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Información útil sobre el Análisis dimensional....

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Darwin N. Arapa Quispe

Física General

Física General

Análisis Dimensional

C. Magnitudes Suplementarias (Son dos), realmente no son ni magnitudes fundamentales ni derivadas. Sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales.

Magnitud Suplementaria Ángulo plano (

)

Ángulo sólido (

)

Unidad

Símbolo

radian

rad

estereorradián

sr

MAGNITUDES FÍSICAS Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido.

POR SU NATURALEZA A. Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con solo conocer su valor

¿Para qué sirven las magnitudes físicas? Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones;

así el

lenguaje que se utiliza

en la Física

numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: Volumen, temperatura, tiempo, etc.

será claro,

preciso y terminante.

B. Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes que además de conocerse su valor numérico y su unidad, se

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS

necesitan

su

dirección

y

su

sentido

para

que

dicha

magnitud

quede

perfectamente

determinada. Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, impulso, campo eléctrico, etc.

Por su origen

ANÁLISIS DIMENSIONAL

A. Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes, en mecánica tres magnitudes fundamentales son suficientes: Longitud (L), masa (M) y tiempo (T).

MAGNITUD NOMBRE

UNIDAD

SIMBOLO

NOMBRE

SIMBOLO

1

LONGITUD

L

metro

m

2

MASA

M

kilogramo

kg

3

TIEMPO

T

segundo

s

4

TEMPERATURA

kelvin

K

I

ampere

A

J

candela

cd

N

mol

mol

5

6

7

las fundamentales.

FINALIDADES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL:

Las magnitudes fundamentales son:

N°

Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan las magnitudes derivadas con

INTENSIDAD DE CORRIENTE

1.

Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales

2.

Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas haciendo uso del Principio del Homogeneidad Dimensional.

3.

Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALES: Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. Una ecuación dimensional se denota por:

INTENSIDAD LUMINOSA CANTIDAD DE SUSTANCIA

Ejemplo:

A

: se lee ecuación dimensional de A.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:

B. Magnitudes Derivadas Son

aquellas

magnitudes

que

están

expresadas

en

función

de

fundamentales. Ejemplos:

las

A

magnitudes

B

C

E

⇒

A

B

C

E

Propiedades:

Velocidad

Fuerza

Superficie (Área)

Presión

Aceleración

Trabajo

Densidad

Potencia, etc

1. En el análisis dimensional se cumplen las leyes del álgebra a excepción de la adición y diferencia.

2. La ecuación dimensional de todo número es la unidad, llamadas también magnitudes adimensionales.

1

2

Darwin N. Arapa Quispe

Física General

Física General

Análisis Dimensional

En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos de su ecuación deberán de ser

3M

3L LT

1

Ecuaciones dimensionales

7M

3L

5LT

4M

6LT

1

1

LT

1

sen 30 º

ln b

LT

 3e

2

ln b

1

COEFICIENTE DE

1

DILATACIÓN

temperatura



CAPACIDAD CALORÍFICA

masa

FÓRMULA

FÓRMULA

Q

DERIVADA ÁREA

A Vol .

3

longitud

trabajo

V

carga

o

F

masa

aceleración

LMT

2

2

fuerza

distancia

L MT

TRABAJO, ENERGÍA Y CALOR

W

fuerza

distancia

L MT

P

tiempo

2

2

M

POTENCIA

P

masa

velocidad

MT

I

fuerza

L MT

L

tiempo

DENSIDAD

2

LMT

L

peso

PESO ESPECÍFICO

volumen

3

L

2

2

2

I 2

1

I

1

J

Si la magnitud “P” depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deberá verificar la

3

x

y

z

ka b c

Siendo “k” la constante numérica de proporcionalidad, y los valores de los exponentes x, y, z deberán satisfacer el principio de homogeneidad.

LMT

volumen

I

I

Fórmulas empíricas:

P

L MT

masa

2

2

1

 IMPULSO

3

siguiente relación:

 CANTIDAD DE MOVIMIENTO

T

1

I

4 2

LI

FLUJO MAGNÉTICO

2

TORQUE

trabajo

3

2

T

tiempo

1

2

INDUCCIÓN MAGNÉTICA 1

T

2

L MT

ILUMINACIÓN

FUERZA

1

I

L MT

CARGA MAGNÉTICA

2

LT

tiempo f

3

LMT

L M

RESISTENCIA ELÉCTRICA

ángulo

ACELERACIÓN ANGULAR

1

TI

2

CAPACIDAD ELÉCTRICA

1

LT

tiempo

VELOCIDAD ANGULAR

t

carga

L

velocidad

a

E

ELÉCTRICO

POTENCIAL ELÉCTRICO

3

(longitud)

tiempo

ACELERACIÓN LINEAL

2

L T

fuerza

L

(longitud)

V

I

2

T

1

2

2

VOLUMEN

VELOCIDAD LINEAL

DIMENSIONAL

INTENSIDAD DE CAMPO

2

L MT

calor

Ce

ESPECÍFICA CARGA ELÉCTRICA

MAGNITUD

2

temperatura

1

FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS

1

calor

C

CAPACIDAD CALORÍFICA

1

T

periodo

1 2

T

1

f

FRECUENCIA

1

2

MT

# de vueltas

L 1

log 2

0, 301030

3e

3L 5LT

1

tiempo

T

PERIODO

M

sen 30º

2 log 2

3M

3L

0

1

L

área

Ecuaciones algebraicas 4M

fuerza

P

PRESIÓN

iguales (principio de homogeneidad).

1

3

M

MT

2

4

Darwin N. Arapa Quispe

Física General

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Física General

Análisis Dimensional

Resolución:

Problemas Resueltos

Reemplazando (3) en (4) I

Elevando al cubo: La velocidad será:

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 01

V

El período de un péndulo simple está dado por la siguiente ecuación: a

T

KL g

A

b

0

LM

En donde:

F

1

LT

1

y

x

L

M

x

y

L: longitud;

T

2x

1

x

b”

y

⇒

0

V

F

1

2

2

a

L

⇒

3

⇒

g

T

1 .L . a

T

b

L

T

0

a

L

b

2b

T

De las ecuaciones:

A

Si

1

1

1

y

b

2

a

b

la

0

es

masa

y

contiene

(M),

trabajos

( W , W ) y aceleración (a) encuentre 1 2

W

W

1

V1

a

2

V2

y

.

M

W2

V1

2

resistencia eléctrica “R” circula una corriente

… (1)

B

“I”

3 cos

efecto

Joule

durante

establece

un

desprendido

que

tiempo

de

la

si

por

“t”,

el

resistencia

una

calor

se

puede

expresar como energía. Hallar la fórmula que

… (2)

nos permite confirmar dicha afirmación.

cos

Del enunciado se deduce que el calor tiene la siguiente fórmula:

cos

B

x

Q

I R

y

t

z

Recuerde del problema 5:

3

2

R

cos

3

L MT

I

2

W

LT

2

2

2 0

L MT

I

M

Resolución: y

T

W

V

log x

I

L

2

L MT 2y

.M

ecuación

dimensional

de

2y

la

z

2

3y x

2y

Q

⇒

V

W

… (1)

la

I

4

las

dimensiones

correctamente expresadas, hallar “

1

⇒

Q

de

IT

”

L MT

5

A

2

3

B

cos

AB

I

z

2y

1

1 2

están

tan

2

⇒

V

2

L MT

3

I

1

I

de

nRT ln

En donde:

… (3)

n: número de moles T: temperatura

En la Ley de Ohm:

V

2

… (2)

IT

V 3

T

3y x

I Rt

expansión

W

M

L

z

un

calcula con la fórmula:

t

V

ecuación,

y

2

I

z

t

En un proceso termodinámico isotérmico, le trabajo

Q

2

en

y

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 07

Q

1

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 04 Si

.T

R

La fórmula para expresar el efecto Joule es:

Q

masa y la longitud

L

3

y

⇒ y 2 ⇒ z ⇒ x

Reemplazando (2) en (1):

m

x

IR

La carga se deduce de:

L M

2

x

I

Resolución:

V

a

y

) es el cociente entre la

2

L MT

por unidad de carga.

3

L MT

la

Energía

La diferencia de potencial es entonces:

: Densidad lineal de la cuerda (kg/m) Hallar la fórmula física.

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 05

V

y

2

Q

V: diferencia de potencial; equivale al trabajo W

y log x

2

Aplicando ecuaciones dimensionales:

120º

I: intensidad de corriente

Volumen

⇒

⇒

resistencia eléctrica “R” si se sabe que:

Trabajo

V2

VM

Wa

F: Tensión en la cuerda (fuerza)

1 2

Encontrar

La ecuación se reduce a:

y

L

B

V

Resolución:

cuerda elástica se establece con:

m

El

La ley de Ohm establece que:

y log x

2

0

La velocidad de una onda transversal en una

La densidad lineal (

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 06

3 cos

B

Igualando exponentes:

homogénea

( V , V ), 1 2

W1

F

2

I

Resolución:

B

cos

ecuación

volúmenes

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 02

V

L MT

3

cos

B

3

Por la ley de homogeneidad:

x

3

B 3

A

2

B

PR PROB OB OBLEM LEM LEMA A 03

2b

a b ⇒   2b

a

3

2

Dando forma y comparando exponentes:

L T

1

I

2

R

3

F

V

3

L MT

Reemplazando (1) en (2):

b

2

LT

A

A

1 a

3

3

tan

B b

tan

2

R

3

2

a b  KL g 

K

3

B

1

y

1

3 cos

tan

La fórmula de la velocidad será:

Usando las ecuaciones dimensionales:

T

B

2

Resolución: T

B B

2 x

3

B

2

1

g: aceleración de la gravedad; a y b: exponentes

A

3

2x

A

⇒

2

A

M

Igualando exponentes:

K: constante numérica;

Hallar el valor de “ a

y

1

L

y

B

3

Por el principio de homogeneidad:

x

2

LMT T

x

2

R

ln: logaritmo neperiano

IR

V1

… (4)

6

y V1 : volúmenes

 V1  V   2

gas

ideal

se

Darwin N. Arapa Quispe Hallar

la

ecuación

Física General

dimensional R

constante universal de los gases

de

la

2

L MT

.

3

x

(1)M .L

2 L MT

Resolución:

3

De donde: x=1;

L

n

R

   ln   

T

V2 V1

⇒

0, 9 W n

N

k

0, 8 g

V1

cm

01. En la siguiente fórmula física, encontrar

t

5 cm s

5

2s

A

5 2

t

2

2

N

R

2

R

L MT

2

1

Hallar

1

N

la

02. Si

ecuación

dimensional

(P)

A

C

depende

con

de

la

que

aplica

densidad

una

(d)

del

Despejando A

2

LT

1

x

kd v

y z

t

A

………. (Fórmula empírica)

5

E) LT

valor de: “ x

Potencia

P

Densidad

L MT

d

ML

v

LT

Velocidad

2

A

2

3

12

L

T

6

4

L

3

2

F=fuerza,

sen 37º

B) 2

D) 4

E) 5

la

siguiente

L T