II.1. Analisis Dimensional 0809 PDF

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II.1. Análisis Dimensional

UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Industriales

Curso 2008-2009

Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL.

Túnel de viento de “Renault F1 Team” en ENSTONE (UK). Modelo a escala 1:2

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón diciembre 2008 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08

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II.1. Análisis Dimensional

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL. 1.1. Homogeneidad dimensional. 1.2. Teorema de BUCKINGHAM. 1.3. Grupos adimensionales. 1.4. Números de Reynolds, Euler, Mach y Froude. 1.5. Teoría de modelos. 1.6. Problemas resueltos. El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas... Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo. 1.1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T(tiempo) y θ (temperatura): magnitud Longitud (l) Superficie (A) Volumen (V) Momento de inercia (I) Velocidad (v) Aceleración (a) Velocidad angular (ω) Aceleración angular (α) Densidad (ρ) Caudal volumétrico (Q) Caudal másico ( m& )

dimensiones [l] = L [A] = L2 [V] = L3 [I] = L4 [v] = L T-1 [a] = L T-2 [ω] = T-1 [α] = T-2 [ρ] = M L-3 [Q] = L3 T-1 [ m& ] = M T-1

magnitud Gravedad (g) Fuerza (F) Presión (p), tensión (τ) Energía (E), Entalpía (H) Entropía (S) Calor específico (c) Conductividad térmica (κ) Viscosidad absoluta (μ) Viscosidad dinámica (ν) Tensión superficial (s) Compresibilidad (K)

dimensiones [g] = L T-2 [F] = M L T-2 [p], [τ] = M L-1 T-2 [E] = M L2 T-2 [S] = M L2 T-2 θ-1 [c] = L2 T-2 ฀-1 [κ] = M L T-3 θ -1 [μ] = M L-1 T-1 [ν] = L2 T-1 [σ] = M T-2 [K] = M L-1 T2

3.2. TEOREMA “Π Π” DE BUCKINGHAM. El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en “n-m” grupos adimensionales independientes. Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08

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II.1. Análisis Dimensional

El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de “m” de las “n” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las “m” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n-m” grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica: j= n

Gi = Vi ⋅

a ij

∏ Vj

i = 1,..., m − n

j = m − n +1

(1.)

A los grupos adimensionales , se les suele denominar parámetros adimensionales Pi de BUCKINGHAM, al ser su expresión un productorio adimensional (símbolo de productorio = Π). Los exponentes “aij” se determinan por la condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T,ϑ,..., se igualan a cero (adimensionalidad del parámetro). Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (μ), la densidad del fluido (ρ), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud característica del objeto (L): FD = FD(μ,ρ,v,L) Las cinco variables: FD, μ, ρ,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema de BUCKINGAM se tendrán 5-3=2 grupos adimensionales. Siguiendo las siguientes reglas: -

Las variables repetitivas (exponentes iníciales distintos de 1) deben aportar todas las dimensiones. Las variables no repetitivas (exponentes iguales a 1), son las inherentes al problema1.

Las variables inherentes son la fuerza de arrastre (FD) y la viscosidad (m), y el resto (longitud, velocidad y densidad) son las repetitivas. Con lo que se tienen los siguientes grupos adimensionales: G1 = FD La vb ρc G2 = μ Ld ve ρf Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensiónales: [G1] = [FD] [La] [Vb] [ρc]

M0 L0 T0 = (MLT-2 )(L)a(LT-1)b(ML-3)c = M1+c L1+a+b-3c T-2-b Exponentes de masa (M) : 0=1+c Exponentes de longitud (L) : 0 = 1+a+b-3c Exponentes de tiempo (T) : 0 = -2-b Resultados: a = -2; b = -2; c = -1

Con lo que el grupo adimensional G1 es: G1 = FD L-2 v -2 ρ-1 =

FD ; que da lugar al denominado 2 2

L v ρ coeficiente de arrastre CD; en donde se introduce el factor (1/2) para tener la presión dinámica, y en vez del término L2, se tiene una superficie característica2 (A) FD CD = 1 ρv 2 A 2 (2.)

De forma análoga se obtiene el segundo parámetro adimensional: G2=μL-1v-1ρ-1; que da lugar al número de REYNOLDS Re: v Lρ Re = μ (3.) Con lo que se puede pasar de la ecuación dimensional de la fuerza de arraste dependiendo de 4 variables: FD = FD(μ,ρ,v,L); a la ecuación adimensional del coeficiente de arrastre dependiente dependiendo de una sola variable adimensional: CD = CD(Re). 1

En el caso del problema del arrastre, lo que se debe determinar en la fuerza de arrastre (primera variable inherente), que depende fundamentalmente de la viscosidad del fluido (segunda variable inherente). 2 Normalmente, es el máximo área frontal que expone el objeto al flujo; no obstante, en determinados casos, se utilizan distintas áreas: así en el caso de perfiles aerodinámicos, la superficie característica es la cuerda por la envergadura; y en el caso de carenas de buques es el área mojada.

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II.1. Análisis Dimensional

1.3. PARÁMETROS ADIMENSIONALES. Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos: - magnitudes mecánicas del fluido - magnitudes térmicas del fluido - magnitudes del flujo magnitud μ ρ ν σ K p, τ

viscosidad absoluta o dinámica densidad (m/V) viscosidad cinemática (μ/ρ) tensión superficial (F/l) módulo de compresibilidad (ρΔp/Δρ) presión, tensión (F/A)

magnitudes térmicas del fluido

κ cp cv β

conductividad térmica calor específico a presión constante ( ∂ h / ∂ T )p calor especifico a volumen constante (∂ û / ∂ T )v coeficiente de dilatación térmica (-(dρ/ ρ) /dT)

magnitudes del flujo

v L g ε

velocidad longitud característica aceleración gravitacional rugosidad

magnitudes mecánicas del fluido

dimensiones

unidades SI

M L-1 T-1 M L-3 L2 T-1 M T-2 M L-1 T-2 M L-1 T-2

kg/ms=Pa.s kg/m3 m2/s kg/s2 N/m2 = Pa N/m2 = Pa

M L T-3 ϑ-1 L2 T-2 ϑ-1 L2 T-2 ϑ-1 ϑ-1

W/mK J/kg K J/kg K K-1

L T-1 L L T-2 L

m/s m m/s2 m

Los parámetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar: parámetro número de REYNOLDS número de MACH número de FROUDE

definición vLρ Re = μ v

Ma =

K/ρ

We =

número de EULER

Eu =

St =

1 2

ρv

2

f L L/v = T v

Pr =

número de BRINKHAM

Br =

Gr =

gL

ρv2L σ p

número de PRANDTL

número de GRASHOF

v a

v

Fr =

número de WEBER

número de STROUHAL

=

relación cualitativa de efectos fuerza de inercia fuerza tensiones viscos as

μcp κ μv2 κT

β Δ T gL3 ρ 2 μ

2

importancia siempre

inercia compresibilidad

flujo compresible

inercia gravedad

flujo con superficie libre

inercia tensión sup erficial

flujo con interfase L-L, L-G

presión inercia oscilaciones t º residencia ∨ t º característico velocidad disipación energía conducción calor

siempre Flujos oscilatorio transitorio

(prop. fluido)

transmisión de calor

disipación energía (prop. flujo) conducción calor

transmisión de calor

flotabilidad vis cosidad

Convección natural

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1.4. NÚMEROS DE REYNOLDS, EULER, MACH Y FROUDE. De todos los parámetros adimensionales, 4 de ellos son de gran importancia, siendo controlante alguno de ellos en función de las magnitudes que intervengan en el flujo. NÚMERO DE REYNOLDS (Re): controla el transporte de cantidad de movimiento, es decir los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con viscosidad dominante; en el movimiento de las partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar. Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables frente a los de inercia, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen turbulento. NUMERO DE EULER (Eu): controla los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión dinámica. Por la variedad de flujos, se tienen distintos parámetros derivados del número de Euler: En el flujo en turbomáquinas hidráulicas (fluido operante líquido) es importante para evaluar los efectos de la cavitación, el denominado número de cavitación (en donde pvapor es la presión de vapor del líquido a la temperatura de operación): p − pvapor número de cavitación Ca = 1 ρv2 2 En flujo externo, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con los coeficientes de sustentación y de arrastre, que derivan del número de Euler: FD coeficiente de arrastre (D = “Drag”) CD = 1 ρ v 2A 2 CL =

FL 1 ρ v 2A 2

coeficiente de sustentación (L = “Lift”)

NUMERO DE MACH (Ma): controla la relación entre las fuerzas de inercia por velocidad y las fuerzas elásticas por compresibilidad; además es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido, que se denomina velocidad del sonido. Las perturbaciones provocan compresionesexpansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de transmitirlas, es decir la velocidad del sonido (con perturbaciones de poca intensidad), depende de la “facilidad” del fluido a experimentar variaciones de densidad: así en un fluido de alto módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente con lo que la velocidad del sonido es alta3. Pudiendo tener tres tipos de flujos: Ma1

régimen subsónico régimen sónico régimen supersónico

las perturbaciones se mueven más rápidas que el flujo las perturbaciones se mueven a igual velocidad que el flujo las perturbaciones se mueven más lentas que el flujo

NUMERO DE FROUDE (Fr): controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, y que normalmente es exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor será la importancia de la fuerza gravitacional respecto a la de inercia. En flujo confinado (limitado por una superficie rígida), el orden de magnitud de las fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales. En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones superficiales. El número de Froude es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre. Pudiendo tener tres tipos de flujos: -

v < vp y Fr < 1: flujo subcrítico v = vp y Fr = 1: flujo crítico v > vp y Fr > 1: flujo supercrítico

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En condiciones de 1 atm y 20ºC, el agua tiene un módulo de compresibilidad de 2185,7 MPa y la velocidad sónica es de 1480 m/s; en las mismas condiciones el aire tiene un módulo de compresibilidad de 0,14 MPa y la velocidad sónica es de 341 m/s. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08

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1.5. TEORÍA DE MODELOS. En los ensayos experimentales del flujo en un determinado prototipo, a veces no es posible realizar los ensayos con el propio prototipo, por su tamaño o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo, con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala (geométricamente semejantes). Por ejemplo, en el diseño de las geometrías de perfiles aerodinámicos, se disponen modelos a escala reducida (o a escala real) en un túnel de viento, en donde se hace incidir un flujo de aire sobre el perfil estático. En el estudio experimental de hélices marinas, se realizan dos tipos fundamentales de ensayos con hélices modelo a escala reducida: los de autopropulsión en un canal de agua dulce y los de cavitación en un túnel de cavitación cerrado con agua caliente y a depresión. En la evaluación del comportamiento de una carena, se realizan ensayos de arrastre con modelos a escala reducida en agua dulce, tanto en canales de aguas tranquilas como en piscinas con generadores de olas La teoría de modelos permite obtener las condiciones de ensayo del modelo, a partir de las condiciones de flujo del prototipo; y las magnitudes del prototipo, a partir de las medidas experimentales del modelo.

1.5.1. SEMEJANZA: Prototipo, modelo y sus respectivos flujos considerados, están relacionados entre si por tres tipos de semejanza: geométrica, cinemática y dinámica. Semejanza geométrica, con un factor de escala de longitudes constante4 entre modelo y prototipo (NL): NL =

Longitud característica del mod elo Longitud caracterísica del prototipo

( NL )2 =

Área característica del mod elo Área característica del prototipo

( N L )3 =

Volumen característico del mod elo Volumen característico del prototipo

Semejanza cinemática del campo de velocidades, con un factor de escala de velocidades entre modelo y prototipo: Velocidad característica del mod elo NV = Velocidad característica del prototipo La relación entre los dos factores de escala: de longitudes y de velocidades, viene determinada por el factor de escala de tiempos: N Tiempo característico del flujo en el mod elo NT = L = N V Tiempo característico del flujo en el prototipo

Semejanza dinámica de los campos de las distintas fuerza que puedan intervenir en el flujo, con un factor de escala de fuerzas, que debe ser constante, entre modelo y prototipo: NF =

Fuerza característica del mod elo Fuerza característica del prototipo

El factor de escala de fuerzas, es el que va a permitir establecer las condiciones del flujo en el ensayo del modelo a partir de las condiciones del flujo en el prototipo, y obtener “fuerzas, potencias y rendimientos” del prototipo a partir de sus correspondientes valores experimentales en el modelo. Los campos de fuerzas que pueden aparecer en la interacción de un fluido y un objeto, pueden ser:

4

En determinados modelos, el factor de escala de longitudes se hace variar de una dirección a otra: por ejemplo en un modelo de una playa, para estudiar las variaciones batimétricas por acumulación de arena por efecto de determinadas corrientes, se pueden tener un factor de escala para las longitudes horizontales (NLH=1:1000) y otro para las longitudes verticales (NLV=1:100) _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08

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Fuerzas de inercia, determinadas por la variación temporal de la cantidad de movimiento, y cualitativamente podemos expresarlas por:

Fi =

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d(mv) ρ L L / T = = ρL2 (L / T)2 = ρ L2 v2 dt T

Fuerzas de rozamiento por viscosidad, determinadas por el campo de tensiones, que a su vez viene determinado por la viscosidad y el campo de velocidades, y podemos expresarlas cualitativamente por: v Fμ = μ L2 = μvL L Fuerzas gravitatorias, determinadas por la posición en el campo gravitatorio, expresadas por:

Fg = mg = ρgL3 Fuerzas de presión, determinadas por el campo de presiones:

Fp = pL2 Fuerzas de elasticidad, determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido: Fe = KL2 =ρa2L2 Fuerzas de tensión superficial, determinadas por: Fσ = σL Para la semejanza dinámica total, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, independientemente del campo de fuerzas considerado:

NF =

( Fi ) mod elo (Fi )¡prototipo

=

(Fμ ) mod elo (Fg )mod elo (Fp )mod elo (Fσ )mod elo (Fμ )¡prototipo = (Fg ¡) prototipo = (Fp )¡ prototipo = (Fσ )¡prototipo

De la relación anterior se obtienen los siguientes resultados: (1) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas

(Fi )mod elo (F i )prototipo

( Fi ) mod elo

( Fμ ) mod elo = (Fμ )prototipo ⇒

⎛ ρL 2v 2 ⎞ ⎛ ρ vL ⎞ ⎟ ⎟⎟ = Remod elo =⎜ = ⎜⎜ Fμ mod elo ⎜⎝ μvL ⎟⎠ ⎝ μ ⎠ mod elo mod elo

( )

⇒ Rem = Re p

(Fi )prototipo

⎛ ρL2 v 2 ⎞ ⎛ ρvL ⎞ ⎟ ⎟⎟ = Re prototipo = ⎜⎜ =⎜ Fμ prototipo ⎜⎝ μvL ⎟⎠ ⎝ μ ⎠prototipo prototipo

( )

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de esfuerzos viscosos, entre modelo y prototipo, el número de REYNOLDS del modelo debe ser el mismo que el del prototipo. (2) relación ent...