TD5 Algèbre2 18 - td algèbre L3 maths PDF

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Université Paris Diderot L3 mathématiques

Algèbre 2 année 2017-2018

Feuille de TD no 5

Endomorphismes et dualité Exercice 1 Soit u un endomorphisme de R4 dont la matrice  0 0 A= 0 0 Déterminer tous les sous-espaces F de R4 stables dont la matrice est  0 0 B = 0 0

dans la base canonique est donnée par  1 0 0 0 0 0 . 0 1 1 0 0 1 par u. Procéder de même pour l’endomorphisme v  1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 0 0

Exercice 2 Dans R4 muni de sa base canonique, on considère les vecteurs v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (1, 1, 0, 0) et le sous-espace F = Vect(v1 , v2 , v3 ). Montrer que donner un système d’équations linéaires dont l’espace vectoriel des solutions est F équivaut à donner une base de F ⊥ . Montrer que F est un hyperplan de R4 et donner son équation cartésienne. Exercice 3 Montrer que pour A ∈ Mn (K ), l’application ϕA : X 7→ Tr(AX) est une forme linéaire sur Mn (K ). Montrer que l’application Mn (K ) → Mn (K )∗ qui à A associe ϕA est bijective. Montrer que si φ est une forme linéraire sur Mn (K ) satisfaisant φ(AB) = φ(BA) pour tous A, B ∈ Mn (K ), alors il existe λ ∈ K tel que pour tout X ∈ Mn (K ) : φ(X) = λ Tr(X). Exercice 4 Soient x0 , x1 et x2 trois réels deux à deux distincts et E = R3 [X ]. Pour tout R xi ∈ {0, 1, 2}, on considère les formes linéaires ϕi : P 7→ P (xi ) ainsi que ψi : P 7→ P ′ (xi ) et δ : P 7→ x02 P (t)dt. 1. Démontrer que (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , ψ1 ) et (ϕ0 , ϕ2 , ψ0 , ψ2 ) sont deux bases de E ∗ .

0) (ϕ0 + ϕ2 ) + 2. Démontrer que δ = (x2 −x 2 T2 3. Déterminer i=0 ker ϕi .

(x2 −x0 )2 12

(ψ0 − ψ2 ).

Rx 4. En déduire que la famille (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , δ ) est liée si et seulement si x02 (t−x0 )(t−x1 )(t−x2 )dt = 0. (Indication : Utiliser la question 2 de l’exercice 14 de la feuille 4.) 2 0 5. On suppose que x1 = x0 +x , démontrer que δ = x2 −x (ϕ0 + 4ϕ1 + ϕ2 ). 2 6

Exercice 5 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme de E et F un sous-espace de E . Démontrer que F est stable par u si et seulement si F ⊥ est stable par t u. Exercice 6 Montrer que si u un endomorphisme de E est nilpotent de rang p alors il en est de même pour t u. Soit u un tel endomorphisme. Montrer qu’il existe x ∈ E et ϕ ∈ E ∗ tels que F = Vect(x, u(x), . . . , up−1 (x)) et G = Vect(ϕ, t u(ϕ), . . . ,t up−1 (ϕ))◦ sont stables par u et satisfont E = F ⊕ G.

Matrices élémentaires   On considère ici les matrices à coefficients dans un corps K donné. Soit A = aij 16i6n ∈ Mn,p(K) 16 j 6 p

une matrice quelconque et pour tout i ∈ {1, . . . , n}, soit ji le numéro de colonne du premier coefficient non nul de la i ème ligne s’il en existe (autrement dit le plus petit j tel que aij 6= 0 s’il existe un tel j). On rappelle que la matrice A est dite échelonnée s’il existe un numéro de ligne r ∈ {1, . . . , n} tel que j1 < . . . < jr et tel que ji n’est pas défini lorsque i > r. Les coefficients aiji (1 6 i 6 r) sont alors appelés pivots de la matrice échelonnée A et r est le rang de A. Si de plus tous les pivots de A sont égaux à 1 et si tous les coefficients au-dessus des pivots sont nuls (autrement dit si alji = δl,i pour tous l 6 i 6 r), alors la matrice échelonnée A est dite réduite. On notera de la façon suivante les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice : • Li ← Li + λLj • Li ← λLi • Li ↔ Lj

où λ = 6 0 et i 6= j où λ = 6 0

(a joût de λ fois la j ème ligne à la i ème ligne) (multiplication par λ de la i ème ligne) (échange des i ème et j ème lignes).

Les matrices élémentaires de Mn (K) sont les matrices obtenues par l’une de ces opérations élémentaires à partir de la matrice identité In . On les notera ici Tij (λ) (pour l’opération Li ← Li + λLj ), Di (λ) (pour l’opération Li ← λLi ) et Pij (pour l’opération Li ↔ Lj ). Exercice 7 (1) Décrire ces matrices élémentaires Tij (λ), Di (λ) et Pij et vérifier qu’elles sont toutes inversibles. (2) Montrer que l’inverse d’une matrice élémentaire est aussi une matrice élémentaire (que l’on précisera dans chaque cas). (3) Soit A ∈ Mn,p(K). Montrer que les opérations élémentaires Li ← Li + λLj , Li ← λLi , Li ↔ Lj transforment cette matrice A respectivement en Tij (λ)A, Di (λ)A et P(ij) A. (4) Rappeler brièvement comment on échelonne une matrice quelconque A à l’aide d’opérations élémentaires Li ← Li + λLj et Li ↔ Lj . Comment s’appelle la méthode utilisée ? (5) En déduire que pour toute matrice A, il existe un produit P de matrices élémentaires tel que P A soit une matrice échelonnée. Exercice 8 Outre les opérations élémentaires sur les lignes rappelées ci-dessus, on considère l’opération (non 1 2 ème élémentaire) : −L ligne puis i ↔ Lj (où i 6= j) consistant à : 1. d’abord multiplier par −1 la i ème ème ′ 2. échanger les i et j lignes. Pour tous i6= j, on pose : P ij = Pij Di (−1). (1) Justifier le fait que si une matrice A′ est obtenue à partir d’une autre matrice A par l’opération 1 2 ′ Lj (i6= j), alors A′ = P ij A. −Li↔ (2) Montrer que l’échelonnement d’une matrice quelconque peut s’effectuer uniquement à l’aide 1 2 d’opérations de types Li ← Li + λLj et −L i ↔ Lj (avec i6= j dans les deux cas). (3) En déduire que pour toute matrice A, il existe un produit P de matrices, chacune de la forme : Tij (λ) ou Pij′ , tel que P A soit une matrice échelonnée. (4) Montrer que pour tous i6= j, la séquence d’opérations élémentaires : Li ← Li +Lj , Lj ← Lj −Li , Li ← Li+Lj puis enfin Li ↔ Lj , revient à effectuer une seule opération élémentaire sur les lignes que l’on précisera. (5) En déduire pour tous i 6= j et sans aucun calcul la matrice : Pij Tij (1)Tji (−1)Tij (1), puis une expression de Pij′ comme le produit de matrices élémentaires du type Tkl (λ). (6) Montrer que pour toute matrice A, il existe un produit P de matrices élémentaires de type Tij (λ) tel que P A soit une matrice échelonnée. En déduire la proposition suivante : Proposition Toute matrice peut être échelonnée uniquement à l’aide d’opérations élémentaires de la forme : Li ← Li + λLj (i 6= j ).

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Exercice 9 (1) À l’aide de la proposition qui précède, montrer que l’on peut échelonner et réduire une matrice quelconque par une séquence d’opérations élémentaires du type : Li ← Li + λLj (i 6= j), suivie d’une séquence d’opérations élémentaires du type : Li ← λLi (λ 6= 0). (2) En déduire que pour toute matrice A, il existe un produit P de matrices élémentaires de la forme : P = Dk1(λ1 ) . . . Dkp (λp ) Ti1 j1(µ1 ) Ti2 j2(µ2 ) . . . Tiq jq(µq ) tel que P A soit une matrice échelonnée réduite. (3) Montrer que la séquence d’opérations : Li ← Li +λLj , Lj ← Lj −λ−1 Li , Li ← Li +λLj puis enfin Li ↔ Lj , équivaut à une séquence de deux opérations élémentaires du type Lk ← νLk . déf (4) En déduire une expression de Sij (λ) = Tij (λ)Tji (−λ−1 )Tij (λ) de la forme : Pij Dk1(ν1 )Dk2(ν2 ) pour des ki , νi (i = 1, 2) que l’on précisera. (5) Justifier les relations : Pij Di (λ) = Dj (λ)Pij , Di (λ)Dj (µ) = Dj (µ)Di (λ) (i 6= j) et en déduire une expression de Sij (λ)Sij (−1) de la forme : Dk1(ν1 )Dk2(ν2 ) pour des ki , νi (i = 1, 2) à préciser. (6) Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, tout produit Dk1 (λ1 ) . . . Dkp (λp ) peut être mis sous la forme : Dk (λ) Ti1 j1(µ1 ) . . . Tih jh(µh ). (7) En déduire que pour toute matrice A et tout k ∈ {1, . . . , n}, il existe un produit P de matrices élémentaires de la forme : P = Dk (λ) Ti1 j1(µ1 ) Ti2 j2(µ2 ) . . . Tih jh (µh ) tel que P A soit une matrice échelonnée réduite, puis la proposition suivante :

Proposition Toute matrice A peut être échelonnée et réduite à l’aide d’une suite d’opérations élémentaires de la forme : Li ← Li + λLj (i 6= j, λ 6= 0), suivie d’une unique opération de la forme : Lk ← λLk (λ 6= 0). Pour cette dernière opération, le numéro de ligne k peut être choisi arbitrairement. Lorsque A n’est pas inversible, cette dernière opération peut donc être omise. Exercice 10 À l’aide de la proposition ci-dessus, montrer que : – Toute matrice A ∈ GLn (K) est de la forme : A = D1 (λ) Ti1 j1 (µ1 ) Ti2 j2(µ2 ) . . . Tih jh(µh ) . – Le groupe SLn (K) est engendré par les matrices élémentaires de la forme : Tij (λ) . Exercice 11 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On rappelle qu’un endomorphisme f ∈ L (E) \ {id E } est une transvection s’il existe un hyperplan H de E tel que – f|H = id H , – f (x) − x ∈ H pour tout x ∈ E . (1) Déterminer le polynôme minimal d’une transvection. Trouver les valeurs propres d’une transvection. Une transvection est-elle diagonalisable ? (2) Montrer que tout endomorphisme de E ayant une matrice de la forme Tij (λ) est une tranvection. (3) Parmi les endomorphismes correspondant aux matrices suivantes, lesquels sont des transvections ? Déterminer leurs polynômes minimaux. Le polynôme minimal caractérise-t-il une transvection ?             1   

1

1

1 1

  ,   1

1

8 1

1

   ,   1

1

7

1

1 1

  ,   

8 1

1

1   , 3  2 1

1

1

1   ,   1

1

2 3 1 4

 .  1

(4) Soient f et g deux transvections distinctes. Est-ce que f + g peut être une transvection ? Donner un exemple tel que f ◦ g est une transvection. Donner un autre exemple tel que f ◦ g n’est pas une transvection. P (5) Soit {e1 , . . . , en } une base de E. Soient v = ai ei ∈ E avec ai ∈ K et f ∈ L (E) défini par f (ei ) = ei pour i ∈ {1, . . . , n − 1} et f (en ) = v. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les ai pour que f soit une transvection.   1 2 . Écrire f (6) Soit f un endomorphisme dont la matrice dans une certaine base est M = 3 4 comme un  produit decertaines transvections et d’un endomorphisme diagonal. Même question 5 1 0 pour N =  0 1 0. 6 4 3 Page 3

  a 0 (7) Soit f un endomorphisme dont la matrice dans une base B de E est M = ∈ GL2 (K ) 0 b avec a 6= 1. Écrire f comme un produit decertaines transvections et de l’endomorphisme dont  1 0 . la matrice dans la base B est A = 0 ab

Groupe GL(E) et sous-groupes classiques Exercice 12 Le groupe G = GLn (R) opère sur l’ensemble Rn par multiplication à gauche. 1. Décrire la décomposition de Rn en orbites pour cette opération 2. Quel est le stabilisateur du vecteur (1, 0, · · · , 0) ? 3. Dans le cas n = 2 on considère le sous-groupe H des rotations dans R2 . Donner la décomposition de R2 en orbites sous l’action de H . Faire un dessin. Exercice 13 On considère l’ensemble S = Mm,n (R) l’ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans R, et G = GLm (R) × GLn (R). 1. Démontrer que l’application G ×S → S (P, Q) × A → 7 P AQ−1 définit une opération de G sur S . 2. Décrire la décomposition de S en orbites.    3. On suppose que m 6 n. Donner le stabilisateur de la matrice Im  0 . Exercice 14 Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie et P(E) l’ensemble des droites de E passant par 0. (1) Montrer que GL(E) opère (de manière naturelle) sur P(E ). Cette action est-elle transitive ? (2) Montrer que PGL(E) opère fidèlement sur P(E ). (3) En déduire que GL2 (F2 ) = SL2 (F2 ) = PSL2 (F2 ) ≃ S3 (4) En déduire que PGL2 (F3 ) ≃ S4 et PSL2 (F3 ) ≃ A4 . (Indication : A4 est le seul sous-groupe de S4 d’indice 2) (5) En déduire que PGL2 (F4 ) = PSL2 (F4 ) = SL2 (F4 ) ≃ A5 . (Indication : pour n > 5 les seules sous-groupes distingués/normaux de Sn sont 1, An et Sn ) (6) En déduire que PGL2 (F5 ) ≃ S5 et que PSL2 (F5 ) ≃ A5 . (Indication : Tout sous-groupe d’indice n de Sn est isomorphe à Sn−1 . Exercice 15 Pour tout espace euclidien E, on note O(E) le groupe de ses isométries et SO(E) le sous-groupe des isométries f telles que det f = 1. Par définition, On (R) est le groupe des matrices orthogonales d’ordre n et SOn (R) le sous-groupe des matrices M ∈ On (R) telles que det M = 1. (1) Les groupes O(Rn ) et On (R) sont-ils isomorphes ? Sont-ils égaux ? (2) Étudier l’application SO3 (R) × {±I3 } → O3 (R) (O , P ) 7→ OP et en déduire l’isomorphisme O3 (R) ∼ = SO3 (R) × S2 . (3) A-t-on O2 (R) ∼ = SO2 (R) × S2 ? (4) Montrer que l’application R →  SO2 (R)  cos θ − sin θ θ 7→ sin θ cos θ est un homomorphisme de groupes. En déduire SO2 (R) ∼ = R/Z.

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