Tarea ecuaciones diferenciales1 PDF

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1. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varía con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2 lb de A por cada libra de B. Si 10 lb de A y 20 lb de B están presentes inicialmente, y si 6 lb ...

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Tarea ecuaciones diferenciales1 gonzalo martinez

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3 APLICACIONES DEL MÉT ODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVER LA ECUACIÓN … Miguel Lòpez Cruz Ap Mat cuadernillo UPIBI Vanesa Arellano Covarrubias Ap Mat Manuel Silva

1. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varía con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2 lb de A por cada libra de B. Si 10 lb de A y 20 lb de B están presentes inicialmente, y si 6 lb de C se forman en 20 min, encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

Antecedentes: * La cinética química es el área de la Química que estudia la rapidez con que ocurren las reacciones químicas. * La velocidad de la reacción es una medida de la rapidez con que se consume una sustancia o la rapidez con que se produce cierta sustancia. * La rapidez se expresa como un cambio de concentración que tiene lugar en un intervalo de tiempo. * Factores que afectan la reacción: Naturaleza de los reactivos, Concentración de los reactivos, Temperatura, Catalizadores. Ecuación de velocidad * La relación entre concentración de reactivos y velocidad de reacción está dada por la ecuación de velocidad. * Para la reacción

+

→

�= [ ] [ ]

+

* Donde k es la constante cinética y su valor depende de la temperatura. * La suma de n + m se conoce como orden de la reacción. * k, n y m se determinan experimentalmente. * La utilidad de conocer la ecuación de velocidad de una reacción radica que si se conocen los valores de n, m y k se puede saber la velocidad de la reacción a cualquier concentración de los reactivos. * A medida que la concentración de reactivos disminuye la velocidad de reacción disminuye. * Considerando la ecuación de velocidad como un diferencial de cantidad de producto con respecto al tiempo, se puede plantear una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

Planteamiento: * El compuesto A y el B reaccionan para formar el compuesto C. * Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las concentraciones o cantidades de las sustancias que no han reaccionado.

Siendo: x (t): la cantidad de C en el instante t a (t): la cantidad de A consumida en el instante t b (t): la cantidad de B consumida en el instante t α: la cantidad inicial de A β: la cantidad inicial de B Se tiene que:

�

� = [ ][ ]

= [ −

][ −

]

* Debido a la Ley de la Conservación de la Masa de Lavoisier, se puede garantizar que la cantidad de C en cierto instante es igual a la suma de las cantidades que han reaccionado de A y B. * Por lo tanto, si se requieren M gramos de A y N gramos de B para producir una cantidad de M+N de C, entonces se puede decir que las cantidades consumidas de A y B en un cierto tiempo están dadas por: =(

=(

Solución:

).�

+

).�

+

En general para obtener X gramos de C = �

= �

La rapidez de formación del compuesto C está definida por �

∝

− �

−

�

Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a 2/3 como factor común del primer término, 1/3 del segundo e introduciremos la constante de proporcionalidad: �

=

( )

−� (

− �) =

−�

−�

Separamos variables e integramos haciendo uso de fracciones parciales: ∫

−�

−�

=

−� +

−�

�

=

−�

=

−� =

−�

∫

+

−�

− �+

− �

Ecuaciones: 60A + 15B = 1 y - A – B = 0; despejando B= - A; y sustituyendo en la ecuación resulta: A = 1/45 y B = -1/45

∫

� −�

(

−� )= −�

−

+∫

−� +

��+�1

� =− −� ln

= (

−� +

−� =

(

−� )= −�

��

ln

−� =

−� )= −�

(

+

−� )= −�

+

Hay dos condiciones, puesto que el químico C no está presente inicialmente, tenemos que x=0 en t=0

Y en x=6 en t=20 (

− )= −

(

− )= −

�

�

∴

=

( )=

.

Sustituyendo y despejando “x” obtenemos:

�

=

−

−

.

.

�

�

=

2. Una barra metálica a una temperatura de 100ºF se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0ºF. Después de 20 minutos la temperatura de a barra es 50ºF. a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de 25ºF? b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos

Antecedentes: Ley de Enfriamiento de Newton. En un cuerpo que se está enfriando la tasa de cambio de la temperatura T (t) con respecto al tiempo “t” es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T (t) y la temperatura TA del medio que lo rodea. Esto es �

=

� − ��

Donde k es una constante de proporcionalidad.

Solución: Sea T(t) la temperatura de la barra al tiempo “t”, luego T(0)=100ºF y T(20)=50ºF. La temperatura del medio ambiente, TA, TA=0ºF. Nótese que dT/dt es la velocidad a la que se enfría la barra. Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que �

=

� − ��

Y como TA = 0, este problema queda formulado con la siguiente ecuación diferencial y sus condiciones:

�

�

�

= � =

=

La solución general de la ecuación diferencial ya conocida ∫

� = �

∫

Como T (0)=100 se tiene que: =

Usando además T (20)=50 resulta: =

�

: � �

:

=

��

=

: k= − .

9

Sustituyendo k y c en la ecuación obtenemos la ecuación que describe la temperatura de la barra en cualquier tiempo: �

− .

=

9�

a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de 25ºF se obtiene resolviendo la ecuación T (t)=25, esto es: =

− .

�

9

=

− .

9

=

� .

b) La temperatura de la barra después de 10 min es igual a: �

=

− .

9

=

.

º�...