Teorema de Green-B1 SS 2020 PDF

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Jjuuhhhh...

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MATEMÁTICA B Comisión B1-Segundo semestre de 2020

Teorema de Green Calcular, si es posible usando el Teorema de Green,

 ( xy C

2

 senx )dx  (2 yx 2  e y )dy ,

siendo C la frontera, recorrida en sentido antihorario, de la región limitada por: y  1, y  3 , x  0 , y  x . Resolución:

C es una curva cerrada, simple, suave a trozos, recorrida en sentido antihorario. C es la frontera de la región R.  F ( x, y)  ( xy 2  senx ,2 yx 2  e y)  D  DomF  R2

  F  C1 ( D) El campo vectorial F tiene componentes con derivadas parciales continuas (suma de polinomios con senx y exponencial que admiten derivadas de todo orden) R C  D Entonces, como se verifican todas las hipótesis, podemos aplicar el Teorema de Green  para calcular la circulación del campo vectorial F



C

Mdx  Ndy 

 N

  x  R

M y

 dA 

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  (2 yx 2  e y )  (xy 2  senx )  2 2 y xy senx dx yx e dy     dA   4yx  2yx dA   2xydA   ( ) ( 2 ) C R  x R R y  3



3 0

1



y

3

2 xy dxdy   y[x ] dy   1

2 0 y

3

1

1 y4   (81 1)   20 y[0  ( y) ]dy    y dy   1 4 1 4 2

3

3

2) Calcular, si es posible usando el Teorema de Green, y 2 3 3 2 2 2 C ( x y  y )dx  (x  xy  tan( 2)) dy , siendo C: x  y  4 , recorrida en sentido horario. Resolución:  y F (x , y )  ( x 2 y  y 3 , x 3  xy 2  tan( )) 2 La primera componente del campo está definida en todo punto de R 2 , pero la segunda componente del campo no está definida donde no está definida la tangente. y sen ( ) y 2 debe ser tan( )  y 2 cos( ) 2  y y cos( )  0   (2k  1) k  0, 1, 2,... y  (2k  1) k  0, 1, 2,... 2 2 2  DomF  R2  ( x , y) : y  (2k  1) , k  0,1,2,...

Definimos un conjunto D de modo que la curva C y la región R encerrada por ella estén incluidas en D Sea D  ( x, y)  R 2 :   y   

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La igualdad del Teorema de Green vale cuando la curva se recorre en sentido antihorario. En este problema queremos evaluar la circulación sobre la curva C recorrida en sentido horario. Es decir que – C describe la misma curva pero recorrida en sentido antihorario. -C es cerrada, simple, suave y recorrida en sentido antihorario. -C es la frontera de la región R. D  ( x, y)  R 2 :   y    R  (C)  D  F  C1 ( D)  El campo vectorial F tiene componentes con derivadas parciales continuas (polinomios y función trigonométrica que admiten derivadas de todo orden en su dominio) Por lo tanto vale la igualdad del Teorema de Green



C

Mdx  Ndy 

Pero sabemos que



 N

  x R



C



M  dA y 

Mdx  Ndy    Mdx  Ndy C

 N M  Mdx  Ndy   Mdx  Ndy    C C R  x y

 dA  Mdx  Ndy   C R 

N M    dA  x y 

y  x 3 xy 2   tan( ))  (  2 3   N M  x y y    ( ) 2 dA   [ 3x 2  y 2  (x 2  3y 2 ) dA  C Mdx  Ndy  R   x   y dA  R  R x y     





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2 2

2 2  C Mdx  Ndy  R 4( x  y )dA   0 x r cos y rsen 



0

2

2

2

4r 2 r drd    r 4 0 d   16d  32 0

0

2) Usando integral de línea, calcular el área de la región limitada por:

x  y  6, x  2, y  2 . Resolución:

De la igualdad del Teorema de Green



C

Mdx  Ndy 

 N M  R y

  x

 dA 

 N M Elegimos un campo vectorial F ( x, y)  ( M , N ) tal que   1 de modo que x y



C

Mdx  Ndy   1dA  Área ( R) R

 Como la curva es una poligonal resulta práctico elegir F ( x, y)  (0, x) C  C1  C2  C3 C es una curva cerrada, simple, suave a trozos, que recorremos en sentido antihorario.

C es la frontera de la región R.  D  DomF  R2

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  F  C1 ( D) El campo vectorial F tiene componentes con derivadas parciales continuas (polinomios que admiten derivadas de todo orden) R C  D Entonces , como se verifican todas las hipótesis, podemos aplicar el Teorema de Green



C

 x  0  xdy     dA  1dA  Área ( R)   xdy R x R C y  

Área( R)   xdy   xdy   xdy   xdy C

C1. y  2,

C1

C2

C3

2  x 4

x  t 2 t  4 C1 :  y  2 dy  0dt 4

 xdy   t 0dt  0 C1

2

C2 . y  6  x,

2 x4

 xt 2  t 4  C2 :   y  6 t dy  dt

t2 Cx2dy  xC 2dy  2 t (dt ) 2t dt  2 4

 C3 .x  2,

4

4

 2

1 (16  4)  6 2

2 y  4

x  2  C3 :  y  t

2 t  4

dy  dt 4

 Cxdy  xC dy    2 dt   2t 2  2(4  2)  4 3

3

4

2

Área ( R )   xdy   xdy   xdy   xdy  0  6  4  2 C

C1

C2

C3

Ejercicios 5.13 Matemática B-Comisión B1-Segundo Semestre de 2020 5

1) Evalúen las siguientes integrales aplicando el Teorema de Green siempre que sea posible d)



C

x y dy siendo dx  2 2 x y x  y2 2

i) C1 : x2  y2 1 con orientación antihoraria ii) C 2 : ( x  2) 2  y 2  1 con orientación antihoraria Resolución:  x y i) F (x, y )  ( 2 , 2 ) 2 x  y2 x y  DomF  R 2  (0,0)

La curva C1 rodea al origen, donde el campo vectorial no está definido. Por lo tanto no se puede encontrar un conjunto D que contenga a la curva y su interior donde las components del campo tengan derivadas continuas. Cualquier conjunto D que se defina que incluya a C1 va a incluir al origen donde el campo no está definido, entonces no se puede aplicar el Teorema de Green. Por lo cual la circulación debe calcularse directamente parametrizando la curva

x  cos t 0  t  2 C1 :  y  sent dx   sentdt dy  cos tdt 2 x y C1 x 2  y 2 dx  x2  y 2 dy  0

2 sent cost ( sent dt )  cos t dt   2 2 2 0 cos t  sen t cos t  sen t 2

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0 dt 0

ii) C 2 : ( x  2) 2  y 2  1  x y F ( x, y)  ( 2 , 2 ) 2 x  y x  y2  DomF  R 2  (0,0)  Ahora el (0,0) no está en la región R encerrada por la curva.  Podemos definir un conjunto D  (x , y )  R 2 : x  0  donde F  C1 ( D)

Entonces se puede aplicar el Teorema de Green ya que se cumplen sus hipótesis: C2 es una curva cerrada, simple, suave, recorrida en sentido antihorario. C2 es la frontera de la región R.  F  C1 ( D) R  C2  D Entonces , como se verifican todas las hipótesis, podemos aplicar el Teorema de Green  para calcular la circulación del campo vectorial F x y   ) ( 2 )  ( 2 2 2  x y x y y x C 2 x 2  y 2 dx  x 2  y 2 dy  R  x   y dA    

(



C2

y x ) ( 2 ) 2   x y x  y2 2 xy 2 xy 0   2    2 2 2 2 2  (x  y )  ( x  y )  x y 2

x y dx  2 dy   0dA  0 2 R x y x  y2 2

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x y dx  2 dy siendo 2 C x  y2 y 2 2 i) C1 : x  y 1 con orientación antihoraria 2 2 ii) C 2 : x  ( y  2)  1 con orientación antihoraria

e)

x

2

Resolución:  y x i) F ( x, y)  (  2 , 2 ) 2 x  y x  y2  DomF  R 2  (0,0) 

La curva C1 rodea al origen, donde el campo vectorial no está definido. Por lo tanto no se puede encontrar un conjunto D que contenga a la curva y su interior donde las components del campo tengan derivadas continuas. Cualquier conjunto D que se defina que incluya a C1 va a incluir al origen donde el campo no está definido, entonces no se puede aplicar el Teorema de Green. Por lo cual la circulación debe calcularse directamente parametrizando la curva

x  cos t C1 :  0  t  2 y  sent dx   sentdt dy  cos tdt 2 y x C1  x 2  y 2 dx  x 2  y 2 dy  0



2 sent cos t ( sent dt )  cost dt  2 2 2 0 cos t  sen t cos t  sen t 2

2 2 ii) C2 : x  ( y  2)  1

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1dt 2

 y x F ( x, y)  (  2 , ) x  y 2 x 2  y2  DomF  R 2  (0,0)

Ahora el (0,0) no está en la región R encerrada por la curva.  Podemos definir un conjunto D  (x , y )  R 2 : y  0 donde F  C1 ( D)

Entonces se puede aplicar el Teorema de Green ya que se cumplen sus hipótesis: C2 es una curva cerrada, simple, suave, recorrida en sentido antihorario. C2 es la frontera de la región R.  F  C1( D) R  C2  D Entonces , como se verifican todas las hipótesis, podemos aplicar el Teorema de Green  para calcular la circulación del campo vectorial F y x   ) ( 2 )  ( 2 2 2  y x y x y x   dA C 2  x 2  y 2 dx  x2  y2 dy  R   x  y     

(



C2

x y )  ( 2 ) 2 2 2 2 2 x y x y (x  y )  2x   ( x2  y2 )2 x y 2

2 2  y2  x2    ( x 2  y 2 )  2 y2  y x        ( x 2  y 2) 2  ( x2  y2 ) 2   0 (x 2  y 2 ) 2    

x y dy   0dA  0 dx  2 2 R x y x  y2 2

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 4) Sea F ( x, y)  ( M , N ) M y N con derivadas parciales continuas en D  R 2  {(0,0)}     y rot F  0 ( x, y )  D . ¿Qué pueden afirmar acerca de CF  dr para las curvas que

aparecen en la siguiente figura. Nombren y ordenen las curvas. Justifiquen sus afirmaciones.

Resolución: Consideremos las curvas nombradas y orientadas como se indica en el gráfico. Para C5 , que no rodea al origen, donde el campo no tiene derivadas parciales continuas,

podemos definir un conjunto A  ( x, y )  R 2 : x  0  que contiene a la curva C5 donde  F  C 1 ( A), A  D

C5 es cerrada , simple, suave y recorrida en sentido antihoario. Sea R 5 la región encerrada por C5 . C5  R5  A

  F Entonces podemos calcular la circulación C  dr utilizando el Teorema de Green 5

    Como rot F  0 ( x, y )  D y A  D  rot F  0 ( x, y)  A .

Entonces

          F d r rot F k dA    0  k dA  0 dA 0 C5

R5

R5

R5

Para C3 que tampoco rodea al origen, donde el campo no tiene derivadas parciales continuas, podemos repetir el análisis anterior, por lo cual Matemática B-Comisión B1-Segundo Semestre de 2020 10

      0 0 0  F  dr   rotF  k dA    k dA  dA  C3

R3

R3

R3

Para el caso de las curvas C1 ,C 2 y C4 , que rodean al origen donde el campo vectorial no tiene derivadas parciales continuas, por lo que no se puede aplicar el Teorema de Green. Como no se conoce la expresión del campo vectorial ni las ecuaciones de las curvas no podemos calcular la circulación sobre las mismas calculando las integrales de línea. Lo único que podemos hacer es, tomadas de a pares, establecer mediante el Teorema de Green generalizado una relación entre las circulaciones. Sean C1 y C2 . Sea R la región limitada por las mismas; Las curvas son cerradas, simples, suaves y recorridas en sentido antihorario. R  C1  C2  D  R2 {(0,0)}  F  C 1 (D )   rot F  0 ( x, y )  D Entonces por el Teorema de Green generalizado

0

              N M  dA F d r F d r F d r F d r F d r F               R  x y  C2  C1 C2 C1 C1 C2  dr

Haciendo el mismo análisis para C1 y C4 se concluye que









 F  dr   F  dr C1

C4

      Por lo tanto  F  dr   F  dr   F  d r C1

C2

C4

 5) Calcular la circulación de F1  (

x y , 2 ) y la circulación de 2 x  y x  y2 2

y x , 2 ) a lo largo de la curva C de la figura siguiente. 2 x y2   x y Sugerencia: recordar que en los ejercicios 3-d) y 3-e) se han calculado la circulación de estos campos a lo largo de la circunferencia x 2  y 2  1.  F 2  (

2

Matemática B-Comisión B1-Segundo Semestre de 2020 11

Como ambos campos vectoriales no están definidos en el origen y la curva C rodea el origen, no se puede encontrar un abierto que contenga a la curva y su interior donde las componentes del campo vectorial tengan derivadas parciales continuas. Por lo tanto no se puede aplicar el teorema de Green para calcular la circulación de los mismos. Tampoco se conoce la ecuación paramétrica de la curva C para poder calcular la integral de línea.   Como se mostró en un ejercicio anterior: rot F1  0 ( x , y )  R 2  (0,0) y   2 rot F2  0  (x , y )  R  (0,0)   Además se calculó sobre x 2  y 2  1 las circulaciónes de F1 y F 2 .

Entonces podemos utilizar a la curva C1 : x2  y2  1 que es interior a C como una curva   auxiliar para calcular las circulaciónes de F1 y F 2 definiendo una región R limitada por C y C1 en la que se puede aplicar el Teorema de Green generalizado ya que se cumplen sus hipótesis.

 Para el caso de F1 Matemática B-Comisión B1-Segundo Semestre de 2020 12

Las curvas C y C1 son cerradas, simples, suaves y recorridas en sentido antihorario. Sea R la región limitada por las mismas.  D  DomF1  R2  {(0,0)}  F1  C 1 ( D) R  C1  C2  D  R2 {(0,0)}   rot F1  0 ( x, y)  D

Entonces por el Teorema de Green generalizado y recordando que



C1

  F1  dr  0

              N M  0     dA   F1  dr   F1  dr   F1  dr   F1  dr   F1  dr   F1  dr  0 R C C 1 C C1 C C1  x y   Para el caso de F 2 Las curvas C y C1 son cerradas, simples, suaves y recorridas en sentido antihorario. Sea R la región limitada por las mismas.  D  DomF2  R 2  {(0,0)}  F2  C1( D) R  C1  C2  D  R2 {(0,0)}   rot F2  0 ( x, y)  D

Entonces por el Teorema de Green generalizado y recordando que

  N M 0     R  x y



C1

  F2  dr  2

             dA   F 2  dr   F 2  dr   F 2  dr   F 2  dr   F 2  dr   F 2 dr  2 C C 1 C C1 C C1 

Ejercicio  Sea F ( x, y ) un campo vectorial definido, con derivadas parciales continuas y   rot F  3k en D  R 2  {(0,0)} . Sean C1 : x 2  y 2  9 y C 2 : x 2  y 2  25 recorridas en sentido antihorario. Si

  F  .dr  10 , ¿cuánto vale C2

 

 F .dr ? Justificar. C1

Resolución:

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Las curvas C1 y C2 son cerradas, simples, suaves y recorridas en sentido antihorario. Sea R la región limitada por las mismas.  D  DomF  R 2  {(0,0)}  F  C 1 (D ) R  C1  C2  D  R2 {(0,0)}   rot F  3k ( x, y)  D

Entonces por el Teorema de Green generalizado y recordando que

  F   dr  2 C2

     N  M    dA F d r F     R   x y  C2 C1  dr     rot F  k dA  F    dr   R



C1

C2

 C1

            F  d r   F  dr   F  dr   F  d r   F  dr   rot F  k dA C2

C1

C1

      2 F  dr   F  dr   rotF  k dA  10   3dA  10   C2

R

R

0

C2

R

5

 3rdrd  10  3(25  9 )  10  48  38 3

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