Teoria DE Colas INV - Nota: 17 PDF

Preview

Summary

Teoria DE Colas INV...

Description

Agner Krarup Erlang

David G. Kenda Kendall ll

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

“Teoría De Colas” DOCENTE:

Ing. MORALES CHALCO, Osmart Raúl

INTEGRANTES: 

EUSTAQUIO PONCE, Elvis



MORAN QUISPE, Jesús



QUISPE AURIS, Lucero



QUISPE MUÑOS, Maricarmen

CAÑETE – PERÚ 2016 -B

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

INDICE DEDICATORIA AGRADECIMIENTO INTRODUCCIÓN I.

HISTORIA DE TEORÍA DE COLAS .................................................................................. 8 1.1

Agner Krupp Erlang (9878 – 1928) .............................................................................. 9

1.2

David G. Kendall......................................................................................................... 11

II.

DESCRIPCIÓN DE TEORÍA DE COLAS ........................................................................ 15

III

COSTO DE LINE DA ESPERA ........................................................................................ 16

IV

ESTRUCTURA DE TEORÍA DE COLAS ....................................................................... 20

4.1

Proceso de llegada ....................................................................................................... 20

4.2

Proceso de servicio...................................................................................................... 21

4.3

Disciplina de colas ...................................................................................................... 22

4.4

Tamaño de cola ........................................................................................................... 22

V

TIPOS DE MODELOS DE COLAS .................................................................................. 23 5.1

Una cola con un servidor ............................................................................................. 23

5.2

Una cola con múltiples servidores............................................................................... 23

5.3

Varias colas con varios servidores .............................................................................. 23

5.4

Una cola con servidores secuenciales ......................................................................... 24

VI

NOTACIÓN BÁSICA ....................................................................................................... 24

6.1

Nomenclatura .............................................................................................................. 24

6.2

Notación de Kendall .................................................................................................... 25

VII

LOS PROCESOS DE POISSON Y LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ................ 26

7.1

Papel de distribución exponencial ............................................................................... 26

7.2

Distribución de poisson ............................................................................................... 28

7.3

Distribución de Erlang ................................................................................................ 29

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B VII

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE PURO (RELACIÓN ENTRE LAS

DISTRIBUCIONES EXPONENCIALES Y DE POISSON) ..................................................... 30 8.1

Proceso de nacimiento puro ........................................................................................ 30

8.2

Proceso de muerte puro ............................................................................................... 32

IX CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE MODELO DE COLA ................................. 33

X

9.1

Modelo M/M/1 ............................................................................................................ 33

9.2

Modelo M/M/m ........................................................................................................... 40

9.3

Modelo M/D/1............................................................................................................. 44

9.4

Modelo M/M/1 CON FUNTE FINITA ....................................................................... 46

9.5

Modelo M/M/∞ ........................................................................................................... 50

SOFTWARE DE SIMULADOR (ARENA) ....................................................................... 52

CONCLUSIONES REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo a DIOS, por ser quien ha estado en nuestro lado en todo momento dándonos las fuerzas necesarias para continuar luchando día tras día y seguir adelante rompiendo todas las barreras que se nos presenta. A nuestras familias quienes han sido fuente de inspiración en especial a nuestros padres quienes con sus

sabios consejos

y sus experiencias

encaminaron por el camino del estudio.

nos

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

AGRADECIMIENTO

Nuestro principal agradecimiento está dirigido a DIOS, por darnos las fuerzas necesarias en los momentos en que más necesitamos y por bendecirnos con los mejores padres del mundo. A nuestros padres, por el apoyo incondicional en todo momento de nuestra vida. A los profesores de la Universidad Nacional del Callao quienes se esfuerzan cada día en brindarnos conocimientos necesarios para nuestra formación académica y profesional.

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

INTRODUCCIÓN Esperar que nos atienda es parte de la vida diaria, esperamos en los restaurantes, hacemos colas para abordar un bus, hacemos línea para que nos atienda en los hospitales, los trabajos esperan para ser procesa, los pedidos hacen cola para ser surtidos, y así sucesivamente. Como probablemente usted sabrá. El fenómeno de esperar no se limita a los seres humanos. Cola (o queue) es el término británico para cualquier tipo de cola de espera. Al ingeniero Danés A. K. Erlang se le atribuye haber sido el creador de la “teoría de colas” o también llamada por algunos autores como teoría de línea o fila de espera), a la que llego después de estudiar los conmutadores telefónicos en Copenhague, en la compañía telefónica Danesa. Desarrollo muchos de los resultados de colas de esperas que utilizamos actualmente. En el presente trabajo se analiza la forma analítica de la teoría de colas. Se comienza con la historia de teoría de colas y, después se describe la teoría de colas y se cita algunos ejemplos. También se analiza costos de línea de espera, seguidamente se describe la estructura de teoría de colas como el proceso de llegada, tiempo de servicio y la disciplina de colas. Luego se presenta los tipos de modelos de colas con sus respectivos ejemplos, también se presenta las notaciones básicas para comprender mejor las ecuaciones que se presenta en cada modelo, asimismo en esta apartado se presenta la notación de Kendal. Seguidamente se estudia las principales distribuciones de probabilidades que es necesario para la compresión de teoría de colas, estas distribuciones es: la distribución de Poisson y la distribución exponencial. Luego se analiza el proceso de nacimiento y muerte puro, que es la relación entre la distribución de Poisson y exponencial. Luego se presenta algunos modelos simples de colas, con sus respectivas ecuaciones y aplicaciones. Finalmente se presenta simulación sobre teoría de colas en el software “arena”. Los Autores

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

I.

HISTORIA DE TEORÍA DE COLAS El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo del ingeniero Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión Las colas o líneas de espera son un aspecto de nuestras vidas que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias como lo es un Banco, Cajeros automáticos, Elevadores, Súper mercados, etc. David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. La notación de Kendall para describir las colas y sus características puede encontrarse en Tijms, H.C,Algorithmic Analysis of Queues, Capítulo 9 en A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester, 2003. Ha sido desde entonces extendida a 1/2/3/(4/5/6) donde los números se reemplazan con: Un código que describe el proceso de llegada. Los códigos usados son: M para "Markoviano" (la tasa de llegadas sigue una distribución de Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos entre llegadas. D para unos tiempos entre llegadas "determinísticas". G para una "distribución general" de los tiempos entre llegadas, o del régimen de llegadas. Un código similar que representa el proceso de servicio (tiempo de servicio). Se usan los mismos símbolos. El número de canales de servicio (o servidores). La capacidad del sistema, o el número máximo de clientes permitidos en el sistema incluyendo esos en servicio. Cuando el número está al máximo, las llegadas siguientes son rechazadas. Un caso particular de esta situación es el modelo M/M/n/n o Erlang-B, en el cual no hay cola de espera, sino n recursos (servidores) y hasta n usuarios como máximo; si llega el usuario n+1, es rechazado. Este último modelo es el que se aplica en telefonía convencional.

8

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

Otro caso particular es el modelo Erlang-C o M/M/n, donde la capacidad del sistema es ilimitada, aunque haya sólo n recursos; en caso de llegar el recurso número n+1, pasará a una cola de espera, pero no es rechazado. El orden de prioridad en la que los trabajos en la cola son servidos: First Come First Served (FCFS) o First In First Out (FIFO) Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO) Service In Random Order (SIRO) Processor Sharing El tamaño del origen de las llamadas. El tamaño de la población desde donde los clientes vienen. Esto limita la tasa de llegadas.

.

FIGURA Nª 01 Línea de Espera

1.1 Ag

Erlang

ersidad de

Copen

graduó en

matem

mantuvo su

interés en las matemáticas y recibió un premio por un artículo que remitió a la Universidad de Copenhague. Fue miembro de la asociación danesa de matemáticas, por medio de la cual conoció a Johan Jensen, el ingeniero jefe de la Copenhagen Telephone Company (CTC), la cual era una subsidiaria de International Bell Telephone Company. Erlang trabajó por casi 20 años para CTC, desde 1908 hasta su muerte en Copenhague en 1928.

9

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

Mientras trabajó para la CTC, a Erlang se le presentó el problema clásico de la determinación

de

cuántos circuitos eran necesarios para proveer

un

servicio

telefónico

aceptable. Erlang puso manos a investigando

la obra

directamente

el

problema. El realizó medidas en terreno y era un experto en la historia y el cálculo de las tablas numéricas de algunas

funciones

matemáticas,

particularmente logarítmicas.

FIGURA Nª 02 Agner Krupp Erlang

Erlang desarrolló su teoría del tráfico telefónico a través de varios años. Entre sus publicaciones más importantes sobre la materia, se encuentran: En 1909 – “La teoría de las probabilidades y las conversaciones telefónicas”, la cual demostró que la Distribución de Poisson se aplica para tráfico telefónico aleatorio. En 1917 – “Solución de algunos problemas en la teoría de probabilidades de importancia en centrales telefónicas automáticas”, el cual contiene su fórmula clásica para el cálculo de pérdidas y tiempos de espera. Un compendio de sus trabajos fue publicado posteriormente por la Copenhaguen Telephone Company en 1.948. El interés por su trabajo continuó después de su muerte y hacia 1944 el “Erlang” era usado en los países escandinavos para denotar la unidad de tráfico telefónico. Esta unidad de medida fue reconocida internacionalmente al final de la segunda guerra mundial. También una distribución estadística y un lenguaje de programación (listados abajo), han sido nombrados en su honor.

10

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

FIGURA Nª 03 Copenhaguen Telephone Company

1.2 David G. Kendall

David Kendall

fue

una figura

líder

en

probabilidad y estadística, y un pionero en probabilidad aplicada, análisis estocástico y geometría, y asocia el análisis estadístico. A través de su propia investigación y la de sus estudiantes en OxFord y Cambridge, fundó la moderna teoría de la probabilidad en el Reino Unido. Con su reciente muerte, hemos perdido a otro de la gran generación de estadísticos que abarcó el siglo XX. Kendall’s aptitudes e intereses eran amplias. Su intención como un estudiante de matemáticas que se convertiría en un astrónomo.

FIGURA Nª 04 David G. Kendall

La guerra intervino y, tras la desmovilización, se trasladó al campo en desarrollo de modelado probabilístico y análisis. Haciendo uso de sus habilidades matemáticas excepcionales, se identifican y resuelven problemas en muchas áreas, incluyendo la modelación de la población, los procesos de ramificación, teoría de colas, procesos de Markov, análisis estocástico, así como la geometría y el análisis estadístico de los datos geométricos.

11

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

Él emprendió importantes posiciones de liderazgo dentro de la comunidad estadística y matemáticas, incluso siendo el primer Catedrático de Estadística matemática en la Universidad de Cambridge desde 1962 a 1985, y el Presidente de la sociedad Bernoulli de Estadística y Probabilidad Matemática en su inauguración en 1975. David Kendall nació en Ripon, el 15 de enero de 1918, el hijo de Fritz Ernest Kendall y Emmie Taylor. Permaneció fiel a sus raíces de Yorkshire, gastando frecuentes vacaciones allí en etapas posteriores de la vida. Fue influenciado como un adolescente por George Viccars, el maestro de matemáticas superiores en Ripon Grammar School. Su interés por la astronomía se desencadenó a principios de la década de 1930 por una serie de conversaciones de radio por James Jeans. Se dio cuenta de que era una fuerte base matemática David Kendall asistió Ripon Grammar School y luego entró en el Queen ’s College, Oxford. Obtuvo su maestría en 1943, pero él ya había participado en la guerra. Durante los años de la II Guerra Mundial Kendall trabajó como un oficial experimental con el Ministerio de suministro desde 1940 hasta el final de la guerra en 1945. Otros matemáticos como Rogers celebraron también puestos similares con el Ministerio de Alimentación. En 1946 Kendall fue elegido miembro del Magdalen College, Oxford y nombró a un profesor de matemáticas. Pasó el año académico 1952-53 en los Estados Unidos como profesor visitante en la Universidad de Princeton. Luego en 1962 Kendall fue nombrado Profesor de Estadística matemática en la Universidad de Cambridge. Al mismo tiempo fue elegido Fellow del Churchill College de Cambridge. Kendall celebrada esta cátedra de Estadística matemática hasta que se jubiló en 1985 y que se convirtió en profesor emérito. Él también hizo un becario emérito de Magdalen College, Oxford en 1989. Kendall es una de las principales autoridades mundiales en aplicada Probabilidad Y el análisis de datos. Ha escrito sobre geometría estocástica y sus aplicaciones, y la teoría estadística de la forma. Su trabajo reciente incluye dos artículos Cómo mirar los objetos en un espacio en forma de cinco dimensiones (1994-95) y la estructura de Riemannian forma euclidiana espacios: un novedoso entorno de estadística (1993).

12

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

Ha recibido numerosos honores y premios por su destacada labor en estas áreas de estadística matemática incluyendo el chico medalla de plata de la Royal Statistical Society en 1955 y la Medalla de Oro de la Royal Statistical Society en 1981. También fue galardonado con el Weldon Premio Conmemorativo y la Medalla de la ciencia biométrica de la Universidad de Oxford y la Universidad de Princeton en 1974 le otorgó su WilksPremio en 1980. Un excepcional profesor, Kendall ha sido el De Larmor Conferencista en la Sociedad Filosófica de Cambridge en 1980, el Milne Conferencista en Wadham College, Oxford en 1983, la movilidad conferencista en la Universidad de Carolina del Norte en 1985, la Rietz Profesor en el Instituto de Estadística matemática en 1989 y la Kolmogorov Profesor en la Bernoulli Sociedad de Estadística matemática y la probabilidad en 1990. En 1964, Kendall fue elegido Fellow de la Royal Society of London y sirvió en el Consejo de dicha sociedad durante 1967-69 y posteriormente un segundo hechizo durante 1982-1983. Los Royal Society premiados Kendall su Sylvester Medalla en 1976. Él era el presidente de la 56 London Mathematical Society durante 1972 a 1974 y London Mathematical Society le otorgó su Whitehead Premio en 1980 y su De Morgan medalla en 1989. Sin embargo, no es sólo la London Mathematical Society que ha elegido a Kendall a ser su presidente. También ha sido presidente de la Bernoulli Sociedad de Estadística matemática y la probabilidad en 1975 y de las secciones de Matemáticas y Física de la Asociación Británica en 1982. Él también ha recibido un número de grados honoríficos para marcar sus destacadas contribuciones a la estadística. Por ejemplo, fue elegido miembro honorario de la Academia Rumana en 1992 y ha recibido grados honorarios de la Universidad René Descartes de París (1976) y de la Universidad de Bath (1986). Kendall ha sido editor conjunta de un número importante de obras, incluyendo las matemáticas en las ciencias históricas y arqueológicas (1971), Análisis Estocástico (1973), el indicador Estocástico Geometría (1974), analítica y geométrica estocásticos (1986).

13

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

FIGURA Nª 05 Notación de Kendall

14

INVESTIGACION DE OPERACIONES I – UNAC – FIIS – EPII – VII – 2016 - B

II.

DESCRIPCIÓN DE TEORÍA DE COLAS La teoría de colas llamada también línea de espera, es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistema de líneas de espera particulares o sistema de colas. Un sistema de colas se puede ...