TEMA 1 Analisis Dimensional PDF

Preview

Summary

Download TEMA 1 Analisis Dimensional PDF

Description

CAPÍTULO

7

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO

E

n este capítulo se estudian primero los conceptos de dimensiones y unidades. Luego se estudia el principio fundamental de la homogeneidad dimensional y se mostrará cómo se aplica a las ecuaciones con la finalidad de presentarlas sin dimensiones e identificar grupos adimensionales. Se analiza el concepto de similitud entre un modelo y un prototipo. También se describe una poderosa herramienta para ingenieros y científicos llamada análisis dimensional, en la que la combinación de variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales en parámetros sin dimensiones reduce el número de parámetros independientes necesarios en un problema. Se presenta un método paso a paso para obtener dichos parámetros adimensionales, llamado método de variables repetitivas, que se basa exclusivamente en las dimensiones de las variables y constantes. Finalmente, esta técnica se aplica a varios problemas prácticos para ilustrar su utilidad y sus limitaciones.

OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

Desarrollar una mejor comprensión de las dimensiones, unidades y homogeneidad dimensional de las ecuaciones.

■

Comprender los numerosos beneficios del análisis dimensional. Saber usar el método de variables repetitivas para identificar parámetros adimensionales.

■

■

Entender el concepto de similitud dinámica y cómo aplicarla al modelado experimental.

269

270 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO

7-1

Longitud 3.2 cm

cm

1

2

3

FIGURA 7-1 Una dimensión es una medida de una cantidad física sin valores numéricos, mientras que una unidad es una manera de asignar un número a la dimensión. Por ejemplo, la longitud es una dimensión, pero el centímetro es una unidad.

■

DIMENSIONES Y UNIDADES

Una dimensión es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos), mientras que una unidad es una manera de asignar un número a dicha dimensión. Por ejemplo, la longitud es una dimensión que se mide en unidades como micrones (mm), pie (ft), centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etcétera (Fig. 7-1). Existen siete dimensiones primarias (también llamadas dimensiones fundamentales o básicas): masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. Todas las dimensiones no-primarias se pueden formar por cierta combinación de las siete dimensiones primarias.

Por ejemplo, la fuerza tiene las mismas dimensiones que masa por aceleración (por la segunda Ley de Newton). En consecuencia, en términos de dimensiones primarias: Dimensiones de fuerza: {Fuerza} ⫽ eMasa

Longitud f ⫽ {mL/t2} Tiempo2

(7-1)

donde los corchetes indican “las dimensiones de” y las abreviaturas se toman de la Tabla 7-1. Debe considerarse que algunos autores prefieren fuer-za en vez de masa como dimensión primaria; en la presente obra no se sigue dicha práctica. TABLA 7- 1 Dimensiones primarias y sus unidades SI e inglesas primarias equivalentes Dimensión

Símbolo*

Masa Longitud Tiempo† Temperatura Corriente eléctrica Cantidad de luz Cantidad de materia

m L t T I C N

Unidad SI

Unidad inglesa

kg ( kilogramo) m ( metro) s ( segundo) K (kelvin) A (ampere) cd (candela) mol (mole)

lbm (libra-masa) ft (pie) s (segundo) R (rankine) A (ampere) cd (candela) mol (mole)

* Para las variables, los símbolos están en cursiva, pero no así para las dimensiones. † Note que algunos autores usan el símbolo T para la dimensión tiempo y el símbolo u para la dimensión temperatura. En este texto no se sigue este sistema para evitar confusión entre tiempo y temperatura.

EJEMPLO 7-1

Dimensiones primarias de tensión superficial

Un ingeniero estudia cómo algunos insectos pueden caminar en el agua (Fig. 72). Una importante propiedad de los fluidos en este problema es la tensión superficial (ss), que tiene dimensiones de fuerza por unidad de longitud. Escriba las dimensiones de la tensión superficial en términos de dimensiones primarias.

SOLUCIÓN Se deben determinar las dimensiones primarias de la tensión superficial. Análisis A partir de la ecuación 7-1, la fuerza tiene dimensiones de masa por aceleración, o {mL/t2}. En consecuencia: FIGURA 7-2 La chinche de agua puede caminar sobre el agua debido a la tensión superficial. © Dennis Drenner/Visuals Unlimited.

m ⭈ L/t2 Fuerza f⫽e Dimensiones de tensión superficial: {ss} ⫽ e f ⫽ {m/t2} (1) Longitud L Discusión La utilidad de expresar las dimensiones de una variable o constante en términos de dimensiones primarias se volverá más clara en el análisis del método de repetición de variables en la Sección 7-4.

271 CAPÍTULO 7

7-2

■

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Todos hemos escuchado el viejo refrán: “No puedes sumar manzanas con naranjas” (Fig. 7-3). En realidad ésta es una expresión simplificada de una ley matemática más global y fundamental para ecuaciones, la Ley de homogeneidad dimensional, que se enuncia como: Todo término aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones.

+

+

=?

FIGURA 7-3 ¡No se puede sumar manzanas con naranjas!

Considere, por ejemplo, el cambio en energía total de un sistema cerrado compresible simple de un estado y/o tiempo (1) a otro (2), como se ilustra en la figura 7-4. El cambio en energía total del sistema (⌬E) está dado por: Sistema en el estado 2

Cambio de energía total de un sistema:

⌬E ⫽ ⌬U ⫹ ⌬EC ⫹ ⌬EP

(7-2)

donde E tiene tres componentes: energía interna (U), energía cinética (EC) y energía potencial (EP). Dichos componentes se pueden escribir en términos de la masa del sistema (m); las cantidades mensurables y las propiedades termodinámicas en cada uno de los dos estados, como la velocidad (V), elevación (z) y la energía interna específica (u), y la conocida constante de aceleración gravitacional (g): ⌬U ⫽ m(u 2 ⫺ u 1)

1 ⌬EC ⫽ m(V 22 ⫺ V 21) 2

⌬EP ⫽ mg(z 2 ⫺ z 1)

{⌬U} ⫽ eMasa

Energía f ⫽ {Ener gía} Masa

{⌬EC} ⫽ eMasa

Longitud2

{⌬EP} ⫽ eMasa

Longitud

Tiempo2

Tiempo2

f

Longitud f

→

→

Sistema en el estado 1 E1 = U1 + EC1 + EP1

(7-3)

Es sencillo verificar que el lado izquierdo de la ecuación 7-2 y los tres términos aditivos en el lado derecho de la ecuación 7-2 tienen las mismas dimensiones: las de energía. Cuando se usan las definiciones de la ecuación 7-3, se escriben las dimensiones primarias de cada término, {⌬E} ⫽ {Ener gía}⫽ {Fuerza ⭈ Longitud}

E2 = U2 + EC2 + EP2

FIGURA 7-4 Energía total de un sistema en el estado 1 y en el estado 2.

{⌬E} ⫽ {mL2/t2} {⌬U} ⫽ {mL2/t2}

{⌬EC} ⫽ {mL2/t2}

→

→

{⌬EP} ⫽ {mL2/t2}

Si en alguna etapa de un análisis se encuentra uno mismo en una situación en la que dos términos aditivos en una ecuación tienen diferentes dimensiones, esto sería una clara indicación de que se ha cometido un error en alguna etapa anterior de éste (Fig. 7-5). Además de homogeneidad dimensional, los cálculos son válidos sólo cuando las unidades también son homogéneas en cada término aditivo. Por ejemplo, las unidades de energía en los términos anteriores pueden ser J, N · m o kg · m2/s2, todos los cuales son equivalentes. Sin embargo, suponga que se usaron kJ en lugar de J para uno de los términos. Este término estaría desfasado por un factor de 1 000 en comparación con los otros términos. Es aconsejable escribir todas las unidades cuando se realicen cálculos matemáticos con la finalidad de evitar tales errores.

FIGURA 7-5 Una ecuación que no es dimensionalmente homogénea es un signo seguro de un error.

272 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO

EJEMPLO 7-2 ía n del d Ecuació rnoull n de B e

i

ció La ecua 1 V2 ⫹ rg z = C P ⫹ 2r

Homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli

Quizá la ecuación mejor conocida (y más mal interpretada) en la mecánica de fluidos es la ecuación de Bernoulli (Fig. 7-6), que se analizó en el capítulo 5. La forma estándar de la ecuación de Bernoulli para flujo de fluido irrotacional incompresible es:

Ecuación de Bernoulli:

1 P ⫹ rV 2 ⫹ rgz ⫽ C 2

(1)

a) Verifique que cada término aditivo en la ecuación de Bernoulli tiene las mismas dimensiones. b) ¿Cuáles son las dimensiones de la constante C?

FIGURA 7-6 La ecuación de Bernoulli es un ejemplo adecuado de una ecuación dimensionalmente homogénea. Todos los términos aditivos, inclusive la constante, tienen las mismas dimensiones, a saber las de presión. En términos de dimensiones primarias, cada término tiene dimensiones {m/(t2L)}.

SOLUCIÓN Se quiere verificar que las dimensiones primarias de cada término aditivo en la ecuación 1 sean las mismas, y también determinar las dimensiones de la constante C. Análisis a) Cada elemento se escribe en términos de dimensiones primarias,

{P} ⫽ {Presión} ⫽ e

Longitud m Fuerza 1 f ⫽ e2 f f ⫽ eMasa Área tL Tiempo2 Longitud2

Masa ⫻ Longitud2 Longitud 2 m Masa 1 b f⫽e a f⫽e2 f e rV 2f ⫽ e Volumen Tiempo 2 Longitud3 ⫻ Tiempo2 tL {rgz} ⫽ e

Masa ⫻ Longitud2 Masa Longitud m Longitudf ⫽ e f ⫽ e2 f 2 tL Volumen Tiempo Longitud3 ⫻ Tiempo2

De hecho, los tres términos aditivos tienen las mismas dimensiones. b) A partir de la Ley de homogeneidad dimensional, la constante debe tener las mismas dimensiones que los otros términos aditivos en la ecuación. Por lo tanto:

Dimensiones primarias de la constante de Bernoulli:

Ecuación adimensional de Bernoulli

m {C} ⫽ e 2 f tL

Discusión Si las dimensiones de cualquiera de los términos fuesen diferentes de las otras, ello indicaría que se cometió un error en alguna parte del análisis.

P rV2 rgz C + + = P⬁ 2P⬁ P⬁ P⬁ {1}

{1}

{1}

{1}

Eliminación de dimensiones de las ecuaciones La Ley de homogeneidad dimensional garantiza que todo término aditivo en la ecuación tiene las mismas dimensiones. En consecuencia, si cada término en la ecuación se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga estas mismas dimensiones, la ecuación queda sin dimensiones (Fig. 7-7). Si, además, los términos adimensionales en la ecuación son de orden de magnitud de uno, la ecuación se llama normalizada. Por lo tanto, la normalización es más restrictiva que la adimensionalización, aun cuando los dos términos en ocasiones se usen (erróneamente) de manera intercambiable.

FIGURA 7-7 Una forma adimensional de la ecuación de Bernoulli se construye cuando se divide cada término aditivo entre una presión (aquí se usó P⬁). Cada término resultante es sin dimensiones (dimensiones de {1}).

Cada término en una ecuación sin dimensiones es adimensional.

En el proceso de adimensionalidad en una ecuación de movimiento, con frecuencia aparecen parámetros adimensionales, la mayoría de los cuales reciben su nombre en honor a un científico o ingeniero notable (por ejemplo, el número de Reynolds y el número de Froude). A este proceso algunos autores lo llaman análisis por inspección.

273 CAPÍTULO 7

Como simple ejemplo, considere la ecuación de movimiento que describe la elevación z de un objeto que cae por la gravedad a través de un vacío (no hay resistencia del aire), como se muestra en la figura 7-8. La ubicación inicial del objeto es z0 y su velocidad inicial es w0 en la dirección z. De la física de bachillerato: Ecuación de movimiento:

d 2z ⫽ ⫺g dt 2

w = componente de velocidad en la dirección z

z = distancia vertical

(7-4)

Las variables dimensionales se definen como cantidades dimensionales que cambian o varían en el problema. Para la simple ecuación diferencial dada en la ecuación 7-4, existen dos variables dimensionales: z (dimensión de longitud) y t (dimensión de tiempo). Las variables adimensionales (o sin dimensión) se definen como cantidades que cambian o varían en el problema, pero que no tienen dimensiones; un ejemplo es el ángulo de rotación, que se mide en grados o radianes, que son unidades adimensionales. La constante gravitacional g, aunque dimensional, permanece constante y se llama constante dimensional. Dos constantes dimensionales adicionales son relevantes para este problema específico, la posición inicial z0 y la velocidad vertical inicial w0. Aunque las constantes dimensionales pueden cambiar de problema a problema son fijas para un problema determinado y por lo tanto, se distinguen de las variables dimensionales. El término parámetros se usa para el conjunto combinado de variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales en el problema. La ecuación 7-4 se resuelve fácilmente al integrar dos veces y aplicar las condiciones iniciales. El resultado es una expresión para la elevación z en cualquier tiempo t: Resultado dimensional:

1 z ⫽ z 0 ⫹ w0 t ⫺ gt 2 2

g = aceleración gravitacional en la dirección z negativa

FIGURA 7-8 Objeto que cae en el vacío. La velocidad vertical se dibuja positivamente, de modo que w ⬍ 0 para un objeto que cae.

(7-5)

La constante 12 y el exponente 2 en la ecuación 7-5 son resultados adimensionales de la integración. A tales constantes se les llama constantes puras. Otros ejemplos comunes de constantes puras son p y e. Para eliminar las dimensiones de la ecuación 7-4 es necesario seleccionar parámetros de escalamiento con base en las dimensiones primarias contenidas en la ecuación original. En problemas de flujo de fluidos usualmente existen por lo menos tres parámetros de escalamiento, por ejemplo: L, V y P0 ⫺ P⬁ (Fig. 7-9), dado que existen al menos tres dimensiones primarias en el problema general (por ejemplo, masa, longitud y tiempo). En el caso del objeto en caída que se analiza aquí, sólo existen dos dimensiones primarias, longitud y tiempo y por lo tanto, se está limitado a seleccionar sólo dos parámetros de escalamiento. Existen algunas opciones en la selección de los parámetros de escalamiento porque se tienen tres constantes dimensionales disponibles: g, z0 y w0. Se eligen z0 y w0. Se le recomienda repetir el análisis con g y z0 y/o con g y w0. Con estos dos parámetros de escalamiento elegidos se eliminan las dimensiones de las variables dimensionales z y t. El primer paso es hacer una lista de las dimensiones primarias de todas las variables dimensionales y constantes dimensionales en el problema:

V, P⬁

P0

L

FIGURA 7-9 En un problema típico de flujo de Dimensiones primarias de todos los parámetros: fluido, los parámetros de escalamiento 2 usualmente incluyen una longitud {z} ⫽ {L} {t} ⫽ {t} {z 0} ⫽ {L} {w0} ⫽ {L/t} {g} ⫽ {L/t } característica L, una velocidad El segundo paso es usar los dos parámetros de escalamiento para eliminar las dicaracterística V y una diferencia de presión de referencia P0 ⫺ P⬁. En el mensiones z y t (por inspección) y convertirlas en variables adimensionales z* problema también entran otros y t*: parámetros y propiedades del fluido w0t z como densidad, viscosidad y t* ⫽ Variables adimensionales: z* ⫽ (7-6) z0 z0 aceleración gravitacional.

274 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO

Cuando se sustituye la ecuación 7-6 en la ecuación 7-4 se produce:

Compuerta

d 2(z 0z*) w02 d 2z* d 2z ⫽ ⫺g 2 ⫽ 2⫽ z 0 dt*2 dt d(z 0t*/w0)

V1 y1 y2

V2

FIGURA 7-10 El número de Froude es importante en flujos de superficie libre tales como el flujo en canales abiertos. Aquí se muestra el flujo a través de una compuerta. El número de Froude corriente arriba de la compuerta es Fr1 ⫽ V1/1gy 1 , y es Fr2 ⫽ V2/1gy 2 corriente abajo de la compuerta.

→

w02 d 2z* ⫽ ⫺1 gz 0 dt*2

(7-7)

que es la ecuación adimensional deseada. El agrupamiento de las constantes dimensionales de la ecuación 7-7 es el cuadrado de un conocido parámetro o grupo adimensional llamado número de Froude: Número de Froude:

Fr ⫽

w0

(7-8)

2gz 0

El número de Froude también aparece como un parámetro adimensional en flujos de superficie libre (capítulo 13) y se puede considerar como la razón de la fuerza inercial a la fuerza gravitacional (Fig. 7-10). El lector debe notar que, en algunos libros de texto antiguos, Fr se define como el cuadrado del parámetro que se muestra en la ecuación 7-8. La sustitución de la ecuación 7-8 en la ecuación 7-7 produce: Ecuación de movimiento adimensional:

d 2z* 1 ⫽⫺ 2 dt*2 Fr

(7-9)

En forma sin dimensión, sólo permanece un parámetro a saber, el número de Froude. La ecuación 7-9 se resuelve fácilmente al integrar dos veces y aplicar las condiciones iniciales. El resultado es una expresión para la elevación sin dimensión z* en cualquier tiempo sin dimensión t*: Resultado adimensional:

Se identifican las relaciones entre los parámetros clave en el problema

El número de parámetros en una ecuación adimensional es menor que el número de parámetros en la ecuación original

FIGURA 7-11 Las dos ventajas clave de la eliminación de dimensiones de una ecuación.

z* ⫽ 1 ⫹ t* ⫺

1 2Fr 2

t*2

(7-10)

La comparación de las ecuaciones 7-5 y 7-10 revela que son equivalentes. De hecho, para la práctica, sustituya las ecuaciones 7-6 y 7-8 en la ecuación 7-5 para verificar la ecuación 7-10. Pareciera que se pasó a través de mucha álgebra adicional para generar el mismo resultado final. ¿Entonces cuál es la ventaja de eliminar las dimensiones de la ecuación? Antes de contestar esta pregunta, note que las ventajas no son tan claras en este simple ejemplo porque hubo posibilidad de integrar analíticamente la ecuación diferencial de movimiento. En problemas más complicados, la ecuación diferencial (o, más generalmente, el conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales) no se puede integrar de modo analítico y los ingenieros deben integrar las ecuaciones numéricamente o diseñar y realizar experimentos físicos para obtener los resultados necesarios, y ambos pueden tomar considerable tiempo y recursos económicos. En tales casos, los parámetros adimensionales que se generan cuando se eliminan las dimensiones de las ecuaciones son extremadamente útiles y pueden ahorrar mucho esfuerzo y gastos a largo plazo. Existen dos ventajas clave de la eliminación de dimensiones (Fig. 7-11). Primera, aumenta la comprensión acerca de las relaciones entre los parámetros clave. Por ejemplo, la ecuación 7-8 revela que, el duplicar w0 tiene el mismo efecto que disminuir z0 por un factor de 4. Segunda, reduce el número de parámetros en el problema. Por ejemplo, el problema original contiene una variable dependiente z, una variable independiente t, y tres constantes dimensionales adicionales: g, w0 y z0. El problema adimensional contiene un parámetro dependiente z*, un parámetro independiente t*, y sólo un parámetro adicional a saber, el número de Froude adimensional Fr. ¡El número de parámetros adicionales se redujo de tres a uno! El ejemplo 7-3 ilustra aún más las ventajas de la eliminación de dimensiones.

275 CAPÍTULO 7

EJEMPLO 7-3

16

Ilustración de las ventajas de la eliminación de dimensiones

En la clase de física de bachillerato de su herma...