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Análisis dimensional de magnitudes físicas....

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia cómo es que se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales, se debe tener en cuenta que la palabra “dimensión” denota la naturaleza física de una determinada magnitud, independientemente del sistema de unidades de medidas que se utilicen para expresar la dimensión de la magnitud. MAGNITUD

UNIDADES DE MEDIDA

DIMENSION

volumen longitud masa

m3, l, galón, barril. m, yd, milla, nudo. Kg, lb, tn, arrona.

L3 L M

Podemos apreciar que toda magnitud está asociada a una o más dimensiones físicas:  Las magnitudes fundamentales están relacionadas a una dimensión física.  Las magnitudes derivadas se relacionan con más de una dimensión física, esto debido a que resultan de la combinación de las magnitudes fundamentales lo que implica una relación con las dimensiones de las magnitudes fundamentales que lo componen. Tomemos como ejemplo la aceleración: Dimension aceleracion =

dimension longitud 2 (dimension tiempo)

=

L T2

IMPORTANCIA DEL ANALISIS DIMENSIONAL I.

Permite expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales. Mediante esta herramienta podemos verificar la autenticidad de las formulas físicas. Podemos deducir formulas físicas a partir de datos experimentales.

II. III.

ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas, en las cuales se relacionan las magnitudes derivadas con las magnitudes fundamentales a través de la igualdad. Para poder operarlas utilizaremos reglas básicas del algebra exceptuando la de la suma y resta. Las magnitudes se expresaran en funciones de sus dimensiones y no de sus unidades de medida. La denotación dimensional de una magnitud se da entre corchetes, mientras que la representación de las dimensiones componentes de la magnitud es en letra mayúscula:

[ a]=L T −2 , [ a] Se lee: dimensión de “a”. Dónde: 

“a”: aceleración.

 

“L”: dimensión de la longitud. “T”: dimensión del tiempo.

OBSERVACION: aunque para las expresiones matemáticas relacionadas al análisis

dimensional se define la operación división, es preferible no representar las dimensiones en fracciones, para ello se utilizara la teoría de exponentes.

[ a] =

L (NO) T2

[ a] =L T −2 (SI)

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD O PRINCIPIO DE FOURIER Dada una ecuación en la cual se representen magnitudes físicas, todos los miembros que componen la igualdad necesariamente deben presentar las mismas dimensiones, en otras palabras deben ser dimensionalmente homogéneos. Si A, B, C, D representan magnitudes físicas se cumple: A ± B =C ± D ↔ [ A ]= [B ]= [ C ]= [ D ] Esto quiere decir que las operaciones de suma, resta e igualdad se definen en el análisis dimensional siempre y cuando se de en magnitudes de igual dimensión y lo podemos comprobar a través de un contraejemplo: 

Dada las magnitudes A, B, C, D cuyas dimensiones son:  [ A ] =¿ LT-2  [ B ] =¿−1  [ C] =¿−1 

[ D ]=¿−1

Compruebe si la ecuación física:

B=C+ D− A es coherente.

SOLUCION 1. Aplicaremos el principio de homogeneidad a la ecuación dada. [ B ]= [C ]= [ D ]= [ A ] −1 −1 −1 −2 ……(α) ¿ =¿ =¿ ≠ ¿ 2. En (α) observamos que no se cumple el principio de homogeneidad, ¿Por qué? Si nosotros tenemos la magnitud podemos expresarlo dimensionalmente, bueno pues ahora utilicemos en proceso inverso, dadas las expresiones dimensionales averiguar de qué magnitud se trata:  Si [ A ] =¿ LT-2 , entonces “A” es aceleración.  Si [ B ]=¿−1 , entonces “B” es rapidez.  Si [ C]=¿−1 , entonces “C” es rapidez.  Si [ D ]=¿−1 , entonces “D” es rapidez. 3. Retornemos a la ecuación pero en función de sus magnitudes: B=C+ D− A Rapidez = rapidez + rapidez – aceleración

Analizando la ecuación decimos que no es posible realizar la operación matemática “resta” entre la magnitud rapidez y aceleración, puesto que poseen una naturaleza física distinta. Del ejemplo anterior podemos comprobar la veracidad del principio de homogeneidad. EXPRECIONES ADIMENSIONALES Todo escalar (numero) y cualquier otra expresión que resulte ser un escalar son adimensionales, es decir no tienen una dimensión definida.    

[ 12788]=1 [ cos 2 π ]=1

[ log2 4 ]=1 [ e n ]=¿ 1 [ e n ]=¿

1, en expresión citada se observa que la dimensión de un número es otro número, esta afirmación es falsa, puesto que definir la dimensión de un numero con “1” solo es una convención basada en su característica: “el uno en el único elemento neutro en la multiplicación”, lo que se expresa en:

OBSERVACION:

[ A cos 2 π ]= [ A ] . [ cos 2 π ]= [ A ].1= [ A ] PROPIEDADES Para la correcta operación de las dimensiones en las ecuaciones dimensionales se deben tomar reglas básicas:  

[ ABC ]= [ A ] [ B ][ C ] A [ A] = B [B ]

[ ]

Tanto en la multiplicación como en la división las dimensiones de las magnitudes dadas son operables.

[ a] =

[d ] = LT −2 , donde: 2 [t ]

 a: aceleración  d: distancia  t: tiempo 

[ m A n] =[ A ]n

, ∀ m, n ∈ R

La propiedad demuestra que la dimensión de cualquier magnitud multiplicada por un número es igual a la su dimensión puesto que los escalares son expresiones adimensionales, además podemos observar [ A n ] =[ A n] , dado que “n” solo expresa las veces que se posee las dimensión de la magnitud “A”.

FORMULAS DIMENSIONALES Como utilizaremos magnitudes de naturaleza física, es de mucha utilidad tener en conocimiento su expresión dimensional, esto será posible analizando dicha magnitud con relación a sus magnitudes componentes, luego utilizaremos las propiedades dadas para obtener su formulas dimensionales. A continuación presentaremos algunas fórmulas dimensionales deducidas: 1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES

MAGNITUD Tiempo Longitud Masa Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad de corriente eléctrica Intensidad luminosa

UNIDAD DE MEDIDA (S.I.) s m kg k mol

DIMENSION

A

I

cd

J

UNIDAD DE MEDIDA (S.I.) ms-1 ms-2 m3 m2 kg m2s-2 kg ms-2 s-1 kg m2s-2 kg m2s-3 kg m2s-2 kg m-3 kg m-1s-2 kg m-1s-1

DIMENSION

T L M Ө N

2. MAGNITUDES DERIVADAS

MAGNITUD Rapidez Aceleración Volumen Área Torque o momento Fuerza Periodo Trabajo Potencia Energía Densidad Presión Viscosidad

LT-1 LT-2 L3 L2 ML2T-2 MLT-2 T-1 ML2T-2 ML2T-3 ML2T-2 M L-3 ML-1T-2 ML-1T-1

OBSERVACION: Al comparar las dimensiones de la magnitud trabajo y torque, vemos que resultan ser iguales: ML2T-2, eso no implica que dichas magnitudes sean iguales puesto que presentan aspectos diferentes.

BIBLIOGRAFIA   

MENDOZA DUEÑAS, Jorge, (2002) Física . Octava edición LEYVA NAVEROS, Humberto y LEYVA RIVERA, Tania, (2018) Física I. Editorial Moshera S. R. L. RAYMOND A. SERWAY y JHON W. JEWETT Física para ciencias e ingenierías volumen 1 Novena edición. Editorial Interamericana de México ....