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ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

TEMA 9

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS 1. INTRODUCCIÓN Las estructuras hiperestáticas son aquellas que presentan indeterminación estática, es decir, que si se plantean solamente las tres condiciones de equilibrio estático en el plano, no se pueden determinar todas o parte de las incógnitas: reacciones, esfuerzos, giros y traslaciones. A la diferencia entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio de la estática que se pueden plantear se le denomina Grado de Hiperestaticidad. Para determinar dichas incógnitas hay que plantear condiciones adicionales a las de equilibrio de fuerzas, condiciones que se basan en la compatibilidad de las deformaciones, es decir, la compatibilidad que debe existir entre las deformaciones que experimentan las barras que inciden en un determinado nudo de una estructura, con los giros y traslaciones que puede experimentar dicho nudo. Se denomina Grados de libertad de una estructura al número de giros y traslaciones de sus nudos que son independientes entre sí. Si una estructura presenta traslaciones en sus nudos se dice que la estructura es traslacional, y en caso que no existan traslaciones en dichos nudos entonces se dice que la estructura es intraslacional. De acuerdo a lo anteriormente indicado, para la resolución de estructuras hiperestáticas, se han de plantear dos tipos de ecuaciones:  Las debidas al equilibrio que debe existir entre las fuerzas exteriores que solicitan a la estructura, y las fuerzas interiores, o esfuerzos, que soportan los elementos estructurales, inducidos por la acción de dichas fuerzas exteriores.  Las debidas a la compatibilidad de deformaciones entre barras y nudos de una estructura. Las técnicas de Análisis Estructural clásicas de estructuras hiperestáticas se pueden considerar de dos tipos, en función de cuales son las ecuaciones que se plantean primero de las dos anteriormente indicadas, es decir, si se plantean primero las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y posteriormente las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones, o viceversa. En el primer caso se habla del Método de Flexibilidad, y en el segundo caso se habla del Método de Rigidez. El Método de Flexibilidad, consiste en plantear un sistema de ecuaciones, en el que primero se imponen las condiciones de equilibrio de las fuerzas y posteriormente se plantean las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. En esta metodología las incógnitas del sistema de ecuaciones planteado son las fuerzas (exteriores y/o interiores), y los coeficientes los influjos de flexibilidad, cuyo concepto se define en el siguiente apartado. El orden del sistema de ecuaciones planteado es igual al grado de hiperestaticidad del sistema estructural.

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El Método de Rigidez, consiste en plantear un sistema de ecuaciones, en el que primero se imponen las condiciones de compatibilidad de las deformaciones y posteriormente se plantean las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas. En esta metodología las incógnitas del sistema de ecuaciones planteado son los giros y traslaciones de los nudos de la estructura, y los coeficientes ios influjos de rigidez, cuyo concepto se define en el siguiente apartado. El orden del sistema de ecuaciones planteado es igual a los grados de libertad del sistema estructural. 2. CONCEPTOS DE FLEXIBILIDAD, RIGIDEZ, INFLUJOS DE FLEXIBILIDAD E INFLUJOS DE RIGIDEZ. Se define la rigidez (k) de un elemento estructural como la fuerza (Q) necesaria que habría que aplicar en un punto del mismo para producirle una deformación unitaria (l=l). Se define la flexibilidad (e) de un elemento estructural como la deformación (l) que se producirá en una determinada dirección al aplicar una fuerza unitaria (Q=l).

Como se desprende de las dos definiciones anteriores, ios conceptos de flexibilidad y de rigidez son inversos, por lo que se verifica que: k = e-1. Se define el influjo de flexibilidad (eij) como e] desplazamiento del punto de aplicación de una carga Qi en la dirección de Qj cuando en el punto j actúa una carga unitaria Qj = 1. Por lo tanto, el subíndice i indica la posición y dirección del desplazamiento debido a la deformación, y el j la posición y dirección de la carga unitaria aplicada. Se define el influjo de rigidez (kij) como la fuerza que hay que aplicar en el punto y dirección del desplazamiento i cuando se produce un desplazamiento en j unitario, siendo nulos el resto de todos los posibles desplazamientos. Por lo tanto el subíndice i indica la posición y dirección de la fuerza a aplicar, y el j la posición y dirección del desplazamiento unitario. Los influjos de flexibilidad se pueden determinar por el Método de la Carga Unidad mediante la siguiente expresión:

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Para ilustrar la aplicación de dicho Método de la Carga Unidad, se van a calcular los influjos de flexibilidad de una viga de longitud 1, apoyada solamente en el extremo A mediante un empotramiento y en voladizo en B. Para ello, suponemos que en el extremo B se aplica una carga que consiste en una fuerza vertical hacia arriba Q1= l y otra carga que consiste en un momento antihorario Q2 = 1, tal como se observa en el dibujo.

La Ley de Momentos flectores para la viga indicada anteriormente cuando se encuentra sometida únicamente a la carga Q1 = l en B, es la siguiente:

Mi = x . L

La Ley de Momentos flectores para la viga indicada anteriormente cuando se encuentra sometida únicamente a la carga Q2 = l en B, es la siguiente:

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[D] = Vector desplazamiento. [C] = Matriz de flexibilidad. [Q] = Vector fuerza actuante. Obsérvese como el vector fuerza actuante puede estar constituido por fuerzas o por momentos. Así mismo, obsérvese en el ejemplo planteado como la matriz de flexibilidad es cuadrada, es decir, el número de filas y columnas es igual, e igual al número de grados de libertad del sistema, y además es simétrica, es decir, que coincide con su transpuesta. Si como se ha indicado con anterioridad, la rigidez es inversa a la flexibilidad (k = e-1), se verificará que la matriz de rigidez es inversa a la matriz de flexibilidad, por lo que se puede despejar del sistema de ecuaciones anterior el vector fuerza actuante y obtenerlo en función de la matriz de rigidez y del vector desplazamiento:

Expresión que de forma simplificada se puede expresar como:

[Q] = [K] . [D] Siendo Q y D lo indicado con anterioridad y: [K] = Matriz de rigidez. 3. MÉTODO DE FLEXIBILIDAD Partiendo de los conceptos anteriores, para una estructura con grado de hiperestáticidad “n” se van a desarrollar las etapas que conducen a la resolución de los esfuerzos a partir del método de Flexibilidad. Para ello se descompone la estructura a calcular en una estructura básica o primaria y tantas estructuras secundarias o suplementarias como grados de hiperestáticidad presente la estructura: 1°) Se Plantea la estructura BÁSICA o PRIMARIA suprimiéndose las reacciones sobreabundantes (son aquellas reacciones que sobrepasan el número de ecuaciones de la estática que se pueden plantear, que en una estructura plana son 3). Esta estructura no es única, existen muchas posibilidades y se debe elegir aquella que presumiblemente de unos diagramas de esfuerzos más sencillos. 2°) El número de incógnitas son las "n" reacciones hiperestáticas. El número de ecuaciones son las "n" condiciones de compatibilidad de desplazamientos. Los coeficientes son los influjos de flexibilidad eij definidos en el apartado anterior. Los términos independientes son los movimientos de la estructura isostática elegida con las cargas exteriores. Intuitivamente se entiende que cada uno de los movimientos en las secciones donde han sido liberadas las reacciones o esfuerzos de la estructura (que son los términos independientes) tienen que anularse con la suma de los desplazamientos

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producidos por cada una de las reacciones incógnitas (que son el desplazamiento/giro producido por una carga unitaria eij multiplicado por la carga total incógnita). Empleando la notación matricial se tiene:

[eij] . {Q}+ {q} = 0 Siendo: eij = Matriz de influjos de flexibilidad Q = Vector de reacciones incógnitas q = Vector de movimientos de la estructura isostática Los movimientos se pueden calcular por medio de cualquiera de los métodos específicos para ello, como los Teoremas de Mohr, Doble integración, Carga unidad, etc. 3°) Una vez resuelto el sistema y conocidas las reacciones sobreabundantes, se calculan el resto de reacciones y se obtienen los diagramas de esfuerzos. 4. MÉTODO DE RIGIDEZ El Método de Rigidez, como ya se ha visto, consiste en plantear un sistema de ecuaciones, en el que primero se imponen las condiciones de compatibilidad de las deformaciones y posteriormente se plantean las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas. En esta metodología las incógnitas del sistema de ecuaciones planteado son los giros y traslaciones de los nudos de la estructura, y los coeficientes los factores de rigidez. El orden del sistema de ecuaciones planteado es igual a los grados de libertad del sistema estructural. Para entender mejor la conveniencia de aplicar el método de flexibilidad o el de rigidez, si se observa la estructura de nudos rígidos de la Figura 1, que presenta tres barras unidas rígidamente en un único nudo, y se encuentran empotradas en sus extremos opuestos, al presentar muchos apoyos presenta poca traslacionaiidad, lo que representa mediante el método de rigidez tener que considerar pocas incógnitas al haber pocos grados de libertad, en este caso solamento uno, el giro  en el nudo rígido de unión de las tres barras (Fig:1.a). Sin embargo si se plantease su resolución mediante el método de flexibilidad, como se trata de una estructura hiperestática de grado 6, habría que considerar 6 incógnitas sobreabundantes (Fig:1.b).

Figura 1. Ejemplo comparativo de aplicación del método de rigidez y el de flexibilidad en estructuras de nudos rígidos.

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4.1 PLANTEAMIENTO DEL MÉTODO DE RIGIDEZ. El método de rigidez, o método del equilibrio o método de los desplazamientos, recibe estas denominaciones porque las incógnitas básicas que adopta son los desplazamientos (lineales y angulares) en los nudos de la estructura, y porque la ecuación de superposición es una ecuación de equilibrio, como ya se ha indicado. En este método, el sistema real se puede descomponer como la superposición de un sistema básico, una estructura fija, es decir cinemáticamente determinada, y un sistema complementario que corresponde a la liberación de nudos de la misma hasta definir los desplazamientos reales. En una estructura reticulada plana de nudos rígidos, cada nudo presenta tres desplazamientos posibles: dos desplazamientos y un giro. De acuerdo a la estructura reticulada de la Figura 2, en la que los nudos 1 y 4 se encuentran apoyados mediante sendos empotramientos, y los nudos 2 y 3 no disponen de ningún enlace, son seis los posibles corrimientos en principio; Nudo 2: u2 ,v2, 2 Nudo 3: u3 ,v3, 3

Figura 2. Esquema de pórtico simple en el que se indican los posibles giros y desplazamientos en los nudos 2 y 3.

Pero bajo la hipótesis general aceptada en estructuras de nudos rígidos de que no existe deformación en sus barras debida a los esfuerzos axil y cortante, se pueden establecer relaciones geométricas de deformación, de forma que los corrimientos de un nudo se pueden relacionar con los de otros nudos a él conectados, y además para el ejemplo de la figura son nulos los desplazamientos v2 y v3 , ya que los pilares no sufren alargamientos ni acortamientos. También es fácil observar que u2 = u3 , ya que el dintel tampoco varía su longitud. Por lo tanto, en la estructura de la Figura 2, solamente existen tres grados de libertad independientes, que son las incógnitas cinemáticas 2, 3 y u2 = u3.

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4.2 ANÁLISIS DE LA BARRA AISLADA. CONVENIO DE SIGNOS Para la aplicación del método de rigidez al cálculo de una estructura reticular de nudos rígidos hiperestática, es interesante conocer la relación que existe entre las fuerzas que actúan en los extremos de dichas barras y los desplazamientos de los extremos de las mismas. Para ello se van estudiar previamente dichas relaciones para una barra genérica de una estructura de extremos i y j y de longitud I adoptando como criterios de signos positivos los sentidos indicados en la Figura 3.

Figura 3. Criterio de signos positivos de los esfuerzos en extremos de la barra aislada.

Como se puede observar, se hace coincidir el origen del sistema de referencia local para toda la barra i-j en el extremo i, y se consideran fuerzas de signo positivo las que lleven el sentido positivo del eje x (coincide con el eje axial de la barra) o del eje y (eje perpendicular al eje axial de la barra), y los momentos se consideran positivos si presentan sentido antihorario. El análisis de la barra aislada consiste en estudiar las posibles transformaciones que puede sufrir una barra de una estructura reticulada desde una posición inicial (sin carga) hasta una posición final, la cual quedará definida una vez conocidos los desplazamientos, giros y esfuerzos en los extremos de la barra. Como se puede observar en la Figura 4 de la barra aislada, suponemos que disponemos de una barra de extremos i-j, cuyo origen es el nudo i y el extremo es el j, y su longitud es I, y una vez soportado el proceso de carga sus extremos adoptan las posiciones i' y j". Sin embargo, en un primer análisis se estudiarán las deformaciones sin considerar las cargas en el vano, ya que el objetivo es determinar una relación entre esfuerzos en los extremos y giros respecto de la posición inicial y desplazamientos relativos. Ya se conoce que los ejes locales siguen la directriz de la barra y en la posición deformada siguen la dirección de la recta que une los extremos de la barra.

Figura 4. Esquema de la barra aislada iras la deformación.

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La solicitación que provoca la transformación de la barra i-j original en la i'-j" final se puede descomponer en tres fases como se puede observar en la Figura 4: 1°)Traslación Ti de la barra que no produce desplazamiento relativo entre extremos, por lo que no aparecen esfuerzos. La traslación de la barra se puede deber a cambios de posición de otras barras de la estructura. 2°)Giro de la barra de valor ij que no produce tampoco esfuerzos al no existir giro relativo entre extremos de la misma. Este giro sería debido también a cambios de posición de otras barras de la estructura. 3°)Dos rotaciones de las secciones extemas de la barra que producen la deformación de la barra y por ello esfuerzos en las mismas, que son debidos a desplazamientos o giros distintos de los extremos de la barra, aunque no se encuentre cargada. Posteriormente al análisis de la barra aislada sin considerar las cargas, se aborda el efecto de las mismas sobre la barra, lo que se realiza en el epígrafe 4.4. 4.3 RELACIÓN ENTRE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES Para determinar la relación entre esfuerzos y deformaciones, vamos a distinguir entre barras de extremos unidos rígidamente al nudo y barras articuladasempotradas, aunque existen otros tipos de posibilidades, pero que se salen de las pretensiones del presente curso básico de Construcción Agraria. BARRA DE EXTREMOS UNIDOS RÍGIDAMENTE AL NUDO: De las transformaciones indicadas en el epígrafe anterior a la barra aislada, el desplazamiento relativo ( = j - i) entre los extremos de la barra en la posición final se puede deducir considerando que equivale a un giro total de la barra. Para restablecer los empotramientos a su posición primitiva hay que introducir en ellos sendos momentos Mij en i, Mji en j, así como sendas fuerzas Vij en i, Vji en j, de forma que la relación entre giros y momentos viene dada por las siguientes relaciones: ij = giro del nudo i cuando aplico Mij en i + giro del nudo i cuando aplico Mji en j ji = giro del nudo j cuando aplico Mij en i + giro del nudo j cuando aplico Mji en j Si se calculan los cuatro giros que aparecen en las dos expresiones anteriores mediante el método de flexibilidad, previamente se deben calcular los siguientes influjos de flexibilidad de acuerdo a los esquemas de la Figura 5:

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Por lo que los giros relativos de los extremos de la barra se pueden calcular mediante las siguientes expresiones:

Ambas expresiones se pueden poner de forma matricial;

De las expresiones (3), se pueden obtener inmediatamente los valores de los momentos en ambos extremos de la barra simplemente invirtiendo la matriz de flexibilidad. De forma simplificada se obtendría la siguiente expresión suponiendo que El=cte en la barra:

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Y como se observa en las expresiones (4) para una barra de rigidez a flexión constante (EI = cte) los valores del factor de rigidez y el coeficiente de transmisión son constantes y valdrían respectivamente:

En caso de que la barra no presentase una rigidez a flexión constante, entonces la expresiones (4) en función de los factores de rigidez y de los coeficientes de transmisión adoptaría la siguiente expresión:

Se define el factor de rigidez Kij como el momento que se debe aplicar en la sección de apoyo de una viga articulada-empotrada para que la rotación de la misma sea igual a la unidad. También se puede definir como la relación que existe entre el momento en el extremo i y el desplazamiento unitario producido en el extremo j cuando el resto de desplazamientos son nulos. Y se define el Coeficiente de Transmisión ij como la relación entre el momento reacción en el empotramiento de una viga articulada-empotrada y el momento aplicado en el extremo opuesto. Pero el objetivo perseguido es obtener una relación entre los giros absolutos i y j y los esfuerzos, ya que estos se encuentran referidos a la posición inicial. Asimismo, también hay que conocer la relación existente entre los esfuerzos cortantes en los extremos y sus correspondientes desplazamientos. Los giros relativos en función de los absolutos, como se deduce de la Figura 4 de la barra aislada una vez deformada, adoptan las siguientes expresiones:

Por otra parte, si se plantean las tres ecuaciones de equilibrio estático de la barra aislada se obtienen las relaciones que existen entre los esfuerzos cortantes y los momentos en los extremos de la misma, como se puede observar en la Figura 6. Adoptando dichas relaciones las siguientes expresiones:

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Figura 6. Relación entre las reacciones verticales (cortantes) y momentos en extremos de la barra aislada.

Si se sustituye en los sistemas de ecuaciones (4) y (9) el sistema (8) suponiendo que la barra cumple que EI=cte, se pueden obtener las expresiones que ligan los momentos y cortantes en los extremos de la barra con los giros absolutos de los mismos:

Las cuatro relaciones anteriores (10) se pueden expresar matricialmente de la siguiente forma:

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La expresión anterior relaciona los momentos y cortantes en los extremos de la barra (vector fuerza) con los giros y desplazamientos (vector desplazamiento) en dichos extremos, a partir de los factores de rigidez Kij. De forma ...