TD1 Algèbre2 18 - td algèbre L3 maths PDF

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Université Paris Diderot L3 mathématiques

Algèbre 2 année 2017-2018

Feuille de TD no 1 Révisions d’algèbre : anneaux, corps, polynômes Anneaux Exercice 1 Soit φ : A → B un morphisme d’anneaux et soit a ∈ A. Parmi les énoncés suivants, certains sont vrais et certains sont faux. Selon le cas, donner une preuve ou un contre-exemple. (1) Si a est inversible, alors a 6∈ Ker(φ). (2) Si φ(a) est inversible, alors a est inversible.

(3) Si φ est bijectif et a est irréductible, alors φ(a) est irréductible. (4) Si a est inversible alors φ(a)2 est inversible. (5) Si φ est injectif et a irréductible, alors φ(a) est irréductible. (6) Si φ est surjectif et φ(a) irréductible, alors a est irréductible. Exercice 2 On considère l’anneau des entiers de Gauss Z[i] où i2 = −1, et l’anneau quotient A = Z[i]/(1 + 3i). (1) Montrer que i ≡ 3 dans A. (2) En déduire que le morphisme d’anneaux φ : Z → A est surjectif.

(3) Démontrer l’isomorphisme d’anneau Z[i]/(1 + 3i) ≃ Z/10Z. (4) Quelle est la caractéristique de A

Exercice 3 On pose j = e2iπ/3 et on note Z[j] le sous-anneau de C défini par Z[j] = {a + bj|a, b ∈ Z}. (1) Montrer que 2 n’est par inversible dans Z[j]. (2) expliquez pourquoi Z[j] est un anneau intègre. (3) Justifier que pour tout P ∈ Z[X], il existe deux polynômes uniques Q et R de Z[X] tels que P = (X 2 + X + 1)Q + R et R est de degré inférieur ou égal à 1. (4) Montrer que l’application p : Z[X] → Z[j], P 7→ P (j) est un morphisme d’anneaux surjectifs. (5) Montrer que les deux anneaux Z[X]/(X 2 + X + 1) et Z[j] sont isomorphes.

(6) En déduire que l’idéal (X 2 + X + 1) de Z[X] est premier mais pas maximal.

Polynômes Exercice 4 Factoriser sur C, sur R et sur Q les polynômes suivants : X 2 − 2, X 2 + 2, X 2 + X + 1, X 4 − 4, X 4 + 4, X 4 − X 2 + 1. Exercice 5 Factoriser sur C le polynôme X 8 + X 4 + 1. Exercice 6 Soit K un corps. (1) Déterminer tous les couples (U, V ) ∈ K [X]2 tels que X n U + (1 − X )V = 1, où n ≥ 1.

(2) Démontrer que A(X) = X 3p+2 + X 3q+1 + X 3r ∈ R[X] est divisible par X 2 + X + 1 pour tout (p, q, r) ∈ N3 .

Factorisation, lemme de Gauss, critère d’Eisenstein Exercice 7 Soit A un anneau principal, P ∈ A[X] et a ∈ A. Montrer que P est irréductible si et seulement si le polynôme P (X + a) est irréductible. Donnez un exemple d’un polynôme P qui est irréductible et tel que le polynôme P (X 2 ) ne l’est pas. Exercice 8 Le but de cet exercice est de démontrer le lemme de Gauss. Soient A un anneau principal et K le corps des fractions de A. On définit le contenu d’un polynôme P ∈ A[X] comme le pgcd de ses coefficients et on le note cont(P ) (il est donc défini à un inversible de A près). On dit que P est primitif si son contenu vaut 1. (1) Soient P , Q deux polynômes primitifs de A[X]. Montrer que cont(P Q) = 1. (2) En déduire que pour tous P, Q ∈ A[X], cont(P Q) = cont(P )cont(Q).

(3) Montrer que pour tout P ∈ A[X] non constant, on a l’équivalence suivante : P irréductible dans A[X] ⇐⇒ P primitif et P irréductible dans K [X]. Exercice 9 Montrer que les polynômes X 4 + X + 1, X 4 ± X 3 + 2X + 1 et X 6 + X 2 + 1 sont irréductibles sur Z. Le sont-ils sur Q ? Exercice 10 Le but de cet exercice est de démontrer le critère d’Eisenstein, qui est le théorème suivant : Soit A un anneau principal et K = Frac(A) son corps des fractions. Soit f = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ A[X] de degré n > 1. Soit p un élément premier de A. Supposons : — p ∤ an — pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, p | ak — p2 ∤ a0 . Alors f est irréductible dans K [X]. Exercice 11 (1) Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles sur Q : a) 2X 7 + 15X 2 − 45 ; b) X 4 − X 3 + 2X + 1 ;

c) 92 X 5 + 35 X 4 + X 3 + 13 ; d) X n − p, p premier, n ≥ 1 ;

e) X p−1 + · · · + X + 1, p premier ;

(2) Quelle est dans Z[X] la décomposition en irréductibles de P = 6X 5 + 30X 2 + 12X − 12 ?

Exercice 12 (1) Montrer que l’application réduction modulo p : Z[X] → Z/pZ[X], a0 + a1 X + · · · + an X n 7→ a ¯0 + a ¯1X + · · · + a ¯ n X n est un morphisme d’anneaux.

(2) Soient P ∈ Z[X] un polynôme de contenu 1 et p un nombre premier qui ne divise pas le coefficient dominant de P . On suppose que la réduction modulo p de P est un polynôme irréductible de Z/pZ[X]. Montrer que P est irréductible dans Z[X]. (3) Qu’en est-il de la réciproque ? Que se passe-t-il si on ne suppose pas que P est de contenu 1 ? (4) Applications : Montrer que X 4 +10X 3 + 7 et X 4 ± X 3 + 2X + 1 sont des polynômes irréductibles dans Z[X].

Exercice 13 Montrer que sur Fp (p premier) il y a exactement et

p3 −p 3

p2 −p 2

polynômes unitaires irréductibles de degré 2 Pn n(n+1)(2n+1) 2 .) i=1 i = 6

polynômes unitaires irréductibles de degré 3. (on rappelle que

Exercice 14 Parmi les anneaux suivants lesquels sont des corps ? 4. Z[X]/(X 7 − 12X 4 + 9X 2 − 3) ;

1. Z[X]/(2X + 2) ;

5. Q[X]/(X 7 − 12X 4 + 9X 2 − 3) ;

2. Q[X]/(2X + 2) ; 4

3

2

6. Q[X]/(X 4 + 5X 3 + 2X + 1) ;

3. R[X]/(X + X + 2X + 7) ;

Extensions de corps, éléments algébriques Exercice 15 (1) Montrer que les nombres suivants sont algébriques sur Q et donner leur polynôme minimal : √ 2,

q

√ 4 + 2 2,

√ 3 2

√ (2) Même question sur Q( 2). 2iπ

(3) On note j = e 3 . Montrer que les nombres suivants sont algébriques sur Q et donner leur polynôme minimal : √ √ √ √ √ j 2, 2 + 3, i + 2, j + 3, i + j.

Exercice 16 2πi Soit ζ7 := e 7 ∈ C. (1) Montrer que ζ7 est algébrique sur Q et déterminer [Q(ζ7 ) : Q]. (2) Déterminer le polynôme minimal de ζ7 + ζ 27 + ζ74. √ (3) Montrer que Q(ζ7 + ζ 72 + ζ74 ) = Q( −7).

(4) Déterminer le polynôme minimal de ζ7 + ζ 67 ....