Tema 2 - Análisis de aceleración de mecanismos planos por métodos gráfico y analítico. PDF

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Análisis de aceleración de mecanismos planos por métodos gráfico y analítico....

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2.3 Análisis de aceleración de mecanismos planos por métodos gráfico y analítico. Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos planos con un grado de libertad, se realizará, en el presente tema, el análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos mencionado. Antes de realizar cualquier tipo de análisis se supuso conocido el valor de la variable primaria o posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como su variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la aceleración del eslabón de entrada es también conocida y, por lo tanto, un dato de partida. Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordará el estudio de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas gráficas, por una parte, y basadas en el cálculo numérico por otra. Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la utilización de uno u otro método siguen siendo completamente válidas en el tema que a continuación se va a desarrollar.

2.3.1 ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES. Se desarrollarán a continuación las bases necesarias para proceder al estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicación de métodos gráficos.

2.3.1.1 Polígono de aceleraciones: método de las aceleraciones relativas. El método gráfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de las velocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar gráficamente una suma vectorial. En la figura 1 se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos A y B y la velocidad relativa

 V

BA

, con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por:

Fig-1. Polígono de aceleraciones de un eslabón genérico.

Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, a, así como la aceleración del punto A. Para calcular la aceleración del punto B por medio del método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial:

y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y normal:

Donde:

|a nBA| |a tBA|

= ω·AB siendo su dirección la de la recta AB y su sentido de B a A.

= ω·AB con dirección perpendicular a la recta AB y su sentido el indicado por la aceleración angular a. Luego el problema del cálculo de la aceleración del punto B quedará resuelto según se muestra en la figura 1. Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se presenta, en el que no se conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto B. Para calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se indica, presentándose el resultado gráfico en la figura 2.

Fig-2. Polígono de aceleraciones del eslabón AB.

Una vez planteada la ecuación de aceleraciones relativas utilizada anteriormente:

el procedimiento a seguir es el siguiente: a) Se elige un polo de aceleraciones O y se traza a escala el vector a

A

, obteniéndose el

punto a.

|a nBA|

b) Se calcula la aceleración c) Por el extremo de a d) Por el extremo de

A

se dibuja el vector

|a | n BA

|a nBA|

.

se traza un recta perpendicular a este vector. La dirección de

esta recta coincidirá con la de la aceleración tangencial relativa

|a tBA|

.

e) Por el polo de aceleraciones se dibuja una línea paralela a la dirección, conocida, de la aceleración del punto B. f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de aceleraciones, el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el punto b, con lo que queda calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la aceleración ´a

B

Por otra parte, si se desea calcular la aceleración angular del eslabón, puesto que:

se tiene directamente que:

2.3.2 -ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES

2.3.2.1 Mecanismo de tres eslabones, En la figura 6 se muestra el mecanismo de tres eslabones del que se realizó el estudio de posiciones y velocidades en temas pasados.

Fig-6. Mecanismo de tres eslabones.

Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado, se obtuvo:

derivando estas funciones respecto al tiempo y operando se llegó a:

que sustituyendo los valores para el caso en estudio quedará:

y operando, se llegó finalmente a obtener las expresiones de los coeficientes de velocidad:

Para realizar el cálculo de las aceleraciones se supondrán conocidos los resultados anteriores (posición y velocidades), y se dará a este análisis dos enfoques diferentes: Inicialmente, en un primer enfoque, derivando dos veces respecto al tiempo las ecuaciones de posición quedará:

agrupando términos y expresando las anteriores ecuaciones en forma matricial:

ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas ( L´ 2 , a´ 2 ), siempre y cuando se conozcan con anterioridad los valores de las variables de posición (primarias y secundarias) y sus variaciones con el tiempo, esto es sus velocidades.

Una vez solucionado el sistema planteando, quedará:

Donde se observa que la aceleración se compone de dos términos: uno proporcional a

´q 2

q´

y otro a

Como puede verse, a través de esté primer enfoque, se consiguen las expresiones de las aceleraciones (derivadas segundas respecto al tiempo de las variables secundarias) de forma bastante engorrosa. Se aplicará ahora un segundo enfoque. Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo:

Donde ambos coeficientes son función de la variable primaria q. Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que KL2 y Ka2 son funciones de q y aplicando de

forma correcta la regla de la cadena: que puede expresarse como:

Siendo

los denominados coeficientes derivativos de la velocidad.

2.3.1.2 Aceleración de puntos de definición del mecanismo: pares. En la figura 8 se muestra parte de un mecanismo genérico para el cual se deben calcular las aceleraciones de los puntos B y C, punto que representan los pares por medio de los cuales los eslabones se unen entre sí. Se supondrán ya conocidos los valores de las variables secundarias, así como sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo (velocidades y aceleraciones de dichas variables).

Fig-8. Cálculo de las aceleraciones de los pares.

La posición del punto B viene dada por:

o expresado en forma matricial:

Derivando las expresiones de las coordenadas del punto B respecto al tiempo dos veces, se obtendrá la aceleración de dicho punto. Con la primera derivación:

y derivando de nuevo:

Como se puede observar, la aceleración del punto B se compone de dos términos que no son sino la aceleración tangencial, el primero de ellos, y la aceleración normal. Para el punto C, se tiene que su posición viene dada por:

que de forma matricial quedará:

Operando como se hizo para el punto B:

y derivando de nuevo:

3.3.2-

Aceleración de puntos asociados a un eslabón.

En la figura 9 se muestra un eslabón genérico de un mecanismo. Este se une al eslabón anterior por medio del par A y al siguiente por medio del B. En este caso se deberá calcular la aceleración del punto P de coordenadas (up,vp) referidas a los ejes U-V asociados al eslabón.

Fig-9. Aceleración de puntos asociados a un eslabón.

Cuando se realizó el cálculo de la posición del punto P se obtuvo:

Derivando respecto al tiempo se consiguió la expresión de la velocidad del punto en estudio:

volviendo a derivar respecto al tiempo se conseguirá la expresión para el cálculo de la aceleración del punto P:

El primer término es la aceleración del punto A, mientras que los otros dos representan las componentes tangencial y normal de la aceleración del punto P respecto al punto A, de forma que como debía esperarse se cumple la relación:

que es la expresión general de la aceleración de un punto cualquiera perteneciente a un eslabón.

BIBLIOGRAFIA: Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS. Autor: Joseph E. Shigley. Editorial: McGraw-Hill. Título: MECHANICS OF MACHINES. Autor: Samuel Doughty. Editorial: John Wiley & Sons. Título: MECANICA DE MAQUINAS. Autor: Ham, Crame, Rogers. Editorial: McGraw-Hill. Título: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS. Autor: A. de Lamadrid. Editorial: Sección de Publicaciones ETSII de Madrid....