técnicas de conteo PDF

Preview

Summary

Técnicas de conteo...

Description

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS AREA DE ESTADISTICA ESTADISTICA Taller Nro. 1 Integrantes. Llumiquinga Melani Canencia Nayeli

NRC. 3763 Fecha. 11/01/2021

Gualotuña Jennyfer Arce Yeraldi Yanqui Kevin Introducción El área de probabilidad y estadística entre sus numerosas aplicaciones nos permite estimar un gran número de sucesos y eventos, sin la necesidad de realizar un conteo exhaustivo o que requiera de una profundización basta además de no requerir de mucho tiempo para su análisis, las técnicas de conteo son las respuestas para poder conocer las posibles combinaciones que se pueden dar entre conjuntos y su “n” número de elementos. Antecedentes Las técnicas de conteo, más que un tema y una formula esta presenta diferentes alternativas para diferentes casos con el fin de presentar las posibles combinaciones y estas sean lo más fiables posibles, el trabajo en si busca el poder explicar de forma sencilla y entendible los diversos modelos que se pueden aplicar para encontrar un determinado número de combinaciones estas van desde: Principios multiplicativos y aditivos, permutaciones, combinaciones y variaciones, con la ayuda de ejemplos, la explicación que a continuación se detalla busca ser lo más entendible posible y que ayude al lector a comprender a profundidad acerca del tema. Desarrollo PRINCIPIO ADITIVO (Canencia Nayeli) Como se sabe la probabilidad tiene referencia a la potencialidad de ocurrencia de un evento, el principio aditivo se refiere a las formas que ese evento se pueda realizar, ya que permite medir de cuántas posibles maneras se puede ejecutar una actividad la cual, a su vez, tiene algunas alternativas para que se pueda realizar, seguido de ello solamente se puede elegir una de esas actividades a la vez.

Con lo anteriormente dicho, la probabilidad mide la frecuencia con la que un cierto evento ocurra. Para poder determinar esta frecuencia, es esencial saber de cuántas formas puede realizarse dicho evento. De una manera más clara y concisa el principio aditivo establece lo siguiente: Si M es un evento que tiene “m” maneras de ser realizado, y N es otro evento que tiene “n” maneras de ser realizado, y si también solo puede ocurrir A o B y no los dos al mismo tiempo, entonces para realizar dicha actividad será interpretado por M o N (M∪N), lo que es igual a a + b. EJEMPLO Si Paloma quiere comprar chocolates, pero en la tienda que desea comprar existen tres marcas comercializadoras de chocolate, siendo estas A, B y C, además sabiendo que:   

El chocolate A se vende de tres sabores: negro, con leche y blanco, además de haber la opción sin azúcar o con azúcar para cada uno de ellos. El chocolate B se vende de 2 sabores, negro y blanco, con la opción de tener o no maní y con o sin azúcar. El chocolate C se vende de 4 sabores, negro, fresa, con leche y blanco, con opción de tener o no nuéz, caramelo o avellanas, pero todos con azúcar.

En base a esto, la pregunta que se pretende responder es: ¿Cuántas variedades distintas de chocolate se pueden comprar?   

U = número de formas de seleccionar el chocolate A. G = número de formas de seleccionar el chocolate B. H = número de formas de seleccionar el chocolate C.

1° Paso Consiste en una simple multiplicación.   

U=3x2=6 G=2x2x2=8 H = 4 x 4 = 16

2° Paso Consiste en sumar los valores de la multiplicación.  

U + G + H = 6 + 8 + 16 U + G + H = 30 R = Se puede comprar 30 variedades de chocolate diferentes.

Para saber si se debe utilizar el principio aditivo, la pista principal es si en la actividad en cuestión existen varias opciones, como es el caso del chocolate.

Principio Multiplicativo (Yanqui Kevin) Dado un x número de elementos, y deseamos conocer las posibles combinaciones que se pueden efectuar sin la necesidad de realizar el conteo de sus elementos, este también es conocido como “análisis fundamental combinatorio”, su cálculo se lleva a cabo al multiplicar de manera sucesiva de tal forma que el resultado sea el número de eventos o combinaciones que se pueden dar. De forma práctica, si una elección “P1” cuenta con un “n” número de elementos o situaciones, y se presenta otra situación “P2” al igual con un “n2” número de elementos o situaciones mediante la multiplicación de estos elementos (n*n2) nos ayudara a encontrar el número de combinaciones posibles. Ejemplo. Martin por la mañana imagina las posibles combinaciones que puede tener de sus medias (M) con sus zapatos (Z), Martin cuenta con 5 pares de medias de distintos colores, y con 4 pares de zapatos. Solución M= Escoger un par de medias = 5 Z= Escoger un par de zapatos = 4 Para conocer el número de combinaciones posibles multiplicamos (n*n2) (n* n2) = (5*4) = 20 Respuesta De esta manera sabes que entre los pares de medias y zapatos con los que cuenta Martin se puede realizar 20 posibles combinaciones. Nota. La aplicación que este tipo de cálculo para conocer el número de combinaciones que se puede obtener, surge del diagrama de árbol de forma gráfica representa de mejor manera como funciona este cálculo. PERMUTACIONES (Melanie Llumiquinga) La permutación es una técnica de conteo que permite calcular las posibles ordenaciones de los elementos de un conjunto o número de elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio. En esta técnica de conteo se considera que existe el orden en la muestra, pero no es posible repetir ningún elemento de la población en su conformación.

FÓRMULA Dado un experimento aleatorio con una población que lo representaremos con n y una muestra r, si en la muestra existe orden, pero no repetición, el número de elementos del espacio muestral corresponde a la permutación de n P r y se define como:

donde: -

n: representa el total de objetos (población).

-

r: representa el total de objetos seleccionados (muestra).

CONSIDERACIONES -

En las permutaciones si importa el orden

EJEMPLOS 1. Un entrenador de fútbol tiene 5 balones de diferentes marcas que se denominarán A, B, C, D y E para los entrenamientos guardados en un bolso especialmente fabricado. Forma grupos de estudiantes numerados del 1 al 5, orden en que recibirán los balones. ¿De cuántas maneras pueden salir del bolso los balones?

Solución

Primer paso:

Identificamos los datos, que en este caso nos dice que existe un total de 5 balones dentro de la bolsa por lo que esa cantidad seria nuestra población (n), de los cuales los 5 se van a repartir para cada grupo de estudiantes por lo que su muestra es 5 (r)

Segundo paso: Reemplazamos los valores en la fórmula, identificando que no existe repetición y el orden si importa.

-

Respuesta: Los balones pueden salir de 120 maneras diferentes del bolso.

2. Si se eligen los colores amarillo, azul, rojo y verde para construir banderas en las que no se puede repetir un color y en las que se considera el orden. a) ¿Cuántas banderas diferentes de cuatro colores salen?

b) ¿Cuántas banderas diferentes de dos colores salen? Solución a) ¿Cuántas banderas diferentes de cuatro colores salen? Primer paso: Para este caso, n=4 y r=4, ya que se cuenta con cuatro colores y se emplearán todos cuatros en cada muestra:

Segundo paso Reemplazamos los valores en la fórmula, identificando que no existe repetición y el orden si importa.

-

Respuesta: El número de banderas diferentes que se pueden construir con los cuatro colores tomados de cuatro en cuatro, es 24.

b) ¿Cuántas banderas diferentes de dos colores salen? Primer paso:

Claramente en este caso, n=4 y r=2, ya que se forman banderas de dos colores, disponiendo de los cuatro colores.

Segundo paso: Reemplazamos los valores en la fórmula, identificando que no existe repetición y el orden si importa.

-

Respuesta: Se pueden formar 12 banderas diferentes con cuatro colores tomados de 2 en 2.

PERMUTACIONES CIRCULARES Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra. FÓRMULA:

Donde: n es el número de elementos

CONSIDERACIONES   

Importa el orden. Los elementos se ordenan en círculo. Participan todos los elementos en los ordenamientos.

EJEMPLOS: 1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? Primer paso: Identificamos el número de datos, que en este caso el número de elementos es 8

Segundo paso: Reemplazar en la fórmula

Respuesta: Las 8 personas, se pueden sentar de 5040 formas distintas en una mesa

-

redonda. 2.

¿De cuántas formas se pueden sentar 6 amigos alrededor de una mesa circular?

Primer paso: Identificamos el número de datos, que en este caso el número de elementos es 6

Segundo paso: Reemplazar en la fórmula

[ CITATION Mar18 \l 2058 ] Permutaciones con repetición (Jennyfer Gualotuña) Las permutaciones con repetición cómo dice su nombre es la repetición que existe en el total de “n” elementos. Sabiendo que el primero es decir “a” se repetirá varias veces, el segundo es decir “b” se repetirá varias veces, el tercero que es “c” como los anteriores se repetirá etc. Antes de adentrarnos a su fórmula debemos tener en consideración las tres condiciones que nos permitirá saber si es una permutación con repetición:   

El orden llega a importar Existen elementos repetidos Es la participación de todos los elementos involucrados en el ordenamiento.

A continuación, se mostrará la fórmula

Sabiendo que: n= a+b+c

Ya sabiendo las condiciones y su fórmula, nos podremos adentrar a ejercicios con el fin de lograr entender de mejor manera 1.

¿Cuántas palabras podemos obtener de las letras que forman en la palabra MANZANA?  Número de repeticiones M=1 A=3 N=2 Z=1 n= 7 

Reemplazo en la fórmula

R: Con las letras de la palabra se pueden formar 420 palabras. 2. Al tirar un dado 6 veces y teniendo en cuenta que el orden de los tiros si importa. ¿De cuántas maneras pueden salir 2 números 3, 2 números 2, 1 número 4 y 1 número 5?  Número de repeticiones 3= 2 2=2 4=1 5=1 n= 6



Reemplazo en la fórmula

R: Pueden ocurrir de 180 maneras. Combinaciones (Yeraldin Arce) las combinaciones son elementos en donde no es importante, el orden da igual por que va hacer el mismo tipo de evento en sí .En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido tante tener un orden de los mismos,los elementos en una combinación no se repiten si no esta verificado ,y tenemos n elementos en grupos de n es decir que no entran todos los elementos . dado un conjunto de N elementos se denomina combinaciones de tamaño R a todos los conjuntos que se puedan formar con R elementos entre , los N elementos de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento . La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

características de las combinaciones



la combinación solo se puede realizar una vez

   

no son admitidos procesos de fracción también se puede calcular combinaciones mediante métodos factoriales el orden no importa no se puede repetir elementos

EJEMPLO ¿ de cuántas formas puedo mezclar los 7 colores tomándolos de tres en tres ? datos n=7 r=3 fórmula nCr= n!k!(n-k)! reemplazamos 7C3= 7!3!(7-3)! 7C3= 7!3!(7-3)! 7C3= 7*6*5*4!3*2*1(4)! 7C3= 7*6*5*4!6*4!simplificamos 7C3= 7*5 =35 RESPUESTA podemos formar los colores de 35 formas de tres en tres Variaciones (Yanqui Kevin) Obtener las posibles combinaciones de un determinado número de elementos se puede calcular mediante dos fórmulas, cabe aclarar que estas permite obtener tanto combinación que no incurran en la repetición del número de elementos y por otro que si incluyan la repetición de estos. Variación sin repetición Para la resolución de este tipo de incógnitas utilizamos la siguiente formula: = En este se especifica que dado un X número de elementos, aquellos no pueden repetirse en cualquiera de las posibles combinaciones que pueda dar, por ejemplo: Ejemplo.

Dados los siguientes números: 3, 6, 8, 9, ¿Cuántos números de 2 cifras distintas se pueden llegar a formar? n= 4 r= 2 Aplicamos la formula. = 4!/(4-2)! ; = 4!/2! = 12 Respuesta El número de posibles combinaciones sin que se presente repetición en estos es de 12. Variación con repetición En este caso la forma a utilizar es mucho más sencilla, mediante la potenciación logramos dar solución a esta incógnita, la representación para esta fórmula es la siguiente: Ejemplo. Tomando el anterior ejemplo, los siguientes números: 3, 6, 8, 9 ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar? n= 4 r= 2 ; = ;= 4x4; = 16 A diferencia de la primera variación se muestra aquí un mayor número de combinaciones, esto se debe a que el número de posibilidades aumenta tras el poder utilizar el mismo elemento dos veces, se presenta una pequeña diferencia debido a que la cantidad de elementos requeridos no es grande.

Conclusiones -Conocer a fondo acerca las técnicas de conteo es de suma importancia en el campo de la estadística, y saber su funcionamiento dependiendo de las circunstancias y los lineamientos que cada uno de los conjuntos o elementos se presenta para poder dar solución o conocer el resultado dependiendo de los limites sobre lo que se fija este. - La aplicación correcta para cada uno de los casos es importante para no generar resultados erróneos que puedan llegar afectar el proceso y sobre todo la solución que se le pueda dar al problema Recomendaciones -

-

El trabajo presenta de forma concreta en base a ejemplos para un mejor entendimiento de cada una de las forma de solución de los problemas y el tener un buen análisis de lectura evitara una posible confusión de fórmulas otorgando seguridad al resultado. Llevar a cabo el correcto proceso de cada una de las formulas mostradas anteriormente garantizara que el resultado sea el indicado y no genere confusión al momento de resolverlas.

Bibliografía Alvarado, M. P. (2016). Instituto Tecnológico de Costa Rica. Obtenido de https://repositoriotec.tec.ac.cr/bitstream/handle/2238/367/CA104_PermComb_R 01.ppt?sequence=9&isAllowed=y Institución Educativa Técnico Agropecuario. (10 de Julio de 2015). La Arena. Obtenido de https://danacaweb.com/permutaciones.html Mate móvil. (2 de Febrero de 2019). Mate móvil. Obtenido de https://matemovil.com/permutacion-circular-ejercicios-resueltos/ Villavicencio, M. (31 de Diciembre de 2018). superprof. Obtenido de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinato ria/permutaciones-circulares.html#tema_definicion-de-permutaciones-circulares

J. (2021, enero). Permutación con repetición, ejercicios resueltos. Recuperado de MateMovil. https://matemovil.com/permutacion-con-repeticion-ejerciciosresueltos/#:%7E:text=La%20permutaci%C3%B3n%20con%20repetici %C3%B3n%2C%20se,el%20tercero%20%E2%80%9Cc%E2%80%9D %20veces%E2%80%A6&text=Donde%3A,n%20%3D%20a%2Bb%2Bc Vincenzo, J. (S.f). Principio Multiplicativo: Técnicas de Conteo y Ejemplos. Recuperado de https://www.lifeder.com/principio-multiplicativo/ Fernández, J. (2018). Combinatoria: Variaciones, permutaciones, y combinaciones. Formulas. Recuperado de https://soymatematicas.com/combinatoria/ Alex. Matematicas profealex. (2020). Diferenciar entre combinación, permutación o variación | Ejemplo 1. Recuperado de https://www.youtube.com/watch? v=dRN15Or4o00...