Conceptos Básicos TEMA 1 Funciones PDF

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Toda la tematica de funciones...

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CENTRO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES PROFESOR: JADER ALFREDO CANO VÀSQUEZ Función. Una función 𝑓 es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento 𝑥 de un conjunto de partida ( dominio) un valor único 𝑦 de un conjunto de llegada ( rango). Notación. Una función se denota mediante una letra. Ejemplo: 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), 𝑦. La notación 𝑦 = 𝑓(𝑥) se lee: “la función 𝑓 de 𝑥” o “𝑓 en términos de 𝑥” o “efe de 𝑥”. Prueba de la recta vertical. Si alguna recta vertical corta la gráfica de una ecuación en más de un punto, entonces la gráfica no es la gráfica de una función.

 Intercepto con el eje 𝒙 (𝐈𝒙 ): Se calcula sustituyendo 𝑦 = 0 en la ecuación dada y “despejando” a 𝑥.

D. Simetrías Simetría respecto al eje 𝒚 (función par): La gráfica de una ecuación en 𝑥 y 𝑦 es simétrica respecto al eje 𝑦, si al sustituir 𝑥 por −𝑥 en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente.



 Simetría respecto al origen

(función impar): La gráfica de una ecuación en 𝑥 y 𝑦 es simétrica respecto al origen, si al sustituir 𝑥 por −𝑥 y 𝑦 por −𝑦 en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Representación de una función. Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función: verbalmente (mediante una descripción en palabras), numéricamente (con una tabla de valores), visualmente (mediante una gráfica) y algebraicamente (por medio de una fórmula explícita). Elementos básicos de una función A. Dominio (D): Son todos los números de 𝑥 para los cuales la función está definida. De forma analítica: El dominio de cualquier función polinómica 𝑓 son todos los números reales: D𝑓 : ℝ.  El dominio de una función racional son los Re menos los valores que anulan al denominador. Éstos últimos se determinan igualando el denominador a 0 y resolviendo esta ecuación.  El dominio de una función irracional (radical) está formado por todos los valores de 𝑥 que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero (utilizar desigualdades con … ≥ 0). Si el radical está en el denominador la desigualdad debe plantearse con >, pues la división por cero no existe.  El dominio de una función logarítmica está formado por todos los valores de 𝑥 que hacen que el logaritmo sea mayor que cero.

E. Intervalos de crecimiento y decrecimiento  Una función 𝑓 es creciente si los valores de 𝑓(𝑥) aumentan a medida que 𝑥 aumenta. Su gráfica sube a medida que nos movemos de izquierda a derecha.  Una función 𝑓 es decreciente si los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen a medida que 𝑥 aumenta. Su gráfica baja a medida que nos movemos de izquierda a derecha.

Clasificación de funciones



B. Rango (R): Son todos los números reales de 𝑦 para los cuales la función está definida. C. Interceptos o ceros: Son los puntos de corte de la función con los ejes coordenados. Intercepto con el eje 𝒚 (𝐈𝒚 ): Se calcula sustituyendo 𝑥 = 0 en la ecuación dada.

1. Función lineal Forma: 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, con 𝑎 ≠ 0, donde 𝑚 se llama

pendiente de la recta no vertical y se define como una medida del número de unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente (∆𝑦) por cada unidad de variación horizontal de izquierda a derecha (∆𝑥). La pendiente 𝑚 de una recta no vertical que pasa por los puntos (𝑥1 , 𝑥1 ) y (𝑥2 , 𝑥2) es: 𝑚=

∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑥2 ≠ 𝑥1 , ∆: Delta o incremento. = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1

Forma General Pendiente-intercepto Punto-pendiente Recta horizontal Recta vertical

Ecuación de la recta

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, 𝐴, 𝐵 ≠ 0 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑚 ≠ 0 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ 𝑥 = ℎ, ℎ ∈ ℝ

Una recta horizontal tiene pendiente 0 y se denomina función constante.  Rectas paralelas: Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales (𝑚1 = 𝑚2).

exponencial, si las razones de los valores de 𝑃 son constantes para los mismos valores distribuidos de 𝑡. En la práctica, la base que más comúnmente se usa es el número 𝑒 = 2.718 … La función 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) es creciente en todo su dominio y se denomina función exponencial natural. El logaritmo natural de 𝑥, denotado por ln(𝑥), es la potencia de e necesaria para obtener 𝑥. ln(𝑥) no está definida si 𝑥 es negativa o 0. Definición y propiedades de los logaritmos

Rectas perpendiculares: Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son recíprocas negativas, es decir, si y sólo si 𝑚1 = −1/𝑚2.



4. Funciones trigonométricas

2. Función cuadrática Forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0. Si 𝑎 < 0, la curva abre hacia

Las funciones que repiten sus valores a intervalos regulares se llaman periódicas. Para cualquier función periódica de tiempo: La amplitud es la mitad de la diferencia entre sus valores máximo y mínimo y el periodo es el tiempo en el que la función ejecuta un ciclo completo.

abajo y si 𝑎 > 0, la curva abre hacia arriba. Coordenadas del vértice: (−

𝑏

2𝑎

𝑏

, 𝑓 (− 2𝑎)) 𝑏

Si 𝑎 < 0, entonces R𝑓 : (−∞, 𝑓 (− 2𝑎)]. 𝑏

Si 𝑎 < 0, entonces R𝑓 : [−∞, 𝑓 (− 2𝑎)). 3. Función exponencial y logarítmica. Se dice 𝑃(𝑡) es una función exponencial de 𝑡 de base 𝑎 si: 𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑎𝑡 ,

donde 𝑃0 es la cantidad inicial (cuando 𝑡 = 0) y 𝑎 es el factor por el cual 𝑃 cambia cuando 𝑡 aumenta en 1. Si 𝑎 > 1, tenemos crecimiento exponencial; si 0 < 𝑎 < 1, tenemos decrecimiento exponencial. El factor 𝑎 está dado por 𝑎 = 1 + 𝑟, donde 𝑟 es la representación decimal de la razón de cambio porcentual; 𝑟 puede ser positiva (para el crecimiento) o negativo (para el decrecimiento). Una función lineal tiene una razón de cambio absoluta constante. Una función exponencial tiene una razón de cambio relativa (o porcentual) constante. Reconocimiento de datos de una función exponencial. Los valores de 𝑡 y 𝑃 en una tabla pueden provenir de una función

Identidades trigonométricas A. Recíprocas

B. de cociente

1 csc(𝑥) = sen(𝑥)

sen(𝑥) cos(𝑥)

tan(𝑥) =

1 sec(𝑥) = cos(𝑥)

sec(𝑥) tan(𝑥) = csc(𝑥)

cot(𝑥) =

cot(𝑥) =

1 tan(𝑥)

cos(𝑥) sen(𝑥)

Función compuesta. Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones. La función dada (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) se llama función compuesta de 𝑓 con 𝑔. El dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 es el conjunto de todas las 𝑥 del dominio de g tales que 𝑔(𝑥) esté en el dominio de 𝑓.

C. pitagóricas 2

sen (𝑥) + cos2 (𝑥) = 1 tan2(𝑥) + 1 = sec 2 (𝑥)

cot 2 (𝑥) + 1 = csc 2(𝑥)

Curvas básicas

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦=

𝑦=𝑥

1 , 𝑛 ≥ 2, 𝑛 par 𝑥𝑛

𝑦=

1

𝑥𝑛

𝑦 = −𝑥

, 𝑛 ≥ 1, 𝑛 impar

𝑦 = |𝑥|

1 si 𝑥 > 0 sgn(𝑥) = { −1 si 𝑥 < 0

𝑦 = 𝑥 𝑛 , 𝑛 par

𝑦 = 𝑛√𝑥, 𝑛 par

𝑦 = 𝑥 𝑛 , 𝑛 impar

𝑦 = √𝑛 𝑥 , 𝑛 impar

Principios básicos de graficación. Donde la gráfica original es 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝑐 > 0 A. Desplazamiento vertical Traslación vertical de 𝑐 unidades hacia arriba: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 Traslación vertical de 𝑐 unidades hacia abajo: 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐

B. Desplazamiento horizontal Traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la derecha: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) Traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la izquierda: 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐)

C. Alargamiento y encogimiento vertical

D. Alargamiento y encogimiento horizontal

Alargamiento vertical por un factor 𝑎 > 1: 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥) Encogimiento vertical por un factor 0 < 𝑎 < 1: 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥)

Alargamiento horizontal por un factor 1/𝑎 con 0 < 𝑎 < 1: 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥) Encogimiento horizontal por un factor 1/𝑎 con 𝑎 > 1: 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥)

E. Reflexiones

F. Val Valor or ab absolu solu soluto to

Reflexión respecto al eje 𝑥: 𝑦 = −𝑓(𝑥) Reflexión respecto al eje 𝑦: 𝑦 = 𝑓(−𝑥)

Para graficar 𝑦 = |𝑓(𝑥)| reflejamos sobre el eje x la parte de la gráfica que está debajo del mismo eje....