Unidad 2 Conjuntos Y Tecnicas DE Conteo PDF

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apuntes y definiciones...

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2 CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE

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2.1 CONJUNTOS

2.1.1

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor. CONJUNTO? DEFINICIONESs la agrupación, clase, o colección de objetos o en su elementos que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto. Esta relación de pertenencia que se establece entre los objetos o elementos es absoluta y posiblemente discernible y observable por cualquier persona. Entre los objetos o elementos susceptibles de integrar o conformar un conjunto se cuentan por supuesto cosas físicas, como pueden ser las mesas, sillas y libros, pero también por entes abstractos como números o letras. CLASES DE CONJUNTOS Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su último elemento. Ejemplo: M= {*/x es divisor de 24} M= {1,2,3,4,6,8,12,24} Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchísimos elementos, no se le puede llegar a contar su último elemento. Ejemplo: A= {*/x sea grano de sal} Conjunto Vacío: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos. El símbolo del conjunto vacío O o { }. Ejemplo:

C={*/x sea habitantes del sol} Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1). Ejemplo: D={*/x sea vocal de la palabra "pez"} OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN DE CONJUNTOS: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x € A o x € B} INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: La intersección es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o más conjuntos dados. Se denota por A∩B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A∩ B = { x / x € A y x € B }

Conjunto.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.

2.1.2 Operaciones: unión, intersección, complemento, diferencia En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis.

Unión El símbolo del operador de esta operación es: ∪ y es llamado copa. Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de la junta una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos. Ejemplos 1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6} 2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto.

Intersección El símbolo del operador de esta operación es: ∩ y es llamado capa. Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B. Ejemplos 1. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={0} o sea serían disjuntos.

2. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan sólo al baloncesto y el conjunto de personas que juegan sólo al fútbol es el conjunto vacío. Por lo tanto son disjuntos.

Diferencia El símbolo de esta operación es: \. La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B. Ejemplos 1. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el conjunto C {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}. 2. Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.

Complemento El símbolo de esta operación es: A∁ , o también se suele representar con el símbolo A Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. A=U-A Ejemplos 1. Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números impares 2. Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan. 3. Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos mayores de 5 incluyendo el 5, es el conjunto {1,2,3,4}

Diferencia simétrica El símbolo de esta operación es: Δ. L a diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene. 1.

Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.

2.1.3 Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U. Origen Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito. Diagramas de venn Diagrama de un conjunto Diagrama de dos conjuntos Diagrama de tres conjuntos Diagramas de más de tres conjuntos ¿Cómo se hace un diagrama de ven? Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen para ilustrar similitudes, diferencias y relaciones entre conceptos, ideas, categorías o grupos. Las similitudes entre los grupos se representan en las partes de los círculos que se superponen, mientras que sus diferencias se representan en las partes que no lo hacen. ¿Cuál es la función de un diagrama de ven? Los diagramas de Venn son representaciones gráficas que permiten mostrar la agrupación de cosas en forma de conjuntos, y sus relaciones.

2.1.4 Leyes: conmutativa, asociativa, distributiva

LEY CONMUTATIVA Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma. a+b = b+a a×b = b×a

EJEMPLOS: Puedes intercambiarlos cuando sumas:

3+6=6+3

Puedes intercambiarlos cuando multiplicas:

2×4=4×2

LEY ASOCIATIVA Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas. (a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c) Ejemplos: Esto:

(2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11

da el mismo resultado que esto:

2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11

Esto:

(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60

da el mismo resultado que esto:

3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60

LEY DISTRIBUTIVA La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado. Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:  

sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados

Así:

(a + b) × c = a × c + b × c Ejemplos:

Esto:

(2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30

da el mismo resultado que esto:

2×5 + 4×5 = 10 +20 = 30

Esto:

(6 − 4) × 3 = 2 × 3 = 6

da el mismo resultado que esto:

6×3 - 4×3 = 18 −12 = 6

2.1.5 Diagrama de árbol Un diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución. Se trata pues de un método orientado al despliegue de objetivos. ¿PARA QUE? Los diagramas de árbol resultan adecuados cuando lo que intentamos conseguir es: Mantener a todo el equipo vinculado a las metas y submetas generales de una tarea, de forma que se comprenda la totalidad de las acciones que se llevan a cabo. Enfatizar la importancia de crear soluciones para problemas ya detectados, e identificar los posibles problemas que generan las soluciones detectadas.

2.1.6 Espacio muestral El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Es decir, se compone de todos y cada uno de los sucesos elementales. El espacio muestral es una parte del espacio probabilístico. Como su propio nombre indica, está formado por los elementos de la muestra . Al contrario, el espacio probabilístico engloba todos los elementos. Incluso aunque no salgan recogidos en la muestra. Símbolo del espacio muestral El espacio muestral se denota con la letra griega Ω (Omega). Está compuesto por todos los sucesos elementales y/o compuestos de la muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro. Es decir, aquel suceso que siempre va a ocurrir. Un ejemplo de espacio muestral en el lanzamiento de una moneda sería: Ω = {C, X} Dónde C es cara y X es cruz. Esto es, los posibles resultados son cara o cruz

2.1.7 Tipos de evento Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos, los eventos se clasifican de la siguiente forma: Mutuamente Excluyentes: Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo Ejemplo: Cara o Escudo Independientes: Estos no se ven afectados por otros independientes. Ejemplo: El color del Zapato y la probabilidad que llueva hoy Dependientes: Cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro. Ejemplo: Repaso, Calificaciones No Excluyentes entre Si: Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro. Ejemplo: que una persona sea doctor que tenga 56 años, ser estudiante y ya estar casado.

El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Es decir, se compone de todos y cada uno de los sucesos elementales. El espacio muestral es una parte del espacio probabilístico. Como su propio nombre indica, está formado por los elementos de la muestra . Al contrario, el espacio probabilístico engloba todos los elementos. Incluso aunque no salgan recogidos en la muestra. Símbolo del espacio muestral El espacio muestral se denota con la letra griega Ω (Omega). Está compuesto por todos los sucesos elementales y/o compuestos de la muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro. Es decir, aquel suceso que siempre va a ocurrir. Un ejemplo de espacio muestral en el lanzamiento de una moneda sería: Ω = {C, X} Dónde C es cara y X es cruz. Esto es, los posibles resultados son cara o

Cuando el enunciado de un problema de la probabilidad tiene como condición que se presente uno u otro evento, la probabilidad total se forma por la suma directa de las 1) P(AoB)=P(A)+P(B) En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos está incluida en ellos esa probabilidad de la suma directa (regla general de la suma de probabilidades P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AyB) Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presente uno y otro evento, la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades individuales si los eventos son independientes. 2) P(AyB)=P(A)*P(B); si son independientes

Si los eventos son dependientes deben considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurrió un primer evento esto se conoce como: regla general de la multiplicación de probabilidades. 3) P(PyB)=P(A)*P(B\A)

2.2 TECNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que puede haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles. Este concepto se entenderá de forma más sencilla a través de un ejemplo. Si se tienen cuatro sillas, una amarilla, una roja, una azul y una verde, ¿Cuántas combinaciones de tres de ellas se pueden hacer ordenadas una al lado de la otra? Se podría resolver a este problema haciéndolo manualmente, pensando en combinaciones como azul, rojo y amarillo; azul, amarillo y rojo; rojo, azul y amarillo, rojo, amarillo y azul… Pero esto puede requerir mucha paciencia y tiempo, y para eso haríamos uso de las técnicas de conteo, siendo para este caso necesaria una permutación.

2.2.1 Principio Multiplicativo Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B Son independientes P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B Son dependientes P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B Son dependientes Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-

ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N 1x N 2x..........x N r maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplos:

Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1

N1x N2x N3x N4= 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

2.2.2 Principio aditivo Es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que, a su vez, tiene varias alternativas para ser realizada, de las cuales se puede elegir solo una a la vez. Un ejemplo clásico de esto es cuando se quiere escoger una línea de transporte para ir de un lugar a otro. El principio aditivo establece lo siguiente: Si A es un evento que tiene “a” maneras de ser realizado, y B es otro evento que tiene “b” maneras de ser realizado, y si además solo puede ocurrir A o B y no ambos al mismo tiempo, entonces las maneras de ser realizado A o B (A∪B) son a+b. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas …. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas Ejemplo: Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2.2.3 Permutaciones, combinaciones, permutación circular, permutación con repetición Permutaciones Antes de entender cómo hacer las permutaciones, es importante entender la diferencia entre una combinación y una permutación. Una combinación es un arreglo de elementos cuyo orden no es importante o no cambia el resultado final. En cambio, en una permutación, habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en cuenta su orden o posición. En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r. La fórmula que se utilizaría sería la siguiente: nPr = n!/(n-r)! Por ejemplo: Hay un grupo de 10 personas y hay un asiento en el que solo pueden caber cinco, ¿De cuántas formas se pueden sentar? Se haría lo siguiente: 10P5=10!/(10-5)!=10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 formas diferentes de ocupar el banco.

Combinaciones En las combinaciones, a diferencia de lo que sucedía con las permutaciones, el orden de los elementos no es importante. La fórmula a aplicar es...