Teoría Capa Límite - Reinaldo Sanchez PDF

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76 TEORIA DE LA CAPA LIMITE. Fue propuesta por Prandtl en 1904 y establece que, todo fluido viscoso en contacto con una superficie desarrolla perfiles de velocidades. La capa límite, es una superficie que delimita las zonas donde se generan gradientes de velocidad y, en consecuencia, esfuerzos de corte y una segunda zona en donde la corriente sigue siendo libre y el fluido no se perturba por la presencia de la superficie. Para el análisis consideremos una superficie plana y lisa, según la figura siguiente, con el borde de entrada afilado, la que se enfrenta a una corriente de un fluido viscoso que se mueve a la velocidad v∞ . Cualquiera sea la condición de entrada del fluido, una vez que el fluido toma contacto con el borde de la placa y avanza en la dirección x, sobre la superficie, se forma un perfil de velocidades de tipo laminar con velocidad cero en y=0, (condición de adhesión de un fluido viscoso) y aumenta en forma parabólica hasta la velocidad del medio no perturbado v∞ . La superficie que delimita la zona no perturbada de la perturbada, se denomina capa límite y su espesor crece en la medida que el escurrimiento avanza por sobre la placa. Conforme el escurrimiento se desarrolla por sobre la placa, el escurrimiento cambia de régimen laminar a turbulento en el punto denominado xcrítico La figura siguiente muestra el desarrollo de la capa límite y las condiciones de borde para el escurrimiento. Y Capa límite Voo Voo

Voo Subcapa laminar

δh Laminar

X

Turbulenta

v∞ = velocidad del medio no perturbado

δh = espesor capa límite hidráulica Re x < 5⋅ 105

regimen laminar

Re x > 5⋅ 105

regimen turbulento y= 0

con: Re x =

v=0

v ⋅x

υ

∀x

∂v =0 ∂y La teoría de Prandtl establece además que, en la zona turbulenta existe una capa muy delgada de fluido que escurre por sobre la superficie, en donde, el escurrimiento sigue siendo laminar. Esta capa se denomina sub-capa laminar. y ≥ δh

Reinaldo Sánchez A.

v > 0.99 ⋅ v∞

77 Zona Laminar. El espesor de la capa límite, para la zona laminar, se determina partir de la ecuación para la distribución de velocidades, la ecuación del esfuerzo tangencial o viscoso, que para el caso de la zona laminar se expresan como: ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ v = 1.5 ⋅ ⎜ ⎟ − 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ v∞ ⎝ δh ⎠ ⎝ δh ⎠

τ = ρ⋅

3

∂ δh v ⋅ (v ∞ − v ) ⋅ dy ∂x ∫0

perfil de velocidades

(167)

esfuerzo viscoso

(168)

Luego de reemplazar la ecuación (167) en (168) e integrando con las condiciones de borde de la capa límite se obtiene la expresión para el espesor de ésta en la zona laminar, dada por:

δh x

con

Rex =

v∞ ⋅ x

=

4.65

y,

υ

(169)

Re x

x: distancia desde el borde de la placa

A partir de la ecuación para la fuerza de arrastre, para una superficie de ancho unitario:

τ D = Cd ⋅

ρ ⋅ v∞2 2

⋅l

(170)

Igualando ecuaciones (168) y (170), se obtiene una expresión para determinar el coeficiente de fricción por sobre la zona laminar de la placa obteniéndose: C fx =

0.664

C fl =

1.33

Re x < 5 ⋅10

Rex

5

5 Re x < 5 ⋅10

Re l

valor local

(171)

valor medio

(172)

¿ Cómo se obtiene el valor medio de C f ? por integración de la ecuación (171) 1 l C fl = ⋅ ∫0 C f x ⋅ dx l

(173)

1 l 0.664 ⋅ dx C fl = ⋅ ∫0 1 l Re x 2 0.664 l ⎛ v∞ ⋅ x ⎞ ⋅∫ ⎜ C fl = ⎟ 0 l ⎝ υ ⎠ 0.664 ⎛ v∞ ⎞ ⋅ C fl = l ⎜⎝ υ ⎟⎠

Reinaldo Sánchez A.

−1 2

− 12

1

⋅ dx

0.664 ⎛ v∞ ⎞ ⋅⎜ ⎟ C fl = l ⎝υ ⎠

l

x2 ⋅ 1 20

C fl =

0.133 Re l

− 12

⋅∫

l

0

(x )

−12

⋅ dx

78 Zona turbulenta. Se puede utilizar la propuesta de Prandtl para la distribución de velocidades para tuberías lisas, en forma análoga al tratamiento realizado para la capa límite laminar, esto es, 1

v ⎛ y⎞ 7 = (174) v∞ ⎝⎜ δ ⎠⎟ Aplicando la misma metodología que para la capa límite laminar, se obtiene las siguientes expresiones para el desarrollo de la capa límite turbulenta y para el factor de fricción.

δh x Cfx =

0.059

C fl =

0.074

5

Rex

5

Re x

=

0.376 5

(175)

Rex

5 ⋅10 ≤ Re x ≤ 10 5

7

valor local

(176)

7

valor medio

(177)

5 ⋅ 10 ≤ Rex ≤ 10 5

Para los casos en que la placa es suficientemente larga para generar el desarrollo de ambas zonas, el coeficiente de fricción se determina por integración de la ecuación (173) de las ecuaciones (171) y (176) en los rangos. 0 ≤ x ≤ x critico

zona laminar

xcrítico ≤ x ≤ l

zona turbulenta

1 Cf = ⋅ l

(∫

xcr

0

l

C f x, laminar ⋅ dx + ∫x C f x, turbulento ⋅ dx cr

)

(178)

El resultado de la integración de la ecuación (178) entrega la ecuación para el coeficiente de fricción promedio de una placa plana y lisa, que desarrolla ambas capas límites y se expresa como:

Cf =

0.074 1.742 − 5 Re Re l l

5 ⋅10 5 ≤ Rex ≤ 10 7

(179)

Schlichting propone la siguiente ecuación, equivalente a la (179), para superficie rugosa, de la forma:

ε C f = ⎛⎜ 1.89 − 1.62 ⋅ log ⎞⎟ l⎠ ⎝

− 2.5

(180)

Sub-capa laminar. El espesor de la sub-capa laminar se determina a partir de la ecuación para la capa turbulenta y se expresa como:

δs 198 = 7 δ h Re 10 x δ s = espesor sub-capa laminar

Reinaldo Sánchez A.

(181)

79 Separación de la capa límite. Cuando un escurrimiento se desplaza a lo largo de una superficie curva, se genera una variación de la presión en la dirección del movimiento cuyo valor disminuirá si la sección es convergente y aumentará si la sección diverge.

dp 0

Distribución de velocidad en la superficie de un cilindro y y formación de flujo de retroceso

La figura anterior representa un cilindro que describe la evolución de los gradientes de presión en el fluido cuando escurre por sobre su superficie. Dependiendo de la velocidad de entrada del fluido, el número de Reynolds y la posición donde se produce el cambio de régimen laminar a turbulento, el gradiente de presión cero se alcanzará antes o después de los 90° y como consecuencia, el punto de desprendimiento de la capa límite. En consecuencia, se puede establecer que: -

Si el número de Reynolds es bajo, la cantidad de movimiento del fluido cerca de la superficie es bajo (velocidades bajas en esa zona) y, cuando el escurrimiento pasa los 90° y entra a la zona divergente la velocidad se invierte produciéndose el desprendimiento de la capa límite, formándose una estela que se adhiere al cuerpo aumentando el arrastre. La figura siguiente representa lo señalado.

-

Si el número de Reynolds aumenta, el cambio de régimen laminar a turbulento se produce antes de los 90° y, la cantidad de movimiento del fluido cerca de la superficie es alta y en consecuencia el desprendimiento de la capa límite o el gradiente de presión cero se produce pasado los 90°.

Reinaldo Sánchez A.

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(a)

(b)

Las figuras anteriores muestran el desplazamiento de una bola de bowling de 216 mm de diámetro a una velocidad de entrada al agua de 0.8 m/s. En la figura (a) la superficie es lisa y en la figura (b) la zona frontal de la superficie se cubrió con una capa de 100 mm de diámetro de arena. Fotografías de la U.S. Navy de ensayo realizado en la Naval Ordance Test Station, Pasadera Annex. La diferencia del punto de separación de la capa límite se produce por que en el caso (b), la rugosidad impuesta en la parte frontal de la bola, anticipa el cambio de régimen laminar a turbulento y, con ello, desplaza el punto de separación de la capa límite, disminuyendo la fuerza de arrastre sobre la bola. El caso de las pelotas de golf es otro ejemplo de, cómo las muescas o asperezas impuestas reducen el arrastre, al desplazar el punto de separación de la capa límite hacia la parte posterior de la bola. ARRASTRE Y SUSTENTACION.

El arrastre y la sustentación se definen como las componentes de fuerzas paralelas y normales ejercidas sobre un cuerpo por el fluido en movimiento, a la velocidad relativa de aproximación. Tanto los esfuerzos debidos a la presión como los viscosos que actúan sobre un cuerpo sumergido contribuyen a la fuerza resultante sobre éste. La acción dinámica del fluido en movimiento es la que desarrolla el arrastre y la sustentación, otras fuerzas tales como; la de gravedad y la de flotación, no se incluyen en el arrastre ni en la sustentación. El flujo alrededor de un ala es un buen ejemplo para el análisis introductorio de éste fenómeno. Los esfuerzos cortantes pueden visualizarse como aquellos que actúan a lo largo de la superficie del ala, según se muestra en la figura. A partir del teorema de conservación de energía de Bernoulli, es posible demostrar y justificar la reducción de la presión sobre el perfil por el aumento de velocidad al estrecharse la sección de paso de la corriente libre.

Reinaldo Sánchez A.

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Conceptualmente la sustentación y el arrastre pueden calcularse directamente a partir de los esfuerzos de presión y los esfuerzos viscosos. Para el caso de la fuerza de arrastre se plantea que, para un elemento diferencial de área:

dFd = p ⋅ dA ⋅ sen( θ) + τ o ⋅ dA ⋅cos( θ) Integrando sobre el área superficial, con una diferencia de presión positiva ascendente, se tiene: Fd = ∫ ( p ⋅ sen (θ ) + τ o ⋅ cos(θ ) ) ⋅ dA

(167)

De manera similar, para la fuerza de sustentación, se tiene: dFl = p ⋅ dA ⋅cos( θ) − τo ⋅ dA ⋅ sen( θ) y Fl =

∫ ( p ⋅cos( θ) − τ

o

⋅ sen( θ) )⋅ dA

De la ecuación (167), se tiene: ∫ p ⋅ dA ⋅ sen(θ ) : se denomina arrastre de presión o de forma

∫τ ⋅ dA⋅ sen(θ )

: se denomina arrastre de superficie, fricción o viscoso

En una placa plana paralela al flujo

∫ p ⋅ dA ⋅ sen(θ ) = 0 Fd = ∫ τ ⋅ dA ⋅ sen(θ )

Reinaldo Sánchez A.

(168)

82 En una placa plana perpendicular al flujo

Fd =

∫ p ⋅ dA⋅ sen(θ )

∫ τ ⋅ dA ⋅ sen(θ ) = 0 El esfuerzo cortante sobre el ala contribuye en una porción muy pequeña sobre la sustentación en el ala y ésta puede ser despreciada. El patrón de flujo alrededor de un cuerpo sumergido controla la magnitud de las fuerzas de arrastre y de sustentación, y el desarrollo de las capas límites juega un papel importante en la definición de dichas fuerzas. Desafortunadamente en la mayoría de los cuerpos estos patrones de flujo no se pueden calcular con exactitud y las ecuaciones (167) y (168), a pesar de su formalidad, tienen un valor práctico limitado. Luego, las fuerzas de arrastre y de sustentación, en la práctica, se determinan utilizando coeficientes determinados experimentalmente, luego v2 ⋅A 2 v2 Fl = Cl ⋅ ρ ⋅ ⋅ A 2

Fd = Cd ⋅ ρ ⋅ y

(170) (171)

Arrastre. (sobre esfera) Si consideramos un fluido con viscosidad a diferentes velocidades, se tiene: a) A bajas velocidades Re < 0.2. En este caso las fuerzas de inercia son despreciable respecto de las fuerzas viscosas y el análisis se realiza a partir de la Ley de Stokes. Ley de Stokes. Se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue deducida en 1851 por George Gabriel Stokes tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier Stokes.

Fdstokes = 3 ⋅π ⋅ μ ⋅ d ⋅ v con: μ = Viscosidad dinámica d = diámetro esfera v = velocidad del fluido Donde:

π ⋅μ ⋅ d ⋅ v 2 ⋅π ⋅ μ⋅ d ⋅v

Reinaldo Sánchez A.

Lo contribuye el arrastre de presión Lo contribuye el arrastre viscoso

(172)

83 Igualando las ecuaciones (171) y (172), se obtiene. Cd ⋅ ρ ⋅ Cd =

v2 π 2 ⋅ ⋅ d =3 ⋅ π ⋅ μ ⋅ d ⋅ v 2 4

24⋅ μ 24 = ρ ⋅ v ⋅ d Re

(173)

b) Para Reynolds entre 0.2 < Re < 5. Una modificación a la solución de Stokes fue hecha por Oseen, el cual incluyó las fuerzas de inercia a la fuerza de arrastre. La expresión propuesta es:

Cd =

24 ⎡ 3 ⎤ ⋅ ⎢1+ ⋅ Re ⎥ Re ⎣ 16 ⎦

(174)

c) Para Reynolds entre 5 < Re < 1000. En este rango la experiencia indica que el coeficiente de arrastre disminuye cuando el número de Reynolds aumenta. La capa límite se caracteriza por se laminar y el punto de separación se mueva hacia arriba del punto de estancamiento S1.

d) Para Reynolds entre 1000 < Re < 100.000. En este rango P1 y P2 se mantienen fijo en 80° aproximadamente y el tamaño de la estela permanece constante. El valor del coeficiente de arrastre Cd es mas o menos independiente del Reynolds y pude ser considerado como Cd = 0.5. e) Para Reynolds Re > 100.000. Con el aumento del Reynolds la capa límite se hace inestable y con Re por sobre los 3x105 la capa límite se hace turbulenta. Como la distribución de velocidades es distinta, el punto de separación se presenta pasado los 110° y el valor del Cd ~ 0.2.

En los gráficos siguientes se muestran la variación del Cd en función del número de Reynolds para una esfera, tal como se describió anteriormente y otros cuerpos de interés en Ingeniería,

Reinaldo Sánchez A.

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Reinaldo Sánchez A.

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Coeficientes de arrastre Cd para cuerpos bidimensionales para Re>104.

Coeficientes de arrastre Cd para cuerpos bidimensionales Re>104.

Reinaldo Sánchez A.

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Coeficientes de arrastre Cd para cuerpos tridimensionales Re>104.

Coeficientes de arrastre Cd para cascos sobre superficies en función del Fr.

Reinaldo Sánchez A.

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Coeficientes de arrastre Cd para cuerpos en escurrimientos compresibles. Sustentación. Como se expresó en la ecuaciones (168) y (171), la sustentación es la componente de la fuerza que ejerce el fluido sobre un cuerpo en forma perpendicular a la velocidad relativa de aproximación.

v2 ⋅A (175) 2 En el diseño de cuerpos de sustentación, tales como hidroalas, alas ó álabes, el objetivo es crear una gran fuerza, perpendicular a la corriente libre, minimizando el arrastre. Fl = Cl ⋅ ρ ⋅

La figura siguiente muestra las características generales de un perfil de ala, su geometría, ángulo de ataque, entre otros, que son necesarios para su evaluación.

Reinaldo Sánchez A.

88 De las ecuaciones (170) y (175) se determinan, con ayuda de un túnel de viento, los coeficientes de arrastre y de sustentación para diferentes ángulos de ataque, de donde se obtienen sus curvas de operación similares a la mostrada en la figura siguiente: Cd =

Fd v2 ρ⋅ ∞⋅A 2

y

Cl =

Fl v2 ρ ⋅ ∞⋅A 2

Cuando el ángulo de ataque supera los 18°, dependiendo del tipo de perfil, la corriente de fluido se separa completamente de la parte superior y con ello disminuye la sustentación y aumenta el arrastre, dicho punto de caída, se conoce como “stall”.

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89 De manera similar, dicho comportamiento se muestra en esquema relativo al avión de la figura.

Reinaldo Sánchez A....