Tasas (Teoría, clase de Finanzas) PDF

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TasasOBJETIVOS.Que el alumno logre: Distinguir el concepto de capitalización subperiódica.  Reconocer las operaciones financieras y las situaciones de la vida real en las que nos encontramos con operaciones que implican más de una capitalización por periodo de tasa.  Incorporar vocabulario técnic...

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Tasas OBJETIVOS. Que el alumno logre:  Distinguir el concepto de capitalización subperiódica.  Reconocer las operaciones financieras y las situaciones de la vida real en las que nos encontramos con operaciones que implican más de una capitalización por periodo de tasa.  Incorporar vocabulario técnico correspondiente a esta unidad.  Obtener las formulas de monto e interés subperiódico.  Obtener las formulas de la tasa efectiva y nominal y su respectiva comparación.  Reconocer el concepto de tasas equivalentes de interés y establecer una relación de equivalencia entre varias tasas de interés.

Siguiendo el esquema inicial: Régimen Compuesto

Capitalización periódica

Capitalización subperiódica

1

Desarrollo de la unidad Recordemos que: Capitalización periódica es aquella en la que los intereses se capitalizan una vez por período de tasa. y Capitalización subperiódica es aquella en que los intereses se capitalizan vez por período de tasa

más de una

Veamos un ejemplo: Supongamos que tenemos $ 100.- y lo queremos invertir por un año. Luego de recorrer distintos bancos elegimos dos que ofrecen las mejores tasas del mercado financiero: Banco A y Banco B. En el Banco A: la tasa es del 8% anual y hay una sola capitalización en el año, mientras que el Banco B nos ofrece la misma tasa pero con capitalización semestral. Veamos en un eje de tiempo plasmadas las dos alternativas de inversión. Banco A  C0= 100

 Cn = C (1+ i.) Cn = 108

Banco B  C0= 100

 I1 = 100 . 0,08 = 4 2 C1= 100 (1+ 0,08 ) = 104

 I2= 104 . 0.08 = 4,16 2 C2= 104 ( 1 + 0,08 ) =

108,16 2

2

Resumiendo lo que sucede es: Cn = 100 (1 + 0,08). (1 + 0,08 ) = 100 (1 + 0,08 ) 2 = 108,16 2 2 2 En el Banco A, se enuncia la tasa del 8 %: Tasa Nominal y se obtiene un rendimiento efectivo del 8% que se obtiene de relacionar lo ganado con lo invertido O sea: I = 8 = 0,08 anual C 100 Ambas tasas anuales, nominal y efectiva, coinciden. En el Banco B, se enuncia la tasa del 8 % anual: Tasa Nominal, se trabaja con una tasa proporcional de la nominal: 0,04 semestral que resulta de dividir la nominal anual por la cantidad de capitalizaciones que, en este caso, son 2 y se obtiene un rendimiento efectivo del 8,16 % anual que provino de relacionar lo ganado con lo invertido 2

O sea: I = 8,16 = 0,0816 anual C 100 En esta operación intervinieron tres tasas:

Tasas En Capitalización Subperiódica

a) Tasa Nominal : “j m” b) Tasa proporcional: “j m / m” c) Tasa Efectiva : “i ”

Tasas en Capitalización Subperiódica. Definiciones Tasa Nominal: Es la tasa pactada en las operaciones, la que se escribe en los contratos, la que aparece publicada en las pizarras de los bancos y diarios, generalmente expresada en años como TNA. Tasa Subperiódica: Es proporcional de la nominal, es la tasa de trabajo que se utiliza en el cálculo y se obtiene dividiendo la tasa nominal por la cantidad de subperíodos que hay en el período de tasa considerado. Tasa Efectiva: Es la tasa efectivamente ganada en la operación, la que expresa el rendimiento efectivo de la operación por la reinversión de los intereses. Nos interesa encontrar una fórmula para determinar el monto en un régimen de capitalización subperíodica. Observando el ejemplo del Banco B y recordando que: Cn = C. (1 + i)n Siendo la tasa a aplicar en la capitalización subperíodica Jm m Remplazamos: Cn = (1 + Jm )m.n m “m.n” es el número de capitalizaciones por períodos de tasa, o bien cantidad total de capitalizaciones dentro del tiempo total de imposición. En el ejemplo planteado Cn = 100 (1 + 0,08)2.1 = 108,16 2 Tasas Equivalentes: El Banco B enuncia una tasa del 8% anual con capitalización semestral ofreciendo un rendimiento efectivo del 8,16% anual, quiere decir que en un año colocado el capital de $100 al 8,16% el monto obtenido es de $108,16. Del mismo modo colocando el capital al 8% anual con capitalización semestral en el mismo tiempo (un año) y habiendo dos capitalizaciones por año se obtiene Cn = 100 (1 + 0,08)2.1 = 108,16 3

2 El importe que se retira en ambos casos es el mismo!!! $108,16 Y así llegamos al concepto de tasas equivalentes. Dos tasas son equivalentes cuando a igual capital inicial e igual tiempo de imposición siendo diferentes las frecuencias de capitalización producen el mismo monto. ¿Cuáles son aquí las tasas equivalentes? En nuestro ejemplo, el 8% nominal anual con capitalización semestral y el 8,16% anual efectivo son equivalentes. No hay una tasa equivalente sino relaciones de equivalencia entre tasas, y por lo tanto puede haber varias tasas equivalentes, todo depende de la unidad de tiempo para la cual queremos encontrarla. Relaciones de equivalencia igualando montos: (1+ i) = (1 + Jm)m = (1+im)m m

Determinación de la tasa efectiva equivalente. Si decimos que los montos son iguales Cn (Periódico)

= Cn (subperiódico)

C (1+ i )n

= C (1 + Jm )m.n m Si los capitales “C” son iguales y el período “n” la unidad, podemos simplificarlos, quedando: (1+ i) = (1 + Jm )m m Despejando determinamos la fórmula de la tasa efectiva i = (1 + Jm)m - 1 m

Definición de tasa efectiva de interés : La tasa efectiva de interés es aquella que capitalizando una sola vez produce el mismo monto que la subperiódica capitalizando m veces Comparación analítica entre tasa efectiva “i” y la nominal “jm” (en función de “jm”)

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Esta comparación nos permite determinar en forma analítica, cómo es la tasa efectiva en comparación con la nominal utilizando la técnica del Binomio de Newton, del cual ya hablamos en la unidad anterior. En el ejemplo analizado para el Banco B en el tema “Tasas Equivalentes” determinamos que a una tasa del 8 % nominal anual corresponde un 8,16% efectivo anual cuando la capitalización es semestral, o sea, hay dos capitalizaciones por período de tasa. En el ejemplo del calculador del Banco Francés para una tasa del 6% nominal para 360 días la efectiva correspondiente, habiendo 360/7 capitalizaciones, es del 6, 18% para 360 días. Esto nos permite concluir que la tasa efectiva es mayor que la nominal cuando la capitalización es subperiódica, o sea, cuando hay más de una capitalización por período de tasa. En símbolos queremos demostrar: i > jm Para ello partimos de la siguiente relación de equivalencia (1+ i) = (1 + Jm )m m El polinomio de grado m se desarrolla por Binomio de Newton. 1+i = 1m + m.1 m-1. jm/m + m (m-1) 1m-2 . (jm/m)2 + m (m-1) (m -2) 1m-3 . (jm/m)3 + ...+(jm)m 2! 3! m Siendo que la unidad elevada a cualquier exponente es igual a 1 nos queda: 1+i = 1 + m . jm/m + m (m-1) (jm/m) 2 + m (m-1) (m -2) (jm/m)3 + ........... ...+(jm)m 2! 3! m Si denominamos alfa “α” a la serie formada por = m (m-1) (jm/m) 2 + m (m-1) (m -2) (jm/m)3 + …...+(jm)m 2! 3! m Notamos que la misma es decreciente, es decir su primer término es el de mayor valor absoluto, y que todos sus términos son positivos, dado que en un régimen de capitalización subpériodica el valor m es mayor que 1 (existe más de una capitalización por período de tasa) siendo la serie también positiva. m> 1

 α >0

(1 + i) = 1 + m . jm/m + α i = 1 + m . jm/m + α – 1 Simplificamos: i = jm + α

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A la tasa nominal le debemos sumar el valor de la serie α para igualar a la tasa efectiva, por ende:

i > Jm La tasa efectiva de interés indica la rentabilidad de la operación, y es la que permite decidir sobre la conveniencia de una colocación. Generalizando para distintas frecuencias de capitalización podemos concluir que: A medida que crece el número de capitalizaciones también crece la rentabilidad de la operación.

Comparación analítica entre tasa nominal “jm” y la efectiva “i” (en función de “i”) En símbolos queremos demostrar: Jm < i Para ello partimos de la siguiente relación de equivalencia (1 + Jm)m = (1+ i ) m Despejamos la tasa nominal “Jm” Jm = [(1+ i)1/m -1 ] m El polinomio de grado 1/m se desarrolla por el Binomio de Newton. Jm = [(11/m + 1/m 11/m - 1 i + 1/m (1/m – 1) 11/m -2 i 2 +1/m (1/m -1) (1/m -2) 11/m -3 i 3 + .... -1] m

2!

3!

Operando: Jm= [(1+ 1/m . i + 1/m (1/m – 1) i 2 +1/m (1/m -1) (1/m -2) i 3 + .... -1] m 2! 3! Simplificamos el “1” y separamos en términos: Jm= [1/m.i + 1/m (1/m – 1) i 2 +1/m (1/m -1) (1/m -2) i 3 + .... ] m 2! 3! En cada término existe un factor “m” en el denominador, que simplificamos con la “m” que multiplica la ecuación. Jm = i + (1/m – 1) i 2 + (1/m -1) (1/m -2) i 3 +...... 2! 3! Analizando la siguiente serie (1/m – 1) i 2 + (1/m -1) (1/m -2) i 3 +...... que llamamos α 2! 3! Notamos que en el primer término tenemos (1/m -1) siendo su resultado negativo, ya que el valor de m > 1, multiplicamos por (-) cada uno de sus miembros y sacamos fuera del paréntesis el signo, si analizamos el segundo (1/m -1) (1/m -2), y siguiendo igual procedimiento, su

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resultado se torna positivo, dado que (-).(-) es positivo, alternándose en la serie los términos negativos y positivos, pero al ser decreciente la serie, el primer término es el de mayor valor absoluto, y es el que le da el signo a toda la serie. Jm= i – ( 1 - 1/m ) i2 + (1 - 1/m ) (2 - 1/m ) i 3 + ......... 2! 3! Jm = i – α Comprobando:

Jm < i La tasa nominal de interés se enuncia, pero en la práctica se trabaja con la subperiódica “im”, es decir se enuncia una tasa periódica y las frecuencias son menores a ese período. Relación entre las tasas nominales “Jm” “Jm+1” “Jm+2”..... Dada una tasa constante “i” cómo son las tasa nominales a medida que aumenta la cantidad de capitalizaciones. Partiendo de la siguiente ecuación hallada en el punto anterior: Jm= i – ( 1 - 1/m ) i2 + (1 - 1/m ) (2 - 1/m ) i 3 + ......... 2! 3! Jm+1 = i – (1-1/m +1) i2 + 1 - 1/ m +1) (2 - 1/ m +1 ) i 3 + ......... 2! 3! Es decir: Jm = i – α Jm+1 = i – α’ Si comparamos la serie alfa con respecto a alfa’, obtendremos la relación existente entre Jm y Jm+1 dado que el valor de “i”permanece constante. Como el primer término de α y α’ es el mayor en valor absoluto y el que, como ya dijimos, le da el signo a toda la serie, comparándolos obtendremos esa relación.

α = ( 1 - 1/m ) i2 + ... 2! y

α’ = ( 1 - 1/ m +1 ) i2 + ...

2! Analizamos el primer término: m

< m+1

1 m

> 1 m+1

1- 1 < 1–1 m m+1

α

<

α’

7

Siendo alfa menor que alfa prima resulta:

Jm > Jm+1

Y ello mismo se hace extensible a las relaciones entre “Jm”, “Jm+1”, “Jm+2”..... que resulta Jm > Jm+1 > Jm+2

........

Conclusión: A medida que crece el número de capitalizaciones para un rendimiento constante, una menor tasa nominal garantiza dicho rendimiento

Actividades PROBLEMAS RESUELTOS 1. El Señor Horacio Gómez firmo una obligación con vencimiento a tres años por $100.000. Sabiendo que en la fecha ha cobrado una deuda por la venta de una de sus propiedades, decide realizar una colocación en una institución financiera que le ofrece el 24% anual con capitalización bimestral. Cual será esa suma sabiendo que con ella hará frente a su obligación. Co= 100.000 ( 1+ 0,24 )-3 x 6 6 Co= 49362,8121 Respuesta: $49.362,81 2. Cuál es el monto que se puede retirar sabiendo que en la fecha se realizó una inversión de $2.000 a una tasa del 24% anual con capitalización semestral, durante 5 años y 6 meses. Cn= 2.000 ( 1+0,24 )5,5 x 2 2 C11 = 2.000 x 1,1211 = 6.957,09999

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Respuesta: $6.957,09

3. El señor Pedro Diaz firmo tres documentos, uno de $100.000 a tres años, otro de $120.000 a cinco años y el último por $170.000 a 9 años. Para hacer frente a estas obligaciones decide formar un fondo, sabiendo que el dinero depositado ganará un interés del 11% anual con capitalización trimestral. ¿Cuál será el valor de ese fondo? C = 100.000 (1+ 0.11 )-3x4 + 120.000 (1+ 0,11)-5 x 4 + 170.000 (1+ 0.11 )-9x4 4 4 4 C = 205.981,64 Respuesta: $205.981.64 4. Seleccione la mejor alternativa de efectuar un plazo fijo a un año por la suma de $ 20.000: a) a la tasa del 6% Anual capitalizable cada 90 días b) ajustado por CER : Fecha de colocación desde el 1º de de junio de 2005, CER : 1.6183 hasta el 1 de junio de 2006 , CER : 1,8054

Realizamos los cálculos para determinar cual sería la suma a recibir al cabo de un año

Como la tasa es nominal anual, se buscó su” i “ efectiva equivalente: c/90 dias jm =0,060 (a) 12/3 = (1+i)

(1+0,06/12*3) i=0,0614 (a)

Partiendo de la fórmula: Cn=C (1+ i) Reemplazamos los valores en la formula: Cn=20.000 (1+0,0614) M=21.228

Esto daría la colocación en plazo fijo.

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*PLAZO FIJO AJUSTADO POR CER: Para un plazo fijo en pesos de 365 días,montos desde $5.000 tasa plazo 1 año

Fecha 01/06/2006 01/06/2005

TNA $ 0,01% + CER

20.000 X 1,8054 X (1+0,0001) = 1,6183

CER 1,8054 1,6183 colocación en p por CER

24.545,43

La mejor alternativa sería el plazo fijo ajustado por CER 5. a) Determine las tasas reales y de inflación mensuales en el caso de un depósito que se coloca a comienzos del mes de septiembre por un capital de $5.000 renovando el vencimiento, mensualmente, hasta fines de noviembre. Las tasas de interés pactadas fueron del 6,5 % mensual para septiembre; 5,5% para octubre y 6 % para el mes de noviembre. La evolución del índice de precios al consumidor publicado por el INDEC alcanzó los siguientes valores: Agosto 100.165,53 Septiembre 102.164,18 Octubre 104.152,74 Noviembre 106.619,62 b) Determine la tasa real, la tasa de inflación y la tasa de interés, trimestral. c) Determine el monto ajustado y el monto obtenido al final del mes de noviembre. d) Que le indica la tasa real trimestral hallada. a) Co n ir ia septiembre ia octubre ia noviembre Agosto Septiembre Octubre Noviembre if septiembre

$ 5.000 3 ? 0,065 0,055 0,060

meses

mensual mensual mensual

100.165,53 102.164,18 104.152,74 106.619,62 I Base Septiembre

-1

102.164,18

-1

=

0,019953 10

I Base Agosto

100.165,53

if octubre

I Base Octubre I Base Septiembre

-1

104.152,74 102.164,18

-1

=

0,019464

if noviembre

I Base Noviembre I Base Octubre

-1

106.619,62 104.152,74

-1

=

0,023685

1 + ir

=

1 + ia 1+ if

ir

=

1 + 0,065 1 + 0,019953

ir septiembre

=

0,044166

ir

=

1 + 0,055 1 + 0,019464

ir octubre

=

0,034857

ir

=

1 + 0,06 1 + 0,023685

ir noviembre

=

0,035475

Cn

=

Cn ajust.

=

-1

-1

-1

5000 * ( 1 + 0,044166)^1 * (1 + 0,034857)^1 * (1 + 0,035475)^1 $ 5.594,47

b) ia = (1+0.065) . ( 1+0.055). (1+0.06) -1 = 0.19099 trimestral if = 106619.62 -1 = 0.0644342 trimestral 100165.53 ir = 1 + ia -1 = 1+ 0.19099 -1 = 0.1188 trimestral 1+ if 1+ 0.0644342 c) El monto obtenido al final del mes de noviembre: Cn = 5.000 (1+0.065) . ( 1+0.055). (1+0.06) = 5954.95 11

El monto ajustado al final del mes de noviembre : Cn ajust = 5594.47 d) La tasa real positiva indica que la rentabilidad real de la operación depurada de inflación es : ir = 0.1188 trimestral

Preguntas teóricas:    

¿Cuál es el período de capitalización que deberá tener la tasa nominal para igualar a la tasa efectiva? ¿Cuando decimos que dos o más tasas que tienen diferentes frecuencias de capitalización son equivalentes? En qué se diferencia la frecuencia de capitalización al número de capitalizaciones. Las tasas nominales son las enunciadas por las entidades financieras y las efectivas son las que muestran la verdadera rentabilidad de la inversión ¿Cuál de las dos utiliza en la fórmula de tasa real, como tasa aparente?

Glosario Capitalización periódica y subperiódica. Tasa en capitalización subperiódica. Capitalización compuesta subperiodica Tasa Nominal Anual (TNA), Tasa Subperiódica Anual, Tasa Efectiva Anual. Tasas Equivalentes de interés. Relaciones de equivalencia igualando montos. Determinación de la tasa efectiva equivalente. Comparación analítica entre tasa efectiva y la nominal. Comparación analítica entre tasa nominal y la efectiva. Bibliografía 

López Dumrauf, (2003) “Cálculo Financiero Aplicado. Un enfoque profesional”. Bs.As., Editorial La Ley.

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