Tema 1 - Conceptos básicos de álgebra lineal con ejercicios PDF

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TEMA 1 CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL ESQUEMA

Apartado 1: Espacios vectoriales 

Definición y conceptos básicos



Subespacios



Combinación lineal



Bases. Cambio de base



Ecuaciones de un espacio

Apartado 2: Aplicaciones lineales 

Definición y conceptos básicos



Núcleo, imagen.

APARTADO 1: ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Un espacio vectorial sobre un cuerpo Denotamos V , ,

: una interna

K , es un conjunto no vacío V junto con dos operaciones.

  suma de vectores y una externa 

 :V V  V

producto por escalares

V

que satisfacen las propiedades: Suma: V ,   es un grupo abeliano o conmutativo 1. Asociativa: u  v   w  u  v  w  , u , v, w  V 2. Elemento neutro: existe

0 V tal que 0  v  v  0  v, v V

3. Elemento opuesto: para cada v  V ,  v V / v  v   v   v  0 4. Conmutativa:

u  v  v  u, u , v V

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

1

Producto por escalares.

,   K y u, v V

1.

   u  v    u    v

2.

    u   u    v

3.

    u      u 

4.

1K  u  u ,

1K es la unidad del cuerpo K

Los elementos del conjunto

V se llaman vectores y los elementos del cuerpo K escalares.

Utilizaremos en lo que sigue la siguiente notación:

u   v  u  v Consecuencias de la definición de espacio vectorial: 1.

0  u  0, u V

  u     0 u    u  0 u  0 u  0 2. Opuesto de

u , u   1  u

u   1  u  1  u   1  u  1   1  u  0  u  0 3.

  K ,   0  0

   0  u    u    0    u    0    u    u  0 Ejemplos de espacios vectoriales Ejemplo 1

K es un espacio vectorial sobre sí mismo (tomando (+) como operación interna y ( ) como operación externa). Ejemplo 2 Espacio de polinomios. El conjunto de polinomios de una variable con coficientes en producto de polinomios por escalares de

K , siendo (+) la suma de polinomios y ( ) el

K . Denotamos este conjunto como K  x  .

Producto cartesiano de espacios vectoriales Sean

V y W espacios vectoriales sobre K . Se define el producto cartesiano de V y W como el

conjunto V W 

u , w / u V , w W 

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

2

-El conjunto

V W dotado de las operaciones Suma (+) definida por

u, u '   v, v '   u  v, u ' v ' 

Producto por un escalar ( ) definida por Tiene estructura de espacio vectorial V W ,  ,

 u , u '   u, u ' 

y se denomina espacio vectorial producto

- Del mismo modo se define el producto cartesiano de n espacios vectoriales

V W

V1 , V2 ,..., Vn sobre un cuerpo

K Nota: para

K

obtenemos los espacios vectoriales habituales:

SUBESPACIOS VECTORIALES Definición 1.1- (Subespacio vectorial) Sea V espacio vectorial sobre K. Todo subconjunto U de V no vacío que tenga estructura de espacio vectorial con las mismas leyes de V diremos que es un subespacio vectorial de V. En la práctica no es necesario comprobar todas las condiciones de espacio vectorial pues se puede aplicar el siguiente teorema: Teorema 1.1Sea V un espacio vectorial. U es subespacio vectorial de V si y sólo si: 1.

u, v U  u  v U

2.

 K , u U  u U

Nota (Caracterización de un subespacio) Las condiciones anteriores se pueden sustituir por la condición:

u, v  U , ,   K  u  v U Ejemplos de subespacios vectoriales Ejemplo1: El elemento neutro de V y V son subespacios vectoriales de V . Ejemplo 2: El conjunto U 

 x, y,0  / x, y 

Ejemplo 3: Dado u V ,U  u /

es subespacio vectorial de

.

  K es el subespacio vectorial llamado recta vectorial en la dirección

de u. Sin embargo U 

 x, y  

 1 no es un subespacio vectorial de

COMBINACIÓN LINEAL. CLAUSURA LINEAL

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

3

Sea V , ,

un espacio vectorial sobre K. Sea

u , u ,..., u  un conjunto finito de vectores de V o familia 1

2

p

de vectores de V . Definición 1.2- (combinación lineal)



Se llama combinación lineal de los vectores u1 , u 2 ,..., u p

 a cualquier vector

u  1 u1  2 u2  ...   p up , i  K,  i 1,2,..., p Los escalares

1 , 2 ,..., p

se llaman coeficientes de la combinación lineal.

También se dice que el vector u depende linealmente de los vectores

u , u ,..., u  1

2

p

Definición 1.3- (clausura lineal) El conjunto de las combinaciones lineales de los vectores u1 , u2 ,..., up

S  u / u  1u1  2 u2 ...   p up,

i  K, i 1, 2,..., p

es un subespacio vectorial de V , que recibe el nombre de clausura lineal de la familia

u , u ,..., u  1

2

p

.También se dice que S está engendrado por la familia ui , y que ésta es un sistema de generadores de S. Se denota por:

 u1 , u2 ,..., up   Ejemplos de subespacio generado por un conjunto Ejemplo 1. La solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.

x  y  z  0  yz  0  Resolviendo el sistema: U 

 0, a, a / a 

Ejemplo 2. La solución de la ecuación lineal

x  y  z  t  0 en

es:

W  a  b  c ,a ,b ,c  , /a ,b ,c  a 1,1, 0, 0   b 1, 0,1, 0  c 1, 0, 0,1   1,1, 0, 0 , 1, 0,1, 0 , 1, 0, 0,1  BASES Definición 1.4- Un conjunto de vectores

1, 2 ,..., n K

n

tales que

 u

i i

u1 , u2 ,..., un se dice linealmente independientes si para todos los

 1u1  2u 2  ...  n un  0 , entonces i  0, i  1,..., n

i1

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

4

También se dice que la familia de vectores En caso contrario se dice que

u1, u 2 ,..., un  es una familia libre

u1 , u2 ,..., un son linealmente dependientes. También se dice que la familia de

vectores u1 , u 2 ,..., un  es una familia ligada. Ejemplo 1: 1, 0, 2 , 0, 2,1  son vectores linealmente independientes. Ejemplo 2: x , y ,0 ,  x, y ,0 son linealmente dependientes Consecuencias de la definición 1. Sea u1 , u 2 ,..., un  una familia de vectores linealmente dependientes. Cada u j , cuyo coeficiente

j  0 , es combinación lineal de los demás. 2. Una familia con un vector repetido es un sistema ligado. 3. Una familia que contenga el vector nulo 0 es ligada. 4. Si una familia contiene una subfamilia ligada, es ligada. Definición 1.5- (Rango o dimensión) El rango de una familia de vectores

u1, u 2 ,..., un 

es el número de vectores linealmente

independientes. Definición 1.6- Un espacio vectorial V se dice de tipo finito si admite un sistema generador finito, esto es, si existe un sistema de vectores

 u , u ,..., u  tal que V  u ,u 1

2

1

p

2

,...,u p 

Definición 1.7- Si V es de tipo finito, se dice que un sistema de vectores B   u1 , u2 ,..., un  es una base de V si se verifica que B es un sistema generador de V, que además, es un sistema linealmente independiente. Teorema 1.2Sea V un espacio vectorial generado por n vectores, entonces para cualquier conjunto de m vectores de V linealmente independientes, se verifica

mn .

Teorema 1.3Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita: 1. Si B   u1 ,u2 ,..., un es una base de V entonces todo vector

u V se expresa de manera única

como combinación lineal de los vectores de la base. 2. Todas las bases de V tienen el mismo número de elementos. A este número se le llama dimensión del espacio V y se denota por dim V  . TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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Nota: Se conviene que el espacio V  0 tiene dimensión 0. Ejemplos de bases: Ejemplo 1: Una base del espacio de polinomios de grado n es la familia:

1, x, x , x ,..., x  2

3

n

una base viene dada por la familia de vectores: B   e1 ,..., ei,..., en ,

Ejemplo 2: en el espacio





e1   1, 0,..., 0 ; ei  0, 0,...,1, 0, ...0 ; en   0,...,1 i

Esta base recibe el nombre de base canónica de

.

Teorema 1.4Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sean U y W dos subespacios de V; Entonces: 1. U es de dimensión finita y dim U   n . 2. Cualquier base de U es un subconjunto de una base de V. 3. Si

U  W y dim  U   dim  W  , entonces U  W .

Teorema 1.5- (de completar base) En un espacio vectorial V de dimensión finita, todo sistema de vectores linealmente independientes puede completarse hasta obtener una base. Coordenadas de un vector Definición 1.8Si B   u1 , u2 ,..., un  es una base de V y

u  x1u1  x2 u2 ...  xnun,

xi  K diremos que

x1 , x2 ,..., xn  son las coordenadas de u respecto de la base B. Por ejemplo: B 

 1, 0, 0 , 0,1,0 ,  0,0,1 x , y , z  x 1, 0,0  y 0,1, 0  z 0,0,1 

B   1, 0, 0 ,1,1,0 , 1,1,1

x , y ,z  x  y 1, 0, 0  y  z 1,1, 0  z 1,1,1  Proposición Las coordenadas de un vector v respecto de una base B   u1 ,u2 ,..., un son únicas. CAMBIO DE BASE Supongamos que en un espacio vectorial V de dimensión finita n tenemos las bases: TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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B   e1 ,..., en, B'   e1,..., en '

'

Dado un vector v con coordenadas x 1 , x 2 ,..., x n



en B y x 1 ', x 2 ',..., x n'

 en B’, deseamos obtener

una relación que nos permita obtener las coordenadas de cualquier vector en la base B’ respecto de las coordenadas en la base B. Supongamos conocidas las coordenadas de los vectores de la base B en la base B’:

e1  a11e1 ' ...  an 1en ' ...... en  a1ne1 ' ...  annen ' Por tanto:

n

es decir: e i

 a jie j ' j1

n n n n n  n  v   xi ' ei '   xiei   xi  a jie j '    x ia ji e j ' y como la expresión de la base es i 1 i 1 i 1 j 1 j 1  i1 

única, tenemos:

x1 '  a11 x1  a21 x2 ...  an1 xn x 2 '  a12x1  a 22 x 2 ... an 2 xn ...... x n '  a1n x1  a2 n x2 ...  ann xn Ejemplo: Consideremos el espacio

, sean

 x, y , z  las coordenadas de un vector u respecto de la base





canónica. Hallar las coordenadas del vector u respecto de la base B '  e1,..., en , donde '

'

e1 '   1, 2, 0 ; e2 '   3, 7,1 ; e3 '   0, 2,1 . Las coordenadas de

e1 ', e2 ', e3 ' respecto de la base canónica son: e1 '  e1  2e 2 e2 '   3e1  7e2  e3 e3 '   2e2  e3

Si

 x ', y ', z '

son las coordenadas de u respecto de la base B’, se tiene la relación:

x  x' 3 y '

  y  2 x ' 7 y ' 2z '  z y ' z'  Cuando veamos el tema matrices veremos que el paso de una base a otra lo podemos hacer a partir de una matriz como se muestra a continuación.

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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x  x ' 3 y '   x   1 3 0  x '        y  2 x ' 7 y ' 2z '    y    2  7  2   y '        z y ' z'   z   0 1 1  z ' Ecuaciones paramétricas de un subespacio Sea V espacio vectorial de dimensión

n , y U  V subespacio vectorial de V de dimensión r con

rn. Consideremos una base de V , BV   e1 ,..., en y una base de U

, BU  u1 ,..., ur  .

Supongamos que conocemos las coordenadas de cada uno de los vectores de la base de U en la base

u i  a1 i ,..., ani ,

BV :

i 1,..., r

Cualquier vector u   x1 , x2 ,..., xn  U se expresa como combinación lineal de elementos de la base

BU : u  1u1  2u2  ...  r ur

y si lo escribimos en coordenadas se obtienen las llamadas

ecuaciones paramétricas de U (en las que aparecen

 x1     x   n

r parámetros):

 a11  

 a12   

 a1r   

a   n1 

a   n2 

a   nr

Ejemplo: Supongamos el subespacio W  respecto de la base canónica de

o bien

son:

1, 0,1, 0 , 0,1,1, 0  

de

. Las ecuaciones paramétricas

 x 1,x 2, x 3, x 4    1, 0,1,0    0,1,1, 0 

x1   x2   x3     x4  0

Ecuaciones cartesianas o implícitas de un subespacio Sea V espacio vectorial de dimensión n, y

U  V subespacio vectorial de V de dimensión r con

r  n . Sea BV   e1 ,..., en una base de V y BU  u1 ,..., ur  una base de U. Según vimos antes las coordenadas paramétricas son:

 x1     x   n

 a11  

 a12   

 a1r   

a   n1 

a   n2 

a   nr

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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Para obtener las ecuaciones cartesianas (o implícitas) de U es necesario eliminar los parámetros lo que equivale a resolver el sistema para las incógnitas

i

i .

Nota: Número de ecuaciones cartesianas  dim V  dim U



Ejemplo: Sea U 

1, 0,1,1 , 0,1,1,0  

Las ecuaciones paramétricas son:  x 1 ,x 2 , x 3, x 4    1, 0,1,1   0,1,1, 0 

 x1      x2    x3      x 4   Obtenemos las ecuaciones cartesianas de U por eliminación de parámetros.

Eliminando



x 2    x 3  x 1   x  x  0  4 1

Eliminando



x 3  x 1  x 2  0  x 4  x 1  0

Hemos obtenido las ecuaciones cartesianas de U:

 x3  x1  x2  0 U  x4  x1  0

APARTADO 2: APLICACIONES LINEALES CONCEPTOS PREVIOS Sean A y B dos conjuntos. Una función (o aplicación) de X en Y es una correspondencia denotada por

f : X  Y que cumple las siguientes condiciones: 

Todos los elementos de X (conjunto de partida) están relacionados con todos los elementos de Y : x  X , y  Y / f  x   y



Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y

Una función se dice inyectiva si a cada elemento de X le corresponde un valor distinto en el conjunto Y. TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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Una función se dice sobreyectiva si todo elemento de Y es imagen de algún elemento de X. Una función se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Definición 2.1- (Aplicación Lineal) Sean V y W espacios vectoriales. Un homomorfismo (o aplicación lineal) de V en W es una aplicación

f :V  W

1. f  u  v   f u   f v  , u , v V 2. f  u   f  u , u V Se dice que

f es inyectiva si f  v  f  u implica que v  u . Una aplicación lineal f inyectiva se

llama monomorfismo. Se dice que

f es sobreyectiva si para todo w  W existe v  V tal que f  v  w . Una

aplicación lineal f sobreyectiva se llama epimorfismo. Se dice que

f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Una aplicación lineal

f biyectiva se llama isomorfismo, y entonces los espacios V, W se dicen

isomorfos. Un homomorfismo de V en sí mismo se dice endomorfismo de V. En el caso de que sea biyectivo se llama automorfismo. Ejemplo 1: La aplicación identidad

I : V  V , definida por I  v  v

Ejemplo 2:

f :

   y, x 

Ejemplo 3:

g:

   y, x 2 

no es lineal ya que si tomamos u  1,0  ,   2 se tiene

 g  u   2g  1, 0   2 0,1   0, 2 g  u   g 2 1, 0    g  2,0   0, 4  Proposición Una aplicación

f : V  W entre dos espacios vectoriales es lineal si, y sólo si f  u  v   f  u    f  v  ,u , v  V

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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Consecuencias de la definición Sea

f : V  W una aplicación lineal: 1.

f  0V   0W

2.

f  u   f  u

3.

f  1u1  ...  nu n   1 f  u1   ...   n f  u n

4. Si el sistema de vectores u1 ,..., un es ligado, también lo es

 f  u ,..., f  u  1

n

Nota: La propiedad f  0V   0W , establece una condición necesaria (aunque no suficiente) para que una aplicación sea lineal. Por ejemplo

f :

definida por f  x , y   x  1, y no es lineal porque

f  0,0   1,0   0,0 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL Teorema 2.1Si S es un subespacio vectorial de V entonces f  S  es un subespacio de W. Definición 2.2Imagen de

f es el conjunto Im  f   f u  / u V  W

Propiedades de Im  f

:

Im  f  es un subespacio de W. Si u1 , u 2 ,..., un  es un sistema de generadores de V, entonces sistema de generadores de Im  f

 f  u , f  u ,..., f  u  es un 1

2

n



f es sobreyectiva  ( dim Im  f

   dim W  ) .

Definición 2.3Se llama rango de la aplicación lineal y se escribe rang  f

 , a la dimensión de Im  f   f V  .

Definición 2.4Núcleo de

f es el conjunto Ker  f   u V / f  u  0W   V

Propiedades del núcleo 1. Ker  f  es un subespacio vectorial de V .

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL. MAT II

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2.

f es un monomorfismo (inyectiva) si y sólo Ker  f   0 .

Teorema 2.2-

f : V  W una aplicación lineal, entonces se verifica

Sea

dim  Ker  f    dim Im  f    dim V 



Por tanto: rang  f   dim  V   dim Ker  f



Corolario Sea

f : V  W una aplicación lineal, con dim V   dim W   n . Son equivalentes: 1.

f es un isomorfismo,

2.

f es sobreyectiva,

3.

f es inyectiva,

4. rang  f   n . Consecuencia: Dos espacios vectoriales V y W son isomorfos

 tienen la misma dimensión.

Proposición