Analisis Dimensional - Reinaldo de Sanchez PDF

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68 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMAJANZA. Teoría Dimensional. Es una de las ramas de la matemática que estudia las unidades físico mecánicas de las cantidades que se obtengan en un experimento o en el desarrollo de una ecuación y que permite comprobar la igualdad, al sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones. El análisis dimensional, en general, no resuelve problemas pero constituye un buen método para: -

Control de ecuaciones. Conversión de unidades. Simplificar o reducir el número de variables. Importante aporte en el estudio con modelos

La mayoría de los problemas de flujo de aplicación práctica son demasiado complejos, tanto geométrica como físicamente, para ser resueltos en forma analítica. En esos casos se debe recurrir a los ensayos experimentales o a técnicas de la mecánica de fluidos computacional CFD (Computacional Fluid Dynamics). Los resultados experimentales o numéricos se suelen presentar en forma de valores puntuales o discretos y curvas suaves. El análisis dimensional es una técnica que se encuentra entre los fundamentos de la Mecánica de Fluidos y que también se usa en todos los campos de la ingeniería además, en las ciencias físicas, biológicas, en medicina y en las ciencias sociales. Básicamente, el análisis dimensional es un método que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico, para lo que utiliza una serie de técnicas. Si un fenómeno depende de n variables dimensionales e intervienen m unidades fundamentales, (L, M, T y Θ), el número de parámetros adimensionales posibles de obtener son n-m. Los métodos de obtención de parámetros adimensionales son, principalmente: -

Teorema π de Buckingham.

-

Método de Rayleigh

-

Método diferencial de Stoke. (utilizado en transferencia de calor)

Teorema π de Buckingham. En un problema físico dado, la variable dependiente x1 se puede expresar en términos de las variables independientes, de la siguiente forma: x1 = f ( x2 , x3 , x 4 ,......... x n) Donde, n representa el número de variables. Si el número de unidades fundamentales (L, M, T y Θ) es m, el número de parámetros adimensionales será n-m, de lo que se obtiene:

π1 = f (π 2 , π 3, π 4,........ π n − m)

Reinaldo Sánchez A.

69 Símbolos y dimensiones de las cantidades utilizadas en Mecánica de Fluidos Cantidad Símbolo Longitud l Tiempo t Masa m Fuerza F Velocidad v Aceleración a Frecuencia ω Gravedad g Area A Flujo volumétrico V Flujo másico m Presión P Esfuerzo τ Densidad ρ Peso específico γ Viscosidad dinámica μ Viscosidad Cinemática ν Trabajo W Potencia N Tensión superficial σ Módulo de elasticidad Ε volumétrico Método para determinar los parámetros π.

Dimensiones L1 T1 M1 1 1 -2 M L T L1T-1 L1T-2 T-1 L1T-2 L2 L3T-1 M1L-1 M1 L-1 T-2 M1 L-1 T-2 M1 L-3 M1 L-2 T-2 M1 L-1 T-1 L2T-1 1 2 -2 M L T M1 L2 T-3 M1 T-2 M1 L-1 T-2

1. Identificar el número de variables que intervienen en el fenómeno y agruparlas en una función representativa de la forma: f ( x1, x 2 , x3 , x4,......... xn) = 0 2. Analizar las magnitudes de cada variable con el fin de obtener m. 3. Para estructurar las ecuaciones de cada parámetro π, se debe seleccionar m variables que entre si contengan las m dimensiones, de las n en estudio, que se repetirán en cada ecuación de parámetros π. Las ecuaciones de cada parámetro π se estructuran con las variables que se repiten elevadas a exponentes y se agrega una variable, de las no seleccionadas, sin exponente. A modo de ejemplo se tiene: n =5

( x1, x 2, x3, x4, x5)

m=3

( L, M, T),

luego,

n − m =2

(x2 , x4 , x5 )

Variables seleccionadas

Ecuaciones que determinarán los parámetros adimensionales

π 1 = x2a ⋅ x4b ⋅ x5c ⋅ x1 1

1

1

π 2 = x2a ⋅ x4b ⋅ x5c ⋅ x3 2

Reinaldo Sánchez A.

2

2

70 De donde finalmente se obtiene la relación funcional, para este caso,

π1 = f ( π2 ) 4. Para cada expresión de parámetro π, se plantea la ecuación de homogeneidad para determinar los exponentes de cada ecuación 5. Los parámetros finalmente obtenidos pueden ser modificados con las siguientes operaciones. -

multiplicar y/o dividir entre si. Multiplicar o dividir por una constante o número Elevar a algún exponente. Invertir los parámetros. No se acepta suma o resta entre parámetros.

Ejemplo: Para la figura encuentre una expresión para la fuerza de arrastre Fd sabiendo que ésta depende de:

Fd = f (v 0 , l , ρ , μ , g , E , σ )

Las dimensiones de las variables que participan del fenómeno son: Cantidad Longitud Fuerza Velocidad Gravedad Densidad Viscosidad dinámica Tensión superficial Módulo de elasticidad volumétrico

Símbolo l F v0 g ρ μ σ Ε

Dimensiones L1 1 1 -2 M L T L1T-1 L1T-2 M1 L-3 M1 L-1 T-1 M1 T-2 M1 L-1 T-2

Luego, n = 8 número de variables m = 3 (L,M,T)

El número de parámetros a obtener son: n-m = 8-3 = 5 Como m = 3, corresponde elegir el mismo número de variables que se repiten y que entre sí contengan las respectivas dimensiones. Para este caso se elegirán: v0 , l ,ρ y se estructurarán las ecuaciones para los parámetros adimensionales.

Reinaldo Sánchez A.

71 1 −2 π1 : L0 M 0T 0 = La T − a M b L− 3b Lc M 1LT

π 1 = v a ⋅ ρ b ⋅ l c ⋅ Fd 1

1

1

1

2

2

π 3 = va ⋅ ρ b ⋅ l c ⋅ g 3

3

4

4

b5

π1 =

y

π5 = v ⋅ ρ ⋅ l ⋅ σ a5

1

c5

Fd = ρ ⋅ v2 ⋅ l 2

Fd v2 ρ ⋅ ⋅ l2 2

a a b 3b c L0 M 0T 0 = L 2 T − 2 M 2 L− 2 L 2 M 1 L−1T −1 L: 0 = a2 −3 b2 + c2 −1

π2 :

M : 0 = b2 +1 T: 0 = −a2 −1 de donde: a2 = −1 ; b2 = −1 ; c2 = −1

π2 =

y

μ ρ ⋅v ⋅l

=

v⋅l

v⋅ l

=

μ ρ

υ

= Re = N° Reynolds

1 −2 L0 M 0 T 0 = La 3 T − a 3 M b3 L−3b3 Lc3 LT

π3 :

L : 0 = a 3 − 3 b3 + c3 +1 M : 0 = b3 T : 0 = − a3 − 2 de donde: a3 = −2

π3 =

y

; b3 = 0

g ⋅l g ⋅l = = 2 v v

; c3 = 1 v = Fr = N° Froude g⋅ l

a a b 0 0 0 3b c 1 1 2 L M T = L 4 T − 4 M 4 L− 4 L 4 M L− T − L: 0 = a4 −3 b4 + c4 −1 M : 0 = b4 +1

π4 :

T : 0 = − a4 − 2 de donde: a4 = −2

y

Reinaldo Sánchez A.

1

T : 0 = − a1 − 2 de donde: a1 = −2 ; b1 = −1 ; c1 = −2

3

π 4 = va ⋅ ρ b ⋅ l c ⋅ E 4

1

L: 0 = a1 − 3 b1 + c1 +1 M : 0 = b1 +1

π 2 = va ⋅ ρ b ⋅ l c ⋅ μ 2

1

E = π4 = 2 v ⋅ρ

; b4 = −1 ; c4 = 0 E v

ρ

=

v E

= M = N° Mach

ρ

72 a a b 0 0 0 3b c 1 2 L M T = L 5 T − 5 M 5 L− 5 L 5 M T − L: 0 = a5 − 3 b5 + c5

π5 :

M : 0 = b 5 +1 T : 0 = − a5 − 2 de donde: a5 = −2 ; b5 = −1 ; c5 = −1

π5 =

y

v2 ⋅ ρ ⋅ L σ = = We = N° Weber 2 σ v ⋅ ρ⋅ L

Como la fuerza de arrastre está en el parámetro π1 se establece la expresión:

π1 = f (π 2 ,π 3 , π 4 , π 5 ) ⎛ ⎞ ⎜ v ⋅l Fd v v v 2 ⋅l ⋅ ρ ⎟ , , , = f⎜ υ σ ⎟⎟ v2 2 g ⋅l E ⎜ ⋅ ⋅ ρ l ρ ⎝ ⎠ 2 2 v Fd = ρ ⋅ ⋅ l 2 ⋅ f ( Re , FR ,M ,We ) 2 Significado de los parámetros adimensionales usados en Mecánica de Fluidos Número de Euler

Eu =

Δp 2 v ρ⋅ 2

Número de Reynolds

Re =

ρ ⋅ v ⋅l μ

Número de Froude

FR =

v g ⋅l

M =

v

Número de Mach

Número de Weber

We =

Número de Strouhal

St =

E

ρ

ρ ⋅ v2 ⋅ l σ

l⋅ω v

Relaciona fuerzas de presión estática con fuerzas de presión dinámica Relaciona fuerzas de inercia con fuerzas viscosas, utilizado en flujos cerrados (cañerías) y flujos de capa límite Relaciona Fuerzas de inercia con fuerzas gravitacionales, utilizada en escurrimientos abiertos. Relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas elásticas, utilizada en escurrimientos compresibles con M > 0.3 Relaciona las de inercia con las de tensión superficial, utilizadas en flujo a través de capilares. Relaciona fuerza centrífuga con fuerza de inercia, utilizada en flujos con componente inercial que se repite periódicamente.

Número de Mach para gases ideales. Para gases ideales se pude demostrar que E

ρ = k ⋅ R p ⋅T = velocidad del sonido =c

Reinaldo Sánchez A.

luego, M =

v c

73 De acuerdo a lo anterior es posible establecer que: -

Para un escurrimiento incompresible de un fluido viscoso, en régimen permanente, que desarrolla capas límites la ecuación final para calcular la fuerza de arrastre dependerá sólo del Número de Reynolds. Fd = ρ ⋅

v2 2 v2 2 ⋅ l ⋅ f ( Re ) = Cd ⋅ ρ ⋅ ⋅ l 2 2

donde

Cd = f ( Re )

Donde, para una figura geométrica dada, esfera, perfil NACA, u otro, instalado en un túnel de viento, se mide la velocidad del viento, su temperatura y presión, para determinar la densidad, además de la fuerza de arrastre mediante un dinamómetro y se calcula el coeficiente de arrastre luego se grafica, Fd versus Re para la figura especificada.

Semejanza. En la hidráulica moderna y en general cuando se quiere desarrollar un equipo nuevo en que su construcción es de alto costo y con resultado incierto, se recurre a lo que se denomina un modelo, en el cual se reproduce exactamente en escala las características del prototipo.

Para que exista similitud y los resultados del modelo puedan ser aplicado y traspasados al prototipo, es necesario que se cumplan ciertas leyes de semejanza, esto es: Semejanza geométrica. Esto significa que la razón de cualquier dimensión entre el modelo y el prototipo debe ser constante. Pero esto no es suficiente y no es un indicativo que los flujos son mecánicamente semejantes. Semejanza Dinámica. Se requiere que las fuerzas que actúan sobre las masas del flujo modelo y el flujo prototipo deben mantener la misma proporción en todos los puntos del campo de flujo.

Supongamos que están presentes fuerzas de presión, inerciales, viscosas y de gravedad; entonces, la similitud dinámica exige que, en puntos correspondientes de los campos de flujo,

( FI )m (Fp )m (F μ )m (Fg )m = = = ( FI ) p ( Fp ) p ( F μ ) p (Fg )p

Reinaldo Sánchez A.

= cte

74 Estas pueden reacomodarse, ⎛ FI ⎞ ⎛ FI ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ Fp ⎠ m ⎝ Fp ⎠ p

⎛ FI ⎞ ⎛ FI ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ Fμ ⎠ m ⎝ Fμ ⎠ p

⎛ FI ⎞ ⎛ FI ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Fg ⎠ m ⎝ Fg ⎠ p

Lo que es equivalente a las siguientes expresiones Eu m = E u p

Re m = R e p

FR m = F R p

Ejemplo. Se realizará una prueba con un diseño de propulsor propuesto de una bomba grande que debe suministrar 1.5 m3/s de agua con un impulsor de 40 cm de diámetro que tiene un aumento de presión de 400 kPa. Se usará un modelo con un impulsor de 8 cm de diámetro. Determine:

Flujo que debe utilizarse en el modelo y su presión de trabajo para que exista semejanza. El fluido es agua y la temperatura del agua entre el prototipo y el modelo es la misma. Solución. Para que exista semejanza en este problema de flujo con contorno cerrado, los números de Reynolds del modelo y del prototipo deben ser iguales.

Rem = R e p vm ⋅ lm

υm

=

v p⋅ l p

vm dm 40 = = =5 vp d p 8

υp

2 V&m vm ⋅ dm2 ⎛1⎞ 1 5 = = ⋅ ⎜ ⎟ = V&p vp ⋅ dp2 ⎝5 ⎠ 5

Luego, V&m =

V&p 5

=

1.5 =0.3 5

(m s ) 3

El aumento de presión adimensional está representado por el número de Euler ⎛ Δp ⎞ ⎛ Δp ⎞ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎝ ρ ⋅ v ⎠m ⎝ ρ ⋅ v ⎠p Luego, el aumento de presión para el modelo es, Δpm = Δp p ⋅

vm2 =400 ⋅5 2 =10000 v 2p

(kPa )

Ejemplo. Se emplea un modelo a escala 1:20 de una embarcación de superficie para probar la influencia de un modelo propuesto sobre el arrastre de las olas. Se mide un arrastre de 24 N cuando el modelo tiene una velocidad de 2.6 m/s. ¿Cuál debe ser la velocidad del prototipo y qué arrastre se debe existir sobre el prototipo para que exista semejanza?. Suponga las mismas propiedades físicas de agua para ambos elementos.

Reinaldo Sánchez A.

75

Solución. Como se trata de un sistema abierto se debe establecer semejanza a través del Número de Froude. F Rm = F R p lp

v p = vm ⋅

lm

vp

vm = g ⋅ lm

⇒

g ⋅ lp

= 2.6 ⋅ 20 =11.63

( ms )

Para obtener el arrastre de las olas sobre el prototipo, se igualan las fuerzas de arrastre.

( FD ) m = ρm ⋅vm2 ⋅lm2 ( FD ) p ρ p ⋅v p2 ⋅l p2 ( F D ) p = (F D ) m ⋅

v 2p ⋅ l p2

2

⎛11.63 ⎞ 2 = 24⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 20 = 192.000 (N 2 2 vm ⋅lm 2.6 ⎝ ⎠

)

Ejemplo. El aumento de presión desde la corriente libre hasta la nariz de una sección de fuselaje de un avión, medida en un túnel de viento a 20°C, es de 34 kPa con una velocidad de aire en el túnel de 900 km/h. Si la prueba pretende simular el vuelo a una altitud de 12 km, calcule la velocidad del prototipo y el aumento esperado de la presión en la nariz. Solución. Para obtener la velocidad del prototipo que corresponde a una velocidad del aire en el túnel de viento de 900 km/h, igualamos los números de Mach. La atmósfera estándar a 12 km de alto o 12.000 m, presenta las siguientes condiciones: T p = 216.7 [ K ] , M m =M

p = 19.4

p

y

ρ p = 0.312 ⎡ kg ⎣⎢

⎤ 3 m ⎦⎥

vp vm = k ⋅ R ⋅T m k ⋅ R ⋅T p

ó

v p =v p ⋅

Entonces,

[ kPa]

k ⋅ R ⋅ Tp

=900 ⋅

k ⋅ R ⋅ Tm

216.7 = 774 293

⎡ km ⎤ ⎣ h⎦

La presión en la nariz del fuselaje del prototipo se determina a partir del Número de Euler.

Δ pp Δpm 2 = ρm ⋅vm ρ p ⋅v p2 Δ p p = Δ pm ⋅

ρ p v 2p ⋅ ρm vm2

ρm = 2

Δp p = 34 ⋅

Reinaldo Sánchez A.

0.312 ⎛ 774 ⎞ ⋅⎜ ⎟ = 6.51 1.205 ⎝ 900 ⎠

101.3 p atm = =1.205 R p ⋅Ta .287 ⋅ 293

[kPa ]

⎡kg ⎤ 3 ⎣⎢ m ⎦⎥...