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Introducción al estudio de la resistencia de materiales

1.1. Objeto y finalidad de la Resistencia de Materiales Al iniciar el estudio de cualquier disciplina es necesario establecer previamente su definición y fijar con la máxima claridad y precisión los objetivos que se pretenden alcanzar. Esto no siempre resulta fácil, y el afán de formular una definición de la forma más simple posible puede llevarnos a dar una solución simplista que, sin poder tacharla de incorrecta, pueda ser incompleta e inexacta. Aun a riesgo de caer en ello, podemos decir que las teorías de la Resistencia de Materiales tienen como objetivo estudiar el comportamiento de los sólidos deformables y establecer los criterios que nos permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones más adecuadas que hay que dar a estos sólidos cuando se les emplea como elementos de una construcción o de una máquina para que puedan resistir la acción de una determinada solicitación exterior, así como obtener este resultado de la forma más económica posible. Con objeto de ir fijando las ideas, supongamos que sometemos dos cuerpos de la misma forma y dimensiones, pero de distinto material —como podrían ser dos vigas rectas, como la representada en la Figura 1.1, de escayola una y de acero la otra—, a una misma carga P que iremos aumentando paulatinamente. Observaremos que el cuerpo de escayola es el primero en el que se produce la rotura y que la forma en que se produce ésta es totalmente distinta en los dos casos. Mientras que la rotura de la pieza de escayola se presenta de una forma brusca, la rotura en la otra pieza acontece previa plastificación del acero. Éstas son las características diferenciadas de dos tipos de materiales que se denominan materiales frágiles y materiales dúctiles, respectivamente.

Figura 1.1

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Como la carga para romper la pieza de acero es muy superior a la que rompe la pieza de escayola, diremos que el acero posee en mayor grado que la escayola la propiedad de resistencia mecánica, entendiendo por tal la capacidad de oponerse a la rotura al ser sometido a una solicitación exterior. En cuanto a las deformaciones que experimentan ambos materiales, observamos que son distintas. Llamaremos rigidez a la propiedad que presenta el material de oponerse a las deformaciones. Esta consideración primera nos conduce a tratar de buscar dos magnitudes que nos permitan cuantificar estas dos propiedades. Se desprende, asimismo, la necesidad que se tiene en Resistencia de Materiales de conocer las características mecánicas de los materiales y, en consecuencia, la importancia que tiene en esta ciencia el método experimental, es decir, los ensayos en el laboratorio conducentes a la determinación, entre otras, de esas dos magnitudes. Un importante aspecto se deduce del ejemplo anterior. Si imaginamos realizado un corte ideal, el mismo en ambas piezas, la distribución de fuerzas interiores, que equivalen al sistema de fuerzas que actúan a un lado del corte realizado, será la misma si el sistema de fuerzas exteriores es el mismo en los dos cuerpos y si en ambos materiales las deformaciones son elásticas. Las normas de los distintos países sobre las construcciones de todo tipo suelen establecer límites superiores para los valores que pueden alcanzar los esfuerzos interiores y para las deformaciones de los diversos materiales. Por consiguiente, podríamos decir que la Resistencia de Materiales permite determinar en una pieza sometida a un sistema dado de fuerzas exteriores: a) los esfuerzos interiores que se engendran en la pieza; b) las deformaciones que se originan; y, en consecuencia, si esfuerzos interiores y deformaciones se mantienen inferiores a ciertos valores límites fijados de antemano. Otro aspecto de gran importancia a tener en cuenta en la utilización de determinado material en un elemento integrante de una construcción es el de la estabilidad, entendiendo por tal la capacidad de oposición del elemento a grandes desplazamientos como consecuencia de pequeñas variaciones de la solicitación exterior. El cálculo de la estabilidad de la pieza nos permitirá conocer su capacidad de conservar las formas de equilibrio que adopta en estado deformado. Teniendo presentes las anteriores consideraciones, podemos dar una definición más simple aún que la dada inicialmente y decir que Resistencia de Materiales es la ciencia que trata del cálculo de la resistencia mecánica, rigidez y estabilidad de las piezas de una estructura*. Sus objetivos se pueden resumir en la resolución de los dos problemas fundamentales siguientes: 1. o Problema de dimensionamiento. Conocido el sistema de cargas que solicita a una pieza de una estructura, calcular sus dimensiones para que las tensiones o esfuerzos internos unitarios y las deformaciones que se originan no sobrepasen unos valores límites fijados de antemano. 2. o Problema de comprobación. Conocida la solicitación exterior y hecho el dimensionamiento de la pieza, comprobar que las tensiones y deformaciones no sobrepasan los valores límites prefijados. * Cuando en lo que sigue decimos estructura, nos referimos tanto a una construcción de edificación como a una máquina.

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Una observación es necesario hacer respecto a la relación entre la teoría de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales, ya que los objetivos de ambas disciplinas son coincidentes. La diferencia estriba en el método seguido para llegar a resultados, ya que la Resistencia de Materiales disminuye la dificultad de la resolución de los problemas de la teoría de la Elasticidad introduciendo hipótesis simplificativas. Es de señalar que la Resistencia de Materiales estudia la pieza de una estructura. Por ello, no abarca el estudio de los problemas que se refieren a la estructura en su conjunto, como puede ser el de estimación de su estabilidad o su propio cálculo. Estos temas son materia de otra disciplina: la teoría de Estructuras, a la que la Resistencia de Materiales sirve de base, y el conocimiento de ambas permitirá al ingeniero materializar sus ideas creadoras dando las formas adecuadas al diseño y sentir la satisfacción que siente todo espíritu creador al ver plasmados en la realidad sus proyectos. La Resistencia de Materiales tiene importantes aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería. Sus métodos los utilizan los ingenieros aeronáuticos y navales para el diseño y construcción de aviones y barcos, respectivamente; los ingenieros civiles, al proyectar puentes, presas y cualquier tipo de estructura; los ingenieros de minas, para resolver la necesidad de conocimientos de construcción que exige su profesión; los ingenieros mecánicos, para el proyecto y construcción de maquinaria y todo tipo de construcciones mecánicas como son los recipientes a presión; los ingenieros energéticos, para proyectar los diferentes componentes de un reactor; los ingenieros metalúrgicos, por la necesidad que tienen del conocimiento de los materiales actuales para la búsqueda de nuevos materiales; los ingenieros eléctricos, para el proyecto de máquinas y equipos eléctricos, y, en fin, los ingenieros químicos, para el diseño de instalaciones en industrias de su especialidad.

1.2. Concepto de sólido elástico La mecánica teórica considera indeformables los cuerpos materiales, ya se encuentren en estado de movimiento o de reposo. Esta propiedad no es, en el fondo, más que una abstracción, ya que no corresponde en la realidad a material alguno. Sin embargo, es de gran utilidad por la comodidad y simplificación que introduce. Las conclusiones que se obtienen en gran número de casos son buenas aproximaciones de lo que realmente ocurre. Pero avanzando en el estudio de la mecánica aplicada, se observa experimentalmente que las fuerzas que actúan sobre determinado cuerpo, que poseerá unas características físicas y geométricas propias, no pueden ser arbitrariamente grandes, pues el cuerpo se deforma y se rompe. Esta observación nos exige revisar el concepto de sólido que se admite en mecánica. Así, pues, la idea de sólido que interviene con harta frecuencia en Física, y principalmente en Mecánica, evoluciona a medida que se efectúa un estudio más profundo de los problemas que se derivan de la Estática aplicada. Siguiendo la evolución indicada, haremos del sólido las tres siguientes consideraciones: — Sólido rígido. — Sólido elástico. — Sólido verdadero. Sólido rígido es aquel que ante cualquier esfuerzo (por grande que sea) a que está sometido, la distancia entre dos moléculas cualesquiera permanece invariable. Así, cuando tenemos una viga AB apoyada en dos pilares (Fig. 1.1), que recibe una carga vertical P en un punto C, si suponemos que se trata de un sólido rígido, nos bastaría calcular los empujes o reacciones que debe recibir de los pilares para conocer las fuerzas a que está sometida.

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Al hacer esta suposición no sería posible jamás la rotura de la viga en contra de lo que realmente sucede, comprobado por la experiencia, ya que al ir aumentando P siempre existe un valor que provoca la rotura de la viga a pesar de que las reacciones en los pilares fuesen suficientes para equilibrar la carga P. Surge, por tanto, la necesidad de estudiar en general los límites de las cargas que se pueden aplicar a un determinado cuerpo o bien el dimensionado que hay que darle para soportar cierto esfuerzo con la condición siempre de que no exista peligro de rotura. Este estudio constituye, como hemos dicho anteriormente, el objeto de la Resistencia de Materiales. Naturalmente, si existiesen sólidos rígidos no existirían peligros de rotura ni deformaciones de ningún tipo y tanto la teoría de la Elasticidad como la Resistencia de Materiales carecerían de objeto. Si pudiera construirse una viga con material que tuviera las propiedades de sólido rígido, por pequeña que fuera su sección y por grandes que fuesen las cargas a soportar, la estabilidad del sistema estaría asegurada siempre que se cumplieran las condiciones generales de equilibrio Rx = 0

;

Ry = 0 ; R z = 0

M 0x = 0 ; M0y = 0 ; M0z = 0

(1.2-1)

siendo R x, Ry, Rz y M 0x, M0y, M0z las componentes referidas a un sistema cartesiano trirrectangular de la resultante de las fuerzas ejercidas sobre el sistema y del momento resultante de dichas fuerzas respecto de cualquier punto 0. En todo lo anteriormente expuesto hemos anticipado parcialmente el concepto de sólido elástico, que podemos definir como aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma y recupera su forma primitiva al cesar la causa exterior. A los sólidos elásticos se les supone una serie de cualidades como son las de isotropía, homogeneidad y continuidad. Se dice que un cuerpo es isótropo cuando sus propiedades físicas no dependen de la dirección en que se han medido en dicho cuerpo. Así, diremos que la isotropía que suponemos poseen los sólidos elásticos equivale a admitir la propiedad de igual elasticidad en todas las direcciones*. El suponer el sólido elástico homogéneo equivale a considerar que una parte arbitraria del mismo posee idéntica composición y características que otra cualquiera. La propiedad de continuidad supone que no existen huecos entre partículas ni, por consiguiente, distancias intersticiales. Algunas de estas propiedades, por ejemplo, isotropía y homogeneidad, suelen estar íntimamente unidas, pues si un cuerpo es igualmente elástico en cualquier dirección, es de suponer que sea homogéneo, e inversamente, si suponemos que es homogéneo, es presumible que sea isótropo. Sin embargo, estas propiedades de isotropía, homogeneidad y continuidad no concurren en ningún material, ya sea natural o elaborado por el hombre: no es posible que se dé un grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones debido a la distribución de sus átomos o moléculas en redes cristalinas ordenadamente dispuestas. Tampoco existe en la realidad la homogeneidad perfecta, así como sabemos por las teorías modernas de la materia que ésta no es continua y que existen espacios vacíos entre las moléculas y entre los mismos átomos que la componen. * Cuando debido a un proceso natural o de fabricación los elementos componentes de un cuerpo están orientados en una determinada dirección, será preciso considerar la anisotropía de los mismos, como ocurre con la madera, los metales laminados en frío o los plásticos reforzados con fibras, cuando se emplean para fabricar materiales compuestos.

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No obstante, la consideración de sólido continuo es muy cómoda, pues permite admitir, cuando existe una deformación debida a la aplicación de una fuerza a unas moléculas del sólido, que el esfuerzo es absorbido en parte por las moléculas próximas y de esta forma queda repartido de forma continua y apta para el cálculo. Finalmente, sólido verdadero es aquel que resulta de considerarlo como deformable ante los esfuerzos a que está sometido y falto de isotropía, homogeneidad y continuidad. Los materiales a que nos refiramos en lo sucesivo los consideraremos como sólidos elásticos. Quiere ello decir que si microscópicamente no son ciertas las hipótesis que se hacen, sí lo son macroscópicamente, pues los resultados que se obtienen quedan sancionados por la experiencia. Aún podremos en muchos casos, por ejemplo, cuando falte la homogeneidad en un sólido, considerar la existencia de varios sólidos elásticos dentro del sólido dado, cada uno de los cuales estará concretado por zonas que posean perfecta homogeneidad, y aplicarles las consideraciones teóricas que hagamos para los sólidos elásticos en general.

1.3. Modelo teórico de sólido utilizado en Resistencia de Materiales. Prisma mecánico Con objeto de estudiar los sólidos elásticos, crearemos un modelo teórico que vamos a denominar prisma mecánico, que desde el punto de vista físico posea las propiedades de isotropía, homogeneidad y continuidad y que vamos a definir atendiendo a un criterio meramente geométrico. Así, llamaremos prisma mecánico al sólido engendrado por una sección plana G de área L cuyo centro de gravedad G describe una curva c llamada línea media o directriz, siendo el plano que contiene a G normal a la curva. El prisma mecánico se dice que es alabeado, plano o, como caso particular de éste, recto cuando es alabeada, plana o recta la línea media. La línea media no ha de tener curvaturas muy pronunciadas, así como no deben existir cambios bruscos de sección al pasar de una arbitraria a otra próxima. Si el área L es constante, se dice que el prisma es de sección constante; en caso contrario, diremos que el prisma es de sección variable. Para los cálculos, consideraremos unos ejes de referencia con origen en G; eje Gx la tangente a la línea media en este punto, y ejes Gy y Gz los principales de inercia de la sección G (Fig. 1.2). Como el plano de esta sección es normal a la curva c, el eje Gx es normal a los ejes Gy y Gz contenidos en G. Por otra parte, los ejes Gy y Gz son principales de inercia de la sección que, según sabemos, son perpendiculares entre sí, lo que indica que el sistema de referencia que hemos definido en el prisma mecánico es un sistema de ejes trirrectangulares.

Figura 1.2

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La posición del punto G viene determinada por su abscisa curvilínea s, longitud del arco de curva c contada a partir de un punto arbitrario, que puede ser el centro de gravedad G1 de la sección extrema izquierda del prisma. Tomaremos como sentido positivo del eje Gx el correspondiente a los arcos crecientes sobre c. Los sentidos positivos de los ejes Gy y Gz serán tales que hagan que el sistema de referencia adoptado sea un sistema directo. Mediante la aplicación del método de las secciones, realizando los cortes ideales adecuados, podemos reducir cualquier estructura, por compleja que sea, a un determinado número de prismas mecánicos. Sobre cada una de estas piezas, además de las cargas que estén aplicadas, habrá que considerar en las secciones extremas la acción que el resto de la estructura ejerce sobre ella, que en general se materializará en una fuerza y en un momento. Es evidente que en cualquier sección común a dos piezas contiguas estas fuerzas y momentos respectivos serán vectores iguales y opuestos en virtud del principio de acción y reacción. La forma de los diversos prismas mecánicos que constituyen la mayoría de las estructuras se reduce esencialmente a los siguientes tipos: a) Barra. Se llama así al prisma mecánico cuyas dimensiones de la sección transversal son pequeñas en comparación con la longitud de la línea media (Fig. 1.3). En la mayoría de las estructuras, tanto en obras de edificación como en construcción de maquinaria, es este tipo de prisma mecánico el que se utiliza. Dentro de este tipo, la mayor parte de barras utilizadas son prismas mecánicos planos, es decir, con línea media contenida en un plano, siendo éste, además, plano de simetría del prisma. En la determinación de la forma del prisma mecánico, es decir, de la pieza como elemento integrante de una estructura, se tendrá en cuenta, fundamentalmente, la clase de material empleado y el modo de trabajo a que va a estar sometido ésta. Por ejemplo, en estructuras de hormigón armado, la forma más empleada es la sección transversal rectangular en vigas y cuadrada en pilares (Fig. 1.4), mientras que en estructuras metálicas secciones muy usuales son el perfil laminado doble te I en vigas o dos secciones en U soldadas en pilares (Fig. 1.5). b) Placa. Es un cuerpo limitado por dos planos cuya distancia —el espesor— es pequeña en comparación con las otras dos dimensiones. En la Figura 1.6 se representa una placa rectangular y otra circular.

Figura 1.3

Figura 1.4

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Figura 1.5

Figura 1.6

Figura 1.7

Pertenecen a este tipo las losas que se fabrican para tapar depósitos subterráneos, así como las placas utilizadas como forjados en las edificaciones. c) Cáscara. Es un cuerpo limitado por dos superficies no planas a distancia pequeña en comparación con las otras dos dimensiones (Fig. 1.7). Son de este tipo casi todos los depósitos, como los tanques de agua, silos, gasómetros, etc., así como las tuberías de gran diámetro y, en general, las estructuras laminares. En los últimos tipos, es decir, en placas y cáscaras, en vez de línea media, se utiliza la superficie media, que se define como la constituida por los puntos que dividen el espesor en dos partes iguales.

1.4. Equilibrio estático y equilibrio elástico Para que un sólido rígido se encuentre en equilibrio es necesario y suficiente que se verifiquen las ecuaciones (1.2-1), que son las condiciones generales del equilibrio estático. Estas seis ecuaciones no son otra cosa que la traducción analítica de dos condiciones fundamentales: 1. a Que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido sea igual a cero, o lo que es lo mismo, que la resultante sea nula. Esta condición asegura que el sólido no tenga desplazamientos. 2. a Que el momento resultante de todas las fuerzas respecto de cualquier punto sea igual a cero. Esta condición asegura que el sólido no experimenta giros. Téngase presente que momento resultante y momento de la resultante son conceptos distintos. Momento resultante de un sistema de fuerzas respecto a un punto es la suma de los momentos de las fuerzas que componen el sistema respecto a dicho punto. Por el contrario, momento de la resultante es, como su nombre indica, el momento respecto de un determinado punto de la resultante del sistema. Pero al ser la resultante vector libre, no tiene sentido hablar

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de su momento a menos que el sistema sea reducible a un único vector: su resultante; entonces, el momento de la resultante respecto de un punto es el momento de ésta supuesta su línea de acción el eje central del sistema. Los vectores momento resultante y momento de la resultante respecto de un mismo p...