1. Análisis dimensional PDF

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Todos los apuntes de la asignatura fundamentos de física y química
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1. Análisis dimensional. La medida del tiempo (T) en la vida diaria se utiliza para medir épocas, periodos tiempos moderados, y tiempos cortos. La medida de la masa (M) es la medida de la inercia. La longitud se expresa como L. Los números no tienen dimensiones, ni los resultados de aplicar un logaritmo o una función trigonométrica. (ponemos un 1 para indicar que carecen de unidades.)

1. Unidades fundamentales. En 1960 la Conferencia Internacional de Pesos y Medidas adoptó oficialmente el Sistema Internacional de Unidades (SI). Sus unidades fundamentales son:

Existen dos unidades suplementarias, que son: -El radián (rad) es la unidad de ángulo plano de abertura tal que sobre la circunferencia de centro en el vértice intercepta un ángulo igual al radio. Un radián son 360º, es decir, son 2 pi radianes. El arco de la circunferencia es igual al ángulo por el radio (arco= ángulo * radio) VER APUNTES. -El estereorradián (sr): es la unidad de ángulo solido tal que, sobre la esfera con centro en el vértice, intercepta sobre la superficie correspondiente un área igual a la de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera. La superficie es igual al ángulo sólido por el radio al cuadrado (s= w (r)^2) La superficie de una esfera es 4 pi radianes al cuadrado. VER APUNTES. 2. Unidades derivadas. Se hallan a partir de las unidades fundamentales utilizando la fórmula física adecuada. Por ejemplo, la densidad es la masa entre el volumen y en consecuencia su dimensión es M/L^3

Algunas magnitudes se expresan en unidades que no son del SI, pero que están muy introducidas por la práctica: -Tiempo: minuto (m) hora (h) o día (d). -Ángulo: grado (º) minuto (`) o segundo “. -Volumen: litro (l) 1 litro es 1 dm cubico. -Masa: tonelada (t) -Distancia marina: milla marina (-) son 1852 metros. O en angstrom que son 10^-10 m. -Presión: atmósferas (atm) son 101325 kPa.

3. Cálculo de las dimensiones.

El análisis dimensional nos dice que: -Debe existir homogeneidad en las expresiones. Los dos miembros de una igualdad matemática deben tener dimensiones idénticas, pues no es posible igualar un área a una longitud. Sirve para comprobar si una fórmula es correcta.

-Todos y cada uno de los sumandos a la izquierda de la igualdad deben tener la misma dimensión y a su vez ésta debe ser igual a todos los sumandos a la derecha de la igualdad.

-Se pueden deducir comportamientos reales de sistemas a partir del estudio de magnitudes de las que parece depender el comportamiento de ese sistema. Ejemplos:

4. Error absoluto y error relativo.

Dado un número escrito en forma decimal, cifras significativas son todas aquellas distintas de 0. Un cero es una significativa si: -Está situado entre dígitos no nulos. Ej: 0,0100205. -Está situado detrás de dígitos no nulos y a la derecha de la coma decimal. Ej: 10, 230 -En el caso de números enteros, si está situado detrás de dígitos no nulos y se ha escrito la coma decimal explícitamente. Ej: 1200, (4 cifras significativas) 1200 (2 cifras significativas). El erros absoluto se expresa siempre con una sola cifra significativa, esta cifra conservada se aumenta en una unidad si la primera cifra suprimida es mayor o igual a 5; y si es menor que 5, se deja como está. La excepción a esta regla general es el caso en que la primera cifra significativa del error absoluto sea el número 1; entonces se mantiene la segunda cifra significativa, con lo que el error queda expresado con dos cifras significativas. En este caso, la segunda cifra aumenta en una unidad si la siguiente cifra suprimida es mayor o igual que 5; y si es menor que 5 se deja como está. El valor de la medida de la magnitud debe tener las cifras significativas precisas para que la última de ellas sea el mismo orden decimal que la última del error absoluto.

5. Orden de magnitud. En los cálculos aporximados y en descripciones generales, se suele expresar la cantidad por su orden de magnitud, para lo cual se toma por redondeo la potencia de 10 más próxima al número. Ej: -Una longitud de 2 * 10^-6 metros decimos que es del orden de magnitud de 10^-6 metros (del orden de las micras) 6. Notación científica. A menudo usamos números con muchos ceros que pueden escribirse abreviadamente usando potencias de 10. Esto permite tener, con una simple ojeada, idea de su orden de magnitud. Permite operar más fácilmente e incluso revisar rápidamente operaciones realizadas con ellos. Utilizando la notación científica el número se escribe como el producto de dos partes: un número comprendido entre 1 y 10 y una potencia de 10. Se representa el número con un solo entero seguido de todas las cifras significativas y multiplicado por la potencia de 10 que corresponda para lograr la equivalencia.

2. Estática de fluidos.

Un fluido es tanto un líquido como un gas. Se deben estudiar ya que casi el 80% del cuerpo humano es agua, la atmósfera es aire en reposo o movimiento, los ríos, lagos, pantanos mares… son líquidos con diferentes propiedades, la savia de las plantas es un líquido… La densidad es igual a la densidad absoluta, se mide en kg/m^3 o g/cm^3. P=m/v La densidad relativa es igual a la densidad específica, y es adimensional. P relativa= p sustancia/ p agua. El peso específico es igual al peso entre el volumen. Se mide en N/m^3 P/V= m*g/V= p* g En general, cualquier otra variable su pone específico es que se ha dividido por el volumen. La densidad de sólidos y líquidos es independiente de la temperatura y la presión. Sin embargo, la densidad de los gases depende en gran medida de la temperatura y la presión. En los gases, si la temperatura aumenta, Volumen aumenta y la presión disminuye. Si la presión aumenta, el volumen aumenta y la presión aumenta. P*V=NRT.

1. Aplicaciones. 1.1 Natación de los peces. La vejiga natatoria de los peces es capaz de cambiar de volumen, aumentando de volumen al llenarse de gases como N2 y el O2 que extrae de su sangre, aunque su masa (m) no se modifica a penas y en este caso concreto al aumentar el volumen y la masa al ser cte su densidad disminuye. Si por el contrario expulsa esos gases el volumen de la vejiga natatoria disminuye y la densidad del pez aumenta. (p=m/v) Estos cambios de la densidad en el pez, los utiliza según lo necesite para conseguir una densidad igual a la del agua que le rodea y flotar suspendido en el río o mar. Los cuerpos flotan suspendidos dentro de un líquido si las densidades del cuerpo y del líquido son iguales. (p pez= p mar) Cuando dos fluidos inmiscibles de densidades diferentes se mezclan, el fluido de densidad más pequeña flota sobre el de densidad mayor. Incluso si los fluidos son miscibles, el menos denso flotará sobre la superficie del más denso si se tiene cuidado de no mezclarlos. Este hecho es de vital importancia para la circulación del agua en un lago y la circulación del aire en la atmósfera.

1.2. Circulación del agua.

1.3 Circulación del aire.

2. Presión en un fluido. Las fuerzas aplicadas sobre un fluido en reposo deben ser perpendiculares a la superficie libre. Un fluido en reposo solo ejerce fuerzas perpendiculares sobre las superficies en contacto con él.

Se mide en Pascales ( 1 Pa= N/m^2)

2.1 Compresión de fluidos. Cuando a un cuerpo se le somete a un cambio de presión (incremento P), el cuerpo que tenía un volumen V inicial sufre un cambio de volumen (incremento V). La relación entre las variables depende de la mayor o menor capacidad del cuerpo para comprimirse, a través de B (módulo de compresibilidad). Los gases se comprimen mucho pero los líquidos muy poco y los sólidos prácticamente nada. Hay que poner un signo menos para que haya coherencia en la expresión ya que sabemos que la presión aumenta, o sea si incremento P> 0 entonces el volumen disminuye, es decir incremento VPa>Pb.

Sin embargo, las presiones de los 3 puntos es la misma (Pa=Pc=Pb) puesto que P= Pat + dnsd*g*h Es decir, que la presión depende de la columna de agua de la altura H, pero no del volumen de agua que tiene encima. La presión siempre se mantiene en una línea recta, siempre que la densidad del fluido sea la misma. 5.1.1. Principio de los vasos comunicantes. Cada recipiente o vaso contiene un volumen de liquido diferente, pero están comunicados por la parte inferior. Se observa experimentalmente que el líquido alcanza la misma altura en todos ellos. El principio dice que en un mismo líquido la presión es directamente proporcional a la profundidad y además la presión es la misma en todos los puntos de una línea horizontal. Si los recipientes tienen la misma superficie en la base y la misma altura H, pero contienen un volumen de líquido diferente todas las fuerzas ejercidas son las mismas. Para demostrarlo, partimos de que P= Patm + densidad*g*h y como h es la misma para todos los recipientes entonces tenemos que la presión es la misma en todos los recipientes. Al tener igual superficie, como P= F/S necesariamente se cumple que todas las fuerzas son iguales en todos los recipientes. Sin embargo, si los recipientes tienen distinta superficie en la base y están llenos hasta la misma altura H y contienen un volumen de líquido diferente se cumple que, siendo F= P*S, la fuerza será mayor en donde la superficie sea mayor. 5.1.2. Tubo en U con 2 líquidos no miscibles. Los líquidos tienen diferentes densidades. La columna de los líquidos alcanza alturas diferentes en ambas ramas y se eleva más el de menor densidad.

La línea de interfase es muy interesante, ya que pasa por la línea que separa las dos fases. Además, las presiones en los dos puntos de la línea de interfaseson iguales. P1=P2.

Las presiones se pueden medir de diferentes formas: -Medida de la presión P dentro de un depósito con un manómetro de tubo abierto. El manómetro contiene un líquido de densidad p.

Lo fundamental es detectar la diferencia de alturas entre las dos columnas. -Barómetro de Hg en forma de U que mide la presión atmosférica del aire en cualquier lugar. El tubo está cerrado por un extremo, donde solo habrá algo de vapor de Hg, a una presión prácticamente nula.

-Barómetro de Torricelli que mide la presión atmosférica. Consta de una cubeta de Hg y un tubo también lleno de Hg que se pone invertido sobre la cubeta, la columna H del Hg desciende hasta alcanzar una altura h= 76 cm siempre que la presión exterior sea de 1 atm. Conocido cualquier otro valor de h, se puede hallar el valor de la presión atmosférica in situ.

Con los barómetros podemos medir la presión atmosférica en cada punto de la atmosfera, a diferentes altitudes, y observamos que la presión decrece exponencialmente según la expresión P=Pinicial * e^-ah Si la presión atm son 1,013 * 10^5 Pa= 101300 Pa= 1013 hectoPa (hPa), en los anticiclones encontramos que la presión es mayor de la atmosférica. En las borrascas, la presión es menor que la atmosférica. 6. Principio de Arquímedes. Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta un empuje (B) ascensional igual al peso del fluido desalojado.

La fuerza resultante de todas las fuerzas es la fuerza de empuje (B) siempre dirigida hacia arriba. Un cuerpo flota cuando se cumple que B=P. Solo actúa el empuje en la parte del cuerpo sumergida dentro del líquido. La resultante de todas las fuerzas que actúan debido a la presión hidrostática es el empuje, pero solo actúan en la parte del cuerpo que está sumergido. Las componentes horizontales se anulan entre sí, y solo quedan las componentes verticales. Por esa razón, el empuje actúa hacia arriba. Si pesamos el líquido desalojado, tenemos el valor del empuje B.

7. Peso aparente. Los cuerpos tienen un peso menor (llamado peso aparente) cuando están sumergidos en un liquido o en un gas como el aire, debido a la acción de empuje. P aparente= P real – B.

3. Dinámica de fluidos. La dinámica de fluidos estudia los fluidos en movimiento, como el agua dentro de una tubería, el curso de los ríos, el viento, el vuelo de pájaros o aviones… 1. Métodos de estudio. Son dos métodos de estudio: -Lagrange: se fija en la partícula y analiza la posición que ocupa en función de la posición inicial y del instante de tiempo (x,y,z)= f (xinicial, yinicial, zinicial) -Euler: se fija en un punto y en ese punto determina variables como la densidad, la presión o la velocidad del fluido. P (densidad)= (x,y,z,t) P (presión)= (x,y,z,t) y V=(x,y,z,t) Se utiliza el último método. 2. Características de los fluidos. Los fluidos ideales son estacionarios, irrotacionales, incompresibles y no viscosos.

-Fluido estacionario: significa que la velocidad del fluido en un punto es siempre la misma. Todas las partículas cuando pasan por ese punto P, lo harán con la misma velocidad (Vp) -Fluido irrotacional: cuando no hay giros dentro de él y la velocidad angular es 0. Si ponemos una pequeña noria dentro del fluido, la noria no gira. -Fluido incompresible: cuando no se comprime y su densidad en un punto no varía con el tiempo, permaneciendo constante. -Fluido no viscoso: cuando no hay disipación de energía mecánica porque las diferentes capas del fluido no se rozan entre sí.

3. Línea de corriente. Las líneas de corriente son constantes en el tiempo (en los flujos estacionarios ya que en ellos la V=cte en cada uno de los puntos, aun que pueden ser diferentes de un punto a otro) La tangente a la línea de corriente en cada punto representa la dirección de la velocidad instantánea de la partícula en dicho punto.

3.3 Tubo de corriente. Es la región del fluido confinada por un haz de líneas de corriente. En las zonas más estrechas, las líneas de corriente están más cercanas, mientras que en las zonas más amplias están más alejadas. Dos líneas de corriente nunca se van a cruzar, solo se pueden entrecruzar ya que siempre va a haber una separación entre ellas. 4. Regimenes de las corrientes fluidas. Son 3: -Regimen de Bernoulli: considera un fluido no viscoso. Por tanto, no hay rozamiento interno, las líneas de corriente son todas iguales a la velocidad, no hay pérdidas de energía mecánica. -Regimen laminar o de Poiseuille: considera un fluido viscoso. Hay rozamiento interno entre las diferentes capas del fluido a causa de la velocidad, las líneas de corriente tienen velocidades diferentes siendo más rápidas las centrales, y hay pérdidas de energía mecánica. -Regimen turbulento o de Venturi: considera un fluido viscoso, siendo el rozamiento interno elevado, las líneas de corriente se entrecruzan y las pérdidas de energía mecánica son importantes. 5. Gasto-caudal-intensidad de corriente. Se considera un flujo estacionario, incompresible. El volumen de fluido que por unidad de tiempo atraviesa la superficie de un tubo de corriente o de una conducción, se denomina Gasto-CaudalIntensidad de corriente. Se mide en Iv= V/ t (m^3/s) También se puede expresar en función de la velocidad y de la sección correspondiente Iv= A*v El volumen por unidad de tiempo que pasa por una determinada sección (Iv) es constante. Ecuación de continuidad: A1V1=A2V2. Significa que el volumen de fluido por unidad de tiempo que atraviesa una sección al entrar en un tubo de corriente es igual al volumen de fluido por unidad de tiempo que atraviesa la sección de salida del tubo. También podemos decir que el producto de la sección por la velocidad del fluido al atravesar esa sección es igual al producto de una nueva sección por la velocidad del fluido en esa nueva sección.

Demostración: Aplicación de la ecuación de continuidad: Si A1 es pequeño, las líneas de corriente dentro del tubo de corriente están más juntas y V1 es maor, es decir, el fluido circula rápido. Si A2 es mayor que A1 las líneas de corriente dentro del tubo de corriente están más separadas y V2 es menor que V1, y el fluido circulara más lentamente. 6. Ecuación de Bernoulli. Considera un fluido estacionario, no viscoso e incompresible. Tenemos un fluido ideal que circula por una tubería o conducción que varía tanto en altura como en sección recta ya que la zona de la derecha está más alta y es más estrecha. Por esta zona, el fliudo irá a mayor velocidad. El resto del fluido ejerce una presión sobre el fluido que está dentro del trozo de la tubería. Esta presión se transmite a través de dos fuerzas, una en cada extremo de la tubería F1=P1A1 y F2=P2A2. El trabajo total realizado por las fuerzas tiene como efecto la elevación de la parte del fluido sombreada en verde oscuro desde la altura y1 a la altura y2, y la variación de su velocidad desde v1 a v2 ya que varía la sección de tubería ( de A1 a A2). Siempre debemos elegir un NR o nivel de referencia de las alturas, sitúandolo como nos convenga. Al cambiar de velocidad el fluido sufre un cambio de energía cinética (incremento Ec) y al cambiar de altura sufre un cambio de energía potencial (incremento Ep). Por otro lado, la F1 realiza un trabajo que favorece el movimiento del fluido empujándolo de izquierda a derecha y F2 realiza un trabajo que se opone al movimineto (ya que lo empuja de derecha a izquierda). La suma de ambos trabajos es Wtotal.

El teorema Trabajo-Energía dice que el trabajo total realizado por estas fuerzas es igual a la suma de la variación de la energía cinética y la variación de la energía potencial. Wt= incrementoEc + incrementoEp El desarrollo matemático nos lleva a la expresión:

Que de forma general para cualquier punto elegido es:

Aplicaciones de la ecuación de Bernouille. -Energía del viento: los aerogeneradores aprovechan la energía del aire en movimiento. La potencia que obtenemos del viento es

7. Efecto Venturi. En un tubo horizontal si dos puntos 1 y 2 están a la misma altura sobre el NR, o sea y1=y2 entonces la ecuación de Bernouille se simplifica pasando a:

En un tubo horizontal cuando aumenta la velocidad de un fluido, desciende la presión. Para que siempre se cumpla esta igualdad: -Si en un punto la presión aumenta su velocidad disminuye. -Si en un punto la presión disminuye, su velocidad aumenta. Si P1V2. Cuando disminuye la seción, aumenta la velocidad de un fluido (por la ec, de continuidad) y desciende la presión (por efecto Venturi).

Aplicaciones del efecto Venturi: -Explicación de la trayectoria curva de la pelota. -Pulverizador: presionamos la bola de goma negra y el aire empieza a circular por el tubo horizontal. Al llegar la estrechamiento del tubo horizontal puedo aplicar primero la ecuación de continuidad V1A1=V2A2 y como la sección disminuye la velocidad del aire en ese punto aumenta. Pero al ser un tubo horizontal puedo aplicar el efecto Venturi En el estrechamiento como la velocidad ha aumentado, la presión está disminuyendo. Esa disminución de la presión hace que se provoque un efecto de succión en esa zona y ello a su vez hace que el líquido del recipiente ascienda por el tubo vertical incorporándose el líquido a la corriente de aire y mezclándose con ella. El líquido que está mezclado con aire termina saliendo por el extremo de la derecha pulverizado y con una gran velocidad, que adquiere al salir por un pequeño orificio. -Paradoja hidrodinámica: si soplamos por el tubo horizontal el papel o cartón sujetos por un simple alfiler acabaría por caerse. Sin embargo, ocurre lo contrario. Al soplar el cartón se adhiere más hacia su izquierda. Al soplar, el aire empieza a circular por el tubo horizontal. Al llegar a los dos estrechamientos de los tubos verticales puedo aplicar primero la ecuación de continuidad y como la sección disminuye la velocidad del aire en esas dos zonas aumenta. Si aplicamos ahora el efecto Venturi, es decir, que en el estrechamiento como la velocidad ha aumentado, la presión está disminuyendo.

Esa disminución de la presión hace que se provoque un efecto de succión en esa zona y ello a su vez hace que el cartón tienda a irse hacia la izquierda por la aparición de una fuerza en ese sentido y en consecuencia no se cae. -Trompas de agua-bombas de vacío el objetivo consiste en hacer el vacío dentro de una bolsa. Dejamos caer agua o aceite por el tubo vertical. Al llegar al estrechamiento del tubo puedo aplicar primero la ecuación de continuidad y como la sección disminuye la veloc...