ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS PRINCIPALES MAGNITUDES - FUNDAMENTALES PDF

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Definimos al análisis dimensional como una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π) permit...

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1. Análisis dimensional El análisis dimensional es un método por el cual se analizan las dimensiones de las ecuaciones físicas. El análisis dimensional nos permite reducir el número de variables, verificar las ecuaciones, determinar la dimensión de una variable, obtener algunos parámetros adimensionales que determinan a un fenómeno y expresar cualquier magnitud física. 1.1.Magnitud: la magnitud es una propiedad que se puede medir, es decir, es aquella propiedad o cualidad que se mide en una escala y con un instrumento adecuado; dicha medición puede ser comparada con otra de su misma naturaleza. 1.1.1. Clasificación a) Por su origen: - Magnitudes fundamentales: Son magnitudes independientes, es decir que no requieren de otras magnitudes para ser definidas. Magnitudes fundamentales del S.I. Magnitud Ecuación dimensional Longitud L Masa M Tiempo T Temperatura 𝜃 termodinámica Intensidad de I corriente eléctrica Intensidad J luminosa Cantidad de N sustancia -

Unidad básica Unidad

Símbolo

Metro Kilogramo Segundo Kelvin

m kg s K

Ampere

A

Candela

cd

Mol

mol

Magnitudes derivadas: Son magnitudes dependientes, por tanto requieren de otras magnitudes para ser definidas es decir dependen de las magnitudes fundamentales para ser definidas.

Magnitudes derivadas del S.I. Magnitud Ecuación dimensional Área 𝐿2 Volumen 𝐿3 Densidad 𝑀𝐿−3 Velocidad Aceleración

𝐿𝑇 −1 𝐿𝑇 −2

Unidad basica Unidad Metro cuadrado Metro cubico Kilogramo por metro cubico Metro por segundo Metro por segundo cuadrado

Símbolo 𝑚2 𝑚3 𝑘𝑔/𝑚3 𝑚/𝑠

𝑚/𝑠2

𝑀𝐿𝑇 −2 𝑀𝐿2 𝑇 −2 𝑀𝐿2 𝑇 −2 𝑀𝐿2 𝑇 −3 𝑀𝐿−1 𝑇 −2 𝑇 𝑇 −1 𝑇 −1

Fuerza Trabajo Energía Potencia Presión Periodo Frecuencia Velocidad angular Caudal

𝐿3 𝑇 −1

Carga eléctrica Aceleración angular

𝐼𝑇 𝑇 −2

Newton Joule Joule Watt Pascal Segundo Hercio Radianes por segundo Metro cubico por segundo Coulumb Radianes por segundo cuadrado

𝑁 𝐽 𝐽 𝑊 𝑃𝑎 𝑠 𝐻𝑧 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑚3 /𝑠

𝐶 𝑟𝑎𝑑/𝑠2

b) Por su naturaleza: - Magnitudes escalares: son magnitudes que están definidas por un número y su unidad correspondiente. Ejemplos: longitud, masa, tiempo, temperatura, presión, energía, área, volumen, frecuencia, densidad, etc. -

Magnitudes vectoriales: son magnitudes que están definidas por un número, su unidad correspondiente y una dirección. Ejemplos: velocidad, aceleración, fuerza, peso, torsión, posición, tensión eléctrica, campo eléctrico, etc.

1.2.Homogeneidad dimensional En cualquier ecuación física las dimensiones de cada término que constituyen la ecuación deben ser las mismas, es decir que la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; si se divide la ecuación por uno de los términos constituyentes, la ecuación se vuelve adimensional, por lo que también se obtendrían varios cocientes a los cuales se les denominaría como grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes más empleadas en la mecánica de fluidos son: M (masa), L (longitud), T (tiempo) y 𝜃 (temperatura); los cuales pueden incluir solo uno o más de las cuatro dimensiones mencionadas. Ejemplos: Longitud Área Volumen Momento de inercia Velocidad Aceleración Velocidad angular Aceleración angular

[𝑙] = 𝐿 [𝐴] = 𝐿2 [𝑉] = 𝐿3 [𝐼] = 𝐿4 [𝑣] = 𝐿𝑇 −1 [𝑎] = 𝐿𝑇 −2 [𝜔] = 𝑇 −1 [𝛼] = 𝑇 −2

Densidad Volumen específico Fuerza Par Presión, tensión Entropía Calor especifico Conductividad térmica Caudal volumétrico Caudal másico Energía, entalpía Viscosidad absoluta Viscosidad cinemática Tensión superficial Compresibilidad Potencia

[𝜌] = 𝑀𝐿−3 [𝑣] = 𝐿3 𝑀 −1 [𝐹] = 𝑀𝐿𝑇 −2 [𝑇] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 [𝑝], [𝜏] = 𝑀𝐿−1 𝑇 −2 [𝑠] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 𝜃 −1 [𝑐] = 𝐿2 𝑇 −2 𝜃 −1 [𝑘] = 𝑀𝐿𝑇 −3 𝜃 −1 [𝑄] = 𝐿3 𝑇 −1 [𝑚󰇗] = 𝑀𝑇 −1 [𝐸] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 [𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇 −1 [𝑣] = 𝐿2 𝑇 −1 [𝜎] = 𝑀𝑇 −2 [𝐾] = 𝑀𝐿−1 𝑇 2 [𝑊] = 𝑀𝐿2 𝑇 −3

1.3.Tipos de variables: Al momento de estudiar un fenómeno, es importante determinar las variables que definen dicho fenómeno, para lo cual debemos guiarnos con los tipos de variable, los cuales se presentarán a continuación: a) Geométricas: Longitudes Diámetros Rugosidad Áreas Momentos de inercia b) Cinemáticas: Velocidades lineales, angulares, rotacionales Caudal volumétrico y másico Aceleraciones lineales, angulares c) Dinámicas: Propiedades del fluido  Densidad  Peso específico  Viscosidad  Tensión superficial De comportamiento  Variación de presión  Potencia

 Torque  Resistencia  Energía por unidad de masa 1.4.Expresión de las leyes físicas Para obtener de manera correcta la expresión analítica de una ley física, se debe efectuar en orden tres pasos, los cuales son: a) Determinar todas las variables que intervienen en el fenómeno. b) Establecer la fórmula, con coeficientes indeterminados. c) Determinar experimentalmente los valores numéricos de los coeficientes. Ejemplo: En el estudio del efecto de arrastre de una corriente de agua sobre un pequeño cuerpo esférico de densidad sensiblemente igual a la del agua, puede parecer justificado no tomar en cuenta la densidad y la viscosidad del agua, que se mantiene prácticamente constantes en el fenómeno, y escribir que dicha fuerza de arrastre FD depende solo de la velocidad 𝑣 de la corriente y del diámetro 𝐷 de la esfera: 𝐹𝐷 = 𝑓(𝑣, 𝐷)

Ahora, las dimensiones que aparecen en el primer miembro de esta relación son M, L, T, mientras que las del segundo son solo L y T. Faltando la dimensión M, la ecuación no puede ser dimensionalmente homogénea. De hecho, la densidad y la viscosidad, que posiblemente no hubieran afectado los resultados numéricos dentro del campo estudiado, deben de tomarse en cuenta por lo que se refiere a las dimensiones y habrá que escribir: 𝐹𝐷 = 𝑓(𝑣, 𝐷, 𝜌, 𝜇)

(3.1)

En el ejemplo anterior, el primer paso consistió en escribir la ecuación (3.1). El segundo paso, que es lo que corresponde propiamente al análisis dimensional, consistirá en imponer que (3.1), que ya se sabe que es completa, sea dimensionalmente homogénea. Para esto se aplica el teorema de Buckingham, con el resultado de que FD no puede ser una función cualquiera de 𝑣, 𝐷, 𝜌 𝑦 𝜇 tomadas 𝑣𝐷𝜌 𝐹 aisladamente, sino que la razón 2 𝐷 2 tiene que ser función de la expresión 𝜇 : 𝐹𝐷

𝜌𝑣 2 𝐷 2

𝜌𝑣 𝐷

= 𝜑(

𝑣𝐷𝜌 𝜇

)

(3.2)

Es importante observar que dimensionalmente se tiene [

𝐹𝐷 𝐹 ]=[ ] = [1] 2 2 −4 2 (𝐹𝐿 𝑇 )(𝐿2 𝑇 −2 )𝐿2 𝜌𝑣 𝐷 (𝐿𝑇 −1 )𝐿(𝐹𝐿−4 𝑇 2 ) 𝑣𝐷𝜌 [ ]=[ ] = [1] 𝜇 𝐹𝐿−2 𝑇

Es decir que las funciones

𝑃=

𝐹𝐷

𝜌𝑣 2 𝐷2

,

𝑣𝐷𝜌 𝑅= 𝜇

Son números puros. A estas dos funciones se las llama respectivamente coeficiente de presión y numero de Reynolds. Para el tercer paso, se puede proceder como sigue. Recordando que la sección máxima de la esfera es 𝐴 =

𝜋𝐷 2 4

, escribiremos la (3.2) así: 8 𝐹𝐷 = 𝜑 (𝑅) 2 𝜌𝑣 𝐴 2𝜋

Llámese coeficiente de arrastre CD la cantidad adimensional 𝐶𝐷 =

8 𝜑 (𝑅) 𝜋

(3.3)

Cantidad que evidentemente es una especie de coeficiente de presión, reemplazándola en la formula anterior y despejando FD, se tiene la fórmula de Newton. 1 𝐹𝐷 = 𝐶𝐷 𝐴𝜌𝑣 2 2

(3.4)

Que permite calcular el arrastre, conociendo previamente el tamaño de la esfera, la densidad del fluido, su velocidad y el coeficiente CD el cual, según (3.3), es función tan solo del número de Reynolds, CD se determinó experimentalmente con diferentes fluidos, haciendo variar R; si se llevan en escalas logarítmicas los valores correspondientes obtenidos por varios investigadores, resulta la siguiente gráfica.

Luego el cálculo de la fuerza de arrastre de un fluido determinado sobre una esfera determinada se podrá realizar como sigue:

Primero calcular el número de Reynolds relativo al flujo, después deducir de la gráfica el CD correspondiente, y finalmente reemplazar este valor y los de 𝜌, 𝑣 𝑦 𝐴 correspondientes al problema en estudio, en la formula (3.4). Con los pasos anteriores la solución se ha reducido, gracias al análisis dimensional, al conocimiento de una sola gráfica, en lugar de toda una serie de monogramas que se habrían requerido para tomar en cuenta, sin necesidad, los efectos posibles de 𝑣, 𝐷, 𝜌 𝑦 𝜇 por separado. El análisis dimensional ha permitido descartar de antemano una infinidad de relaciones entre estas variables y la fuerza de arrastre FD. (Levi, 1965)...