Tema2. Estimacion Parametrica PDF

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TEMA ESTIMACION PARAMÉTRICA...

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Estadística e Introducción a la Econometría

Curso Académico 2013/14

TEMA 2: ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA 2.1.

ESTIMACIÓN Y ESTIMADOR

Según puede verse en el tema anterior, un estadístico muestral es una función de las observaciones muestrales; por tanto, es una función de variables aleatorias que no depende de los parámetros desconocidos. Mediante la inferencia estadística seleccionamos y utilizamos un estadístico muestral a partir del cual, y usando la información que nos proporciona una muestra aleatoria, podemos sacar conclusiones sobre características poblacionales. Cualquier conclusión sobre una población se apoyará en la información proporcionada por una muestra; concretamente, por un estadístico muestral. La elección del estadístico dependerá del parámetro poblacional objeto de interés; en cada caso se utilizará la medida análoga al parámetro. Tipo de Modelo de Distribución de la Población

X  N ( ,  )

Una

Parámetros de interés en la inferencia paramétrica

Estadísticos muestrales a emplear

1)Media: µ

1)Media:

X

población

Dos poblaciones

X  N ( x ,  x )

Y  N ( y ,  y )

2)Varianza: σ2

2)Varianza: Sˆ

1)Diferencia de medias:

1)Diferencia de medias:

x   y 2)Diferencia de Varianzas:

 2x  2y

2

X Y

2)Diferencia de Varianzas:

Sˆ 2x Sˆ y2

Las inferencias acerca del valor de un parámetro poblacional ( ), inferencias paramétricas, se pueden realizar mediante dos procedimientos: a) Contrastación de hipótesis: Un contraste es una regla de decisión, que se aplica para aceptar o rechazar una afirmación acerca del valor de un parámetro  , parcialmente conocido, sobre la base de la evidencia empírica proporcionada por una muestra. Nos ocuparemos de los contrastes en el tema siguiente. b) Estimación: Estimar es aproximar el valor real desconocido de un parámetro poblacional mediante el valor empírico de un estadístico muestral, en una muestra concreta. Podemos diferenciar dos tipos de estimación: a.

Estimación puntual, que obtiene un único valor, y

b. Estimación por intervalos, que acota la posible magnitud entre dos valores con una probabilidad asociada. Dada una población con función de distribución F(x,θ) , siendo θ un parámetro poblacional desconocido a estimar. Utilizada una muestra aleatoria simple de tamaño n, (X1, X2,…., Xn), con el propósito de estimar θ, se denomina estimador al estadístico muestral utilizado para

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estimar un parámetro y estimación   al valor de un estimador aplicado a una muestra concreta. Siendo el estimador:  = g(X1, X2,…., Xn)  = g(X1ex , X2ex,…., Xnex) Y la estimación:  De manera que el estimador es una variable aleatoria, que depende de la información de la muestra, para aproximar el valor real de un parámetro poblacional desconocido y la estimación el valor numérico del estimador en una muestra concreta. Como de una población pueden extraerse diferentes muestras, para un parámetro podrán obtenerse diferentes estimaciones, dependiendo de los valores experimentales de la muestra seleccionada. Parámetro poblacional

Estimador

Estimación Puntual

n

1) Media 

ˆ  X 

X

3)

Varianza 2

ˆ 2  Sˆ 2 

n

 X

Xi nx



2

n 1

ny

nx

j 1

i 1

Y 

 X

2

i

i 1

ny  1

j 1

jex

ny nx

 X ˆ 2x ex

nx  1

X

nY

2

ny

2

n 1

 X

i 1

ˆ Sˆ 2  2x  ˆ Sˆ y 2 x 2 y

 X ex 

ex

 X i ex

i

i ex

ˆ x ex  ˆ y  X ex  Yex  nx

nx

i ex

n

i1

2

 Yj X

Diferencia de Varianzas:

i 1

 X

ˆ ex  Sˆ ex 

i1

nY

nx

i 1

 2x  2y

X

2

i

X

n

ˆ x  ˆ y  X  Y 

Diferencia de medias:

x   y

4)

ˆ ex  X ex 

i1

n

2)

n

i

ˆ

2 y ex

i 1

Sˆ 2xex  2  Sˆ yex

i ex

 X ex 

2

n x 1

 Y ny

j 1

j ex

 Yex



2

n y 1

Ejemplo: Las ventas de una muestra aleatoria de diez establecimientos comerciales de Extremadura el día 5 de enero de 2011 fueron respectivamente, 16, 10, 8, 12, 4, 6, 5, 4, 10, y 5 en miles de euros. Obtener estimaciones puntuales de las ventas medias y de la varianza de las ventas de todos los establecimientos comerciales.

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Información a tener en cuenta: 1) Población:

2) Muestra:

1_1)X: Ventas establecimientos comerciales de Extremadura 1-2) X  N ( ;  )

Ventas establecimientos 1_1)Xi: comerciales de Extremadura,

 i : 1, ,10 1-2_1) X i  N (  ;  ) i

1-3) Parámetros de interés:

 y  2 desconocidos y a estimar

1_2_2) Los valores empíricos de las 10 Xi:ex 16, 10, 8, 12, 4, 6, 5, 4, 10, y 5

1-3)

E.M: X ; Sˆ 2 estimadores

parámetros

de

los

 y  2 , respectivamente

Se han de estimar los parámetros media y la varianza. a) Para la estimación de la media utilizamos como estimador el estadístico media de la n

muestra: ˆ  X 

X i1

n

i

, que aplicado a los valores empíricos de la muestra proporciona

un valor empírico o experimental del estimador que constituye dicha estimación n

ˆ ex  X ex 

X i 1

n

iex



16  10  8  12  4  6  5  4  10  5 80  8 10 10

Se estima que el valor real de la venta de los establecimientos comerciales en Extremadura será por término medio de 8 unidades monetarias. b)

Para la estimación de la varianza se pueden utilizar como estimadores dos estadísticos muestrales: n

1) La cuasi-varianza de la muestra:

ˆ 2  ˆS 2 

  Xi  X 

2

i 1

n1

, que aplicado a los valores

empíricos de la muestra proporciona un valor empírico o experimental del estimador que es la estimación del parámetro, desconocido, σ2. n

  X i ex  X ex 

2 2 ˆ ex  Sˆex  i 1

2

n 1



 16 82   10 82    10  82   5  82 9

Se estima que el valor del parámetro varianza se aproximará a 15,8. n

 X i  X 

2) La varianza de la muestra:

ˆ 2  S 2  i 1

2

n

, que aplicado a los valores

empíricos de la muestra proporciona otra estimación del parámetro σ2.

3

 15 ,8

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n

ˆ ex  Sex  2

2

 X iex  X ex  i 1

2

n

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2 2 2 2  16  8   10  8     10  8   5  8  14 ,2 

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Esta nueva estimación aproxima el valor real desconocido del parámetro varianza a 14,2.

2.1.ESTIMACIÓN PUNTUAL: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES. La elección de los estimadores se apoya en la analogía entre las medidas características muestrales y los parámetros poblacionales correspondientes. No es una selección arbitraria, sino que se apoya en ciertas propiedades deseables para que un estimador sea considerado bueno. Dada una población con función de distribución F  x;   , cuyo parámetro  es desconocido. Con el propósito de estimar dicho parámetro se utilizará el estimador: ˆ  g  X 1, X 2 , , X n  , a partir de una muestra aleatoria simple de tamaño n, ( X 1, X 2, , Xn ) Dicho estimador es un estadístico muestral y, por tanto, una variable aleatoria que tendrá su correspondiente distribución muestral, y sus parámetros. Es necesario establecer qué propiedades debe tener la función de distribución de un estimador para garantizar una buena aproximación del parámetro poblacional. Dichas propiedades serán: insesgadez, eficiencia, consistencia, suficiencia y robustez.

1. Estimador insesgado: Un estimador puede tomar un conjunto de valores posibles con una probabilidad determinada en función de su distribución. Es deseable que por término medio su valor coincida con el valor real del parámetro a estimar; es decir, que su distribución esté centrada en el valor poblacional. En ese caso diremos que el estimador es insesgado.

 Sesgo  ˆ  E  ˆ    .

Por tanto, un estimador es insesgado si cumple: E ˆ   . En otro caso, el sesgo del estimador será:

Si el sesgo es positivo el estimador sobrevalora el valor del parámetro, mientras que si es negativo infravalora dicho parámetro.

 Estimador insesgado

Estimador sesgado

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Ejemplo: Averigüe si el estadístico media ( X ), de una muestra aleatoria simple (X1,X2,….,Xn) extraída de una población normal, es un estadístico insesgado para estimar el parámetro desconocido media de la población (µ). 

  

Si X es insesgado se cumplirá que E X

y se cumple, según se demostró en el tema

anterior. Por lo que la media de la muestra es un estimador insesgado del parámetro media de una población normal.

 n  n   X i   E  Xi   E  X   E  i 1   i  1 n  n     

n

n

 E X   i 1



n

i 1

n

 

n  n

2 Ejemplo: Averigüe si el estadístico cuasivarianza ( Sˆ ), de una muestra aleatoria simple

(X1,X2,….,Xn) extraída de una población normal, es un estadístico insesgado para estimar el parámetro desconocido varianza de la población (σ2). 2  Si Sˆ es insesgado se cumplirá que

E

Sˆ   2

2

y se cumple, según se demostró en el

tema anterior. Por lo que la cuasivarianza de la muestra es un estimador insesgado del parámetro varianza de una población normal.

 

 

  2  n21  2 2 n 1    2 E Sˆ 2  E  E  n21        1 1 1 n n n            n 1 2

Ejemplo: Averigüe si el estadístico varianza ( S ), de una muestra aleatoria simple (X1,X2,….,Xn) extraída de una población normal, es un estadístico insesgado para estimar el parámetro desconocido varianza de la población (σ2).  Si

S 2 es

insesgado se cumplirá que

 

E S2   2

y no se cumple, según se puede

comprobar en la demostración siguiente. Por lo que la varianza de la muestra es un estimador sesgado del parámetro varianza de una población normal.

 

ES

2

 

  2 n2 1   2 2 2 E n 1  E n  1   2       n n  n  n 1

El sesgo derivado de utilizar este estimador será:

 

 

Sesgo S2  E S2   2 

2 n

 n  1   2  

2

n   2   2  2 n  2 2  2 n  2   n n n

2. Estimador eficiente: La propiedad de insesgadez no es suficiente para garantizar una buena estimación. Entre dos estimadores insesgados siempre seleccionaremos aquel con menor dispersión ya que la distribución estará más concentrada en torno al valor real del parámetro. Por tanto, el

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estimador más eficiente entre un grupo de estimadores insesgados será el que tenga menor varianza.

Ejemplo: Averigüe cuál de los estadísticos siguientes: cuasivarianza ( Sˆ ) y varianza ( S ) 2

2

de una muestra aleatoria simple (X1,X2,….,Xn) extraída de una población normal, es un estimador más eficiente para estimar el parámetro desconocido varianza de la población (σ2).  Se van a calcular y comparar las varianzas de ambos estimadores: 2

 





4 4  2  n21    2  2  Var  2 2   n 2 1  Var Sˆ 2  Var         1 n   n  12  n  1  n  1   n  1   2  n1 2

 



 



4  2  n2    2  1  Var  2 2   2 n 1   Var Sˆ 2  Var S 2  Var      n 1   n 2  n   n  2  n1

Se comprueba que la varianza muestral es un estimador más eficiente que la cuasivarianza pues su varianza es menor.

a. Error cuadrático medio (ECM) En ocasiones tenemos que elegir entre dos estimadores sesgados de un parámetro θ, y dado que nos interesa encontrar el mejor estimador del parámetro poblacional, un criterio razonable es tomar aquel que cometa en promedio el menor error en la estimación. Dado que los errores pueden ser por defecto o por exceso, se establece como objetivo a minimizar la esperanza de la diferencia entre el estadístico ˆ y el parámetro θ en valores absolutos, a fin de impedir que los valores positivos y negativos de error se compensen o anulen mutuamente:



E ˆ  



Este operador presenta el inconveniente de que la función valor absoluto es complicada de manejar desde un punto de vista matemático. Por dicha razón, suele utilizarse el error cuadrático medio (ECM) de un estimador ˆ , definido como sigue:

  



ECM ˆ  E ˆ   6

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El mejor estimador de un parámetro será el de menor cuadrático medio. Una propiedad interesante del ECM es que puede descomponerse como la suma de dos componentes: la varianza del estimador más su sesgo al cuadrado:

    Var ˆ  Sesgo ˆ 



ECM ˆ  E ˆ  

2

2

Por tanto, en el caso de comparar diversos estimadores centrados, o insesgados, de un parámetro θ, el ECM coincidirá con sus varianzas. Con lo que el estimador con menor ECM coincidirá con el de menor varianza y por tanto será el más eficiente. En las líneas que siguen se puede estudiar la demostración de la expresión anterior:

     

^2 ECM ˆ  E  ˆ       ˆ 2E  2  E ˆ  2  E ˆ 2   2  2 ˆ    E 2 Sumamos y restamos E ˆ 





       



2 2 2    2  E ˆ  E ˆ2  E ˆ  E ˆ  E 

        2



2



2

E ˆ  E ˆ  E ˆ   2  2  E ˆ      Var ˆ  Sesgo ˆ2   E ˆ  2 2



 

2

Var ˆ  Sesgo ˆ

Dado que la distribución muestral del estimador ˆ debe concentrarse en torno al valor del parámetro , tanto la varianza como el sesgo deben ser lo más pequeños posibles; por consiguiente, seleccionaremos aquel estimador ˆ entre todos los posibles estimadores del parámetro  que tenga el menor error cuadrático medio. Debe quedar claro, sin embargo, que el estimador con menor ECM no ha de ser necesariamente insesgado. De hecho, no siempre existirá el estimador con ECM mínimo. En realidad, si no nos restringimos a estimadores centrados, suele suceder que para unos determinados valores de θ sea un estimador el que produzca un ECM menor, mientras que para otros valores de θ sea otro estimador el que obtenga un ECM menor. Ejemplo: Obtener el Error Cuadrático Medio (ECM) de los estadísticos siguientes: cuasivarianza ( Sˆ ) y varianza ( S ) de una 2

2

aleatoria simple (X1,X2,….,Xn) extraída

de una población normal, es un estimador más eficiente para estimar el parámetro desconocido varianza de la población (σ2). A continuación se van a calcular los ECM de ambos estadísticos:

 



ECM Sˆ 2  E  Sˆ 2  

n 1  0  2 4 n 1 n 1 2 n 12

   Var Sˆ   Sesgo Sˆ    2

2 2

2

2

7

2

4

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 



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 



 2 4 n  1  2 n  1 2     2   n n   2

 

2 ECM S  E  S 2   2   Var S 2  Sesgo Sˆ 2   2

2

2 4 n 1   2 n 1   2 n  2 4 n 1   2n  2  2n          n n n2 n2     2

2

2 4 n 1  4 2 4 n  2 4  2 4 2 4n  4 2 4 n 1  2    n2 n n2 n2 n2 Se observa que el ECM de la varianza muestral es ligeramente menor que el de la cuasivarianza 3. Estimador consistente: Cuando el tamaño de la muestra se incrementa, la información suministrada por la muestra es más completa y la distribución muestral del estimador tenderá a concentrarse alrededor del parámetro que pretendemos estimar. Cuando el tamaño muestral se hace grande,

n  

,

hablaremos de propiedades asintóticas. Se dice que un estimador ˆ es consistente en probabilidad si se aproxima cada vez más al verdadero valor del parámetro a medida que aumenta el tamaño muestral. Es decir: la distribución del estimador se concentra en torno al valor real del parámetro al crecer el tamaño de la muestra. Más formalmente, un estimador es consistente si:   0





lim P ˆn      1

n 

n=50

n=30 n=10

 Un estimador será consistente en media cuadrática si el valor de su ECM disminuye a medida que se incrementa el tamaño muestral.     lim 󰇣   󰇤  0 lim 

→

→

 

 

 

2

lim EC M ˆn  lim Var ˆn  lim  Sesgo ˆn   0 n  n  n  

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4. Estimador asintóticamente eficiente: Aunque un estimador consistente no alcance la varianza mínima para tamaños muestrales pequeños, es deseable que dicha varianza tienda al valor mínimo a medida que se incrementa dicho tamaño. En dicho caso estaremos hablando de un estimador asintóticamente eficiente. 5. Estimador suficiente: Dado que los estimadores de los parámetros poblacionales son funciones de las observaciones...