n−1 an =a1∗r Despejaremos a r para hallar la razón geométrica 1 Conocemos a a2= 5 an =a1∗r n−1 1 1 1 1−1 1 = ∗r = ÷ =r 5 25 5 25 r=5 a) El valor del último término. n−1

a10= a1∗r 1 1 9 1 10−1 a10 = ∗5 =a10 = ∗5 =a10 = ∗1953125 25 25 25 a10 =78125

b) La suma de los 10 términos. a ∗r−a 1 s 10 = 1 0 r −1 1 1 9765625− 1953125∗5− 25 195312 4,96 25 s 10 = = =¿ = 4 4 5−1 s 10 =4882806,24

c) El producto de todos los términos. n a10 . a 1 ¿ ¿ pn=± √ ¿ 1 78125. ¿ 10 25 ¿ p10=± √ ¿ p10 =± √ (15625)

10

p10=9,31323 ×1 0

20

p10 =−9,31323 ×1 020

2) Haga corresponder cada sucesión de recurrencia con su respectiva relación de recurrencia. Si alguna(s) no corresponden explique por qué. Sucesiones de recurrencia: a. -9, -3, 3, 9, ... an =2 an−1−a n−2 a3 =2 a3−1−a3 −2 a3 =2 a2−a 1 a3 =2(−3 )−(−9 ) a3 =−6 −(− 9) a3 =3 an =2 an−1−a n−2 a 4=2 a 4−1−a 4−2 a 4=2 a3 −a2 a 4=2(3)−(−3 ) a 4=6−(−3) a 4=9 La relación de recurrencia que corresponde es la #3 y es una sucesión recurrente. b. -1, 3, 3, 15, ...

an =2 an−1+3 an−2 a3 =2 a3−1+ 3 a3−2 a3 =2 a2+ 3 a1 a3 =2(3)+ 3 (−1 ) a3 =6+(−3 ) a3 =3 an =2 an−1+3 an−2 a 4=2 a 4−1+ 3 a4−2 a 4=2 a3 +3 a 2 a 4=2(3 )+3(3 ) a 4=6+ 9 a 4=15 La relación de recurrencia que corresponde es la #5 y es una sucesión recurrente.

c. -9, -3, 9, -2457, ... an =−3 an−1 +81 an−2−243 an−3 a3 =−3 a3−1 +81 a3−2−243 a 3−3 a3 =−3 a2 +81 a1−243 a0 a3 =−3 (−3 )+ 81 (− 9 )− 243 a3 =9+(−729)− 243 a3 =9+(−729)− 243 a3 =−963

La relación de recurrencia que corresponde es la #4 y efectivamente vemos que no hay recurrencia. d. -9, 3, -1, 1/3, ... −a an = n−1 3 −a3−1 a3 = 3 −a2 a3 = 3 −3 a3 = =−1 3

−an−1 3 −a2−1 a2 = 3 an =

−a1 3 −(−9 ) a2= =3 3 La relación de recurrencia que corresponde es la #1 y si hay sucesión de recurrencia. a2=

e. -9, -3, 3, 45/8, ... 12 an −1−12a n−2+ an−3 8 12 a3−1−12 a3 −2 + a3−3 a3 = 8 12 a2−12 a 1+ a0 a3 = 8 12 (−3 )−12 (−9 ) a3 = 8 −36 −(−108 ) a3 = 8 72 a3 = =9 8 La relación de recurrencia que corresponde es la #2 y efectivamente vemos que no hay sucesión de recurrencia. Relaciones de recurrencia: 1) an = (-an-1) /3 an =

2) 3) 4) 5)

an an an an

= = = =

(12an-1 -12an-2+an-3) /8 2an-1 - an-2 -3an-1+81an-2-243an-3 2an-1+3an-2...