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TEMA 6: TEORÍA DE COLAS 1. Teoría de colas Sistemas de colas 

Características principales

Modelos de gestión de colas Ejemplos de aplicación ¿Por qué son las colas importantes? Están por todas partes  

Producción Servicios

Si están bien gestionadas son una ventaja competitiva porque le da valor: Satisfacción del cliente (valor para el cliente) Flexibilidad Ingresos extra Demanda > Capacidad

>(servicio)

Buscar el nivel optimo de servicios donde los costes de espera y los costes de servicio son menores. Colas: Balance de colas

Si sumamos ambos costes encontramos los costes combinados.

1

Análisis de costos de la línea de espera: caso Three Rivers Shipping

El total de horas-barco perdidas viene de la multiplicación del nº horas promedio de espera y de llegada

2. SISTEMA DE COLAS: (pedir dibujo sonia)

Llegadas = Fuentes de entradas por donde llegan los clientes. Cola de espera = Sistema de colas, donde se van esperando 1 a 1 los clientes. La Disciplina de cola = servidor  Forma de entrada El sistema de colas es el conjunto de la cola de espera + servidor mecanismo (relleno azul) y es lo que realmente analizamos. Fuente de entrada . Sistema de colas. Disciplina de cola. mecanismo de SERVICIO . salida del sistema . Servidor . cola . Cliente Sistema de colas = Llegadas,  La población, que puede ser finita o infinita

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CARACTERÍSTICAS DE LAS LLEGADAS Tamaño de la población fuente (mida) Finita (cuando un cliente necesita un servicio la probabilidad de que otra persona lo necesite no varia) Infinita  El numero de clientes o llegadas disponibles es una pequeña porción de las llegadas potenciales. Patrón de llegadas Aleatorio (distribución, van llegando aleatoriamente) o determinista (fabrica que se distribuyen las piezas) 

Distribución Poisson es la frecuente. o Probabilidad de x llegadas por unidad de tiempo. o Tasa de llegadas promedio por unidad de tiempo (λ)

Comportamiento de las llegadas CARACTERÍSTICAS DE LAS COLAS Longitud Finita (una peluquería) Infinita (podemos acumular tantos clientes como convengan, como una autopista) Disciplina de cola FIFO (primera entrada, primera salida)  Esta es la más habitual. LIFO (última entrada, primera salida) Prioridad  Por ejemplo en Urgencias de un Hospital ... La configuración será de Cola única o múltiples colas CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE SERVICIO O SERVIDORES Configuración básica: Sistema de un solo canal (servidor único) o sistema multicanal (múltiples servidores) Sistema de una sola fase o sistema multifase ► Patrón de servicio:

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Aleatorio (distribución  si vas al banco no sabes cuanto vas a esperar) o determinista (maquina de café, sabes cuanto va a tardar en hacerse) • Distribución de probabilidad exponencial

Ejemplo de sistema de colas: 1. En serie (multifase)

2. Varios servidores en paralelo (multicanal)

3. Sistemas de colas más sofisticados

3. NOTACIÓN DE KENDALL A/B/c A: Distribución de tiempos entre llegadas B: Distribución de tiempos de servicio c: Número de servidores Se utiliza la siguiente notación para A y B: M: distribución exponencial (markoviana)

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D: tasa constante (determinística) G: distribución general con media y variancia conocidas

Ejemplo:

4. GESTIÓN DE COLAS Gestión de Colas Información sobre el sistema de colas Toma de decisiones para el diseño óptimo de los sistemas de colas  número de servidores  eficiencia de los servidores  número de instalaciones de servicio  calidad del servicio Objetivos de la gestión de colas Minimización del tiempo de espera Minimización de los costes totales de funcionamiento del sistema. Medidas del sistema Calidad de servicio Datos λ = número medio de llegadas por periodo de tiempo. μ = número medio de personas/productos que se atienden por periodo de tiempo. - Medidas del sistema Para el cliente tiempo medio de espera en la cola = Wq tiempo medio de estancia en el sistema = Ws

5

Para el sistema numero medio de personas en la cola= Lq  numero medio de personas en el sistema = Ls porcentaje de ocupación de los servidores = Pw Probabilidad que hayan x personas en el sistema = Px Representación de un sistema de Colas

5. MODELO DE COLAS SIMPLE (M/M/1) La 1 M es de Markovia, Modelo de colas simple (M/M/1)  Las llegadas se distribuyen según una Poisson, el tiempo de servicio es exponencial y solo hay 1 servidor llegada en Poisson de una población infinita Las llegada son independientes, con tasa constante (λ) La probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo: (

)

Cliente

Llegada

Salida

 Sistema

= espera + servicio

1

9:00

9:02

2

0+2

2

9:03

9:08

5

0+5

3

9:05

9:10

5

3+5

6

4

9:07

9:14

7

3+4

5

9:16

9:20

4

0+4

Total  23/5 = 4,6 6/5 = 1,2 El 1 cliente dura 2 minutos (sistema)  la espera ha sido de 0 porque ha llegado a las 9 y el servicio ha durado 2 minutos El cliente 2 dura 5 minutos (sistema)  la espera es de 0 minutos porque no hay nadie cuando llega + su durada de servicio El cliente 3 dura 5 minutos (sistema)  la espera es de 3 minutos porque llega antes de que salga el segundo cliente y se espera 5 minutos más. = 8 minutos Dibujo a mano Sonia

Modelo de colas simple (M/M/1) tiempos de servicio exponencialmente distribuidos Los tiempos de servicio son independientes entre sí, pero su tasa promedio es constante 1/μ es el tiempo medio de servicio de un cliente. La probabilidad de que el tiempo de servicio sea inferior a t es: (

)

Condiciones el numero de llegadas por unidad de tiempo   distribución de Poisson tiempos de servicio   distribución exponencial tasa media de llegada es menor que la tasa media  del servicio (λ < μ , si esto no pasa tendería ha hacer una cola infinita) disciplina: FIFO población potencial infinita (clients potencials que podien requerir un servei) tamaño potencial de la cola es infinito (no hay limitaciones de cola, un ejemplo claro seria en las autopistas los peajes) un único canal de servicio λ : Tasa de llegadas = número media clientes / unidad de tiempo (examen)   Llega 1 cliente cada 10 minutos 7

μ : Número medio clientes / unidad de tiempo

MODELO DE COLAS (No cal aprenderlas para el examen)  dará formulario

El coste de espera normalmente se mesura con alguna de estas formulas

EJEMPLO : Modelo de Colas Simple La empresa Totnet S.A. está rediseñando su Túnel del Lavado y quiere saber cuantas plazas de estacionamiento tiene que disponer. En el túnel solo se atiende a un automóvil por vez. Se ha observado que llegan en media 5 automóviles por hora con una distribución de Poisson. El tiempo de lavado por automóvil varía, aunque en media se tardan 10 minutos por automóvil, siguiendo una distribución exponencial. Primero miramos que formula es la que necesitas (Te interesa saber el número medio en la cola) 5 auto/hora 1 auto/10 min = 6 autos/hora ( )

=

( )

8

Ejemplo La empresa Totnet S.A. 

Datos:

Resultados

La medida que estamos interesados es 4,2. La solución son 5 plazas de parking. (porque no tiene sentido coger 4,2 parkings, siempre tiramos al alza, en este caso 5, porque si cogiéramos 4 estaríamos perdiendo 1 plaza) Ejemplo La empresa Totnet S.A. analiza la posibilidad de comprar un túnel de lavado mas rápido (8 minutos por coche)

Resultados:

¿Cuántas plazas de parking? En este caso el número medio de personas sería de 1,3 y por lo tanto cogeríamos hasta 2 plazas

9

10

6. MODELO DE COLAS MULTICANAL Modelo de colas multicanal (M/M/k) Tasa de llegada inferior a la tasa agregada de servicio. 

Tenemos más servidores, pero contamos que son igual de eficientes

Condiciones:  

las condiciones anteriores la tasa individual de cada canal o servidor es la misma.

Datos k = número servidores (idénticos). λ = número medio de llegadas por periodo de tiempo. μ = número medio de personas/productos que se atienden por periodo de tiempo.

Condiciones el numero de llegadas por unidad de tiempo  • distribución de Poisson (λ) tiempos de servicio de cada servidor  • distribución exponencial (μ) tasa media de llegada es menor que la tasa media  agregada del servicio (λ < kμ) disciplina: FIFO población potencial infinita tamaño potencial de la cola es infinito k canales de servicio idénticos Modelo de Colas Multicanal Factor de utilización

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Probabilidad de que haya 0 clientes en el sistema: Para M/M/2(K)

(

( )

)

Número medio de clientes en el sistema

( ) ( )

Número medio de clientes en la cola

Tiempo medio en el sistema

Tiempo medio de espera en la cola

EJEMPLO: fusión de bancos Una ciudad pequeña tiene dos agencias bancarias pertenecientes a bancos diferentes. Estos bancos deciden fundirse en uno solo, y el gerente está pensando en eliminar una de las agencias. Los clientes en ambas agencias tienen una tasa de llegada de 10 por hora, y tardan en promedio 8 minutos en atender a cada cliente.  En cada agencia siempre hay dos empleados atendiendo a los clientes.  Que sale más a cuenta, ¿1 sucursal con los 4 empleados o mantener las 2 sucursales? Antes de la fusión:

* 60min/1hora = 7,5 clientes / hora

12

k=2 Para M/M/2 

7,5 k=2

Después de la fusión

7,5 clientes/hora

Para M/M/4 

k=4

Aplicamos formula…

(

(

)

)

( (

)

)

sit. actual (individ.)

sit. actual (conjunta)

situació

fusió

3 empl.

4 empl.

(clientes en cola) Lq

1,067

2,134

6,380

0,757

(clientes sistema) Ls

2,400

4,800

9,046

3,424

(tiempo en cola) Wq

0,107

0,107

0,319

0,038

(tiempo en sistema) Ws

0,240

0,240

0,452

0,171

(factor de utilización) Pw

0,666

0,666

0,888

0,666

(probab. 0 clientes) P0

0,200

0,040

0,028

0,060

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7. MODELO DE COLAS M/D/1 Modelo de colas con tiempo de servicio constante Los tiempos de servicio constante se usan cuando los clientes o las unidades se procesan de acuerdo con un ciclo fijo Los valores de Lq, Wq, L y W siempre son menores de lo que serían en modelos con tiempo de servicio variable Número medio de clientes en la cola

Tiempo medio de espera en la cola

Número medio de clientes en el sistema

Tiempo promedio en el sistema

Ejemplo: ONvas recycling La compañía ONvas recolecta y compacta botellas de vidrio. Los camiones llegan a una tasa promedio de 8 por hora (Poisson). Los conductores esperan 15 minutos aproximadamente antes de vaciar sus cargas Una máquina automática nueva procesa la carga de los camiones a una tasa constante de 12 por hora = llegan 8 usuarios/hora = 12 usuarios/hora atendidos

M/D/1

k=1

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Análisis de tiempos Longitud promedio de la cola: Lq= 0.667 Número promedio de clientes en el sistema: Ls= 1.33 Tiempo de espera promedio en la cola: Wq= 0.083 Tiempo promedio de permanencia en el sistema:  Ws= 0.17

ANALISIS DE COSTES El costo de conductores y camiones es de $60 por hora El nuevo compactador se amortizaría a $3 por camión descargado. Costo de espera actual/viaje =(1/4 h. tiempo de espera)*($60/cost*hora) = $15/viaje Costo de espera nuevo sistema/viaje = Wq* ($60/costo*h.)= 0.0833*60 = $5/viaje Costo total nuevo sistema/viaje = espera + amortización = =5+3=8 Ahorros netos= 15 – 8= $7/viaje 8. MODELO DE POBLACIÓN FINITA (M/M/1 CON FUENTE FINITA) Cuando existe una población limitada de clientes potenciales, los modelos de colas son diferentes. Ahora existe una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la tasa de llegadas. El modelo se basa en los siguientes supuestos: 1. Solo hay un servidor. 2. La población de unidades que buscan servicio es finita. 3. Las llegadas siguen una distribución de Poisson y los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. 4. Los clientes son atendidos con base en el principio de primero en llegar primero en atenderse.

= tasa de llegadas promedio = tasa de servicio promedio N = tamaño de la población

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1. . Probabilidad de que el sistema esté vacío:

2. Longitud promedio de la cola:

3. Número promedio de clientes (unidades) en el  sistema:

4. Tiempo de espera promedio en la cola:

5. Tiempo promedio en el sistema:

6. Probabilidad de n unidades en el sistema:

EJEMPLO DEPARTAMENTO DE COMERCIO El Departamento de Comercio tiene 5 impresoras y cada una necesita reparación después de 20 horas de trabajo, aprox. Los fallos tienen una distribución de Poisson. El técnico puede dar servicio a una impresora en un promedio de 2 horas, siguiendo una distribución exponencial.

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Por lo tanto:  = 1/20 = 0.05 impresoras/hora  = 1/2 = 0.50 impresoras/hora

Si los costos de los tiempos sin servicio de impresora son de $120 por hora y al técnico se le pagan $25 por hora, el costo total es: Costo Total por hora = (Número promedio de impresoras fuera de servicio)* (costo por hora fuera de servicio) + costo por hora de técnico = = (0.64)($120) + $25 = $101.80 CAMBIO DE LAS CARACTERÍSTICAS OPERACIONALES Coste espera = Coste * medida Una vez analizado el sistema, quizás se pueda alterar para mejorarlo: Tasa de llegada de los clientes Número y tipo de servidores Cambio del número de fases Mejora de la eficiencia del servicio Cambios en las reglas de prioridad Cambiar el número de colas Mejorar las condiciones de la espera

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Tipos de Colas: Conjunta vs Especializada

Tipos de Servidores: Rápido vs Lento

Simulación de colas: Uso de Simulación en la gestión de colas  Ejemplo: modelo de colas multicanal http://highered.mcgrawhill.com/sites/dl/free/0072983906/83816/WaitingLine.html

TEORÍA DE COLAS Las colas y líneas de servicio son parte importante del mundo de los negocios. Una buena gestión de colas tiene un fuerte impacto en el servicio al cliente ya que es un factor de ventaja competitivo de la empresa. Existe una variedad de modelos de gestión de colas. Podemos calcular los tiempo medios de espera, número medio de clientes y las tasas de utilización de los servidores. También, se puede utilizar simulación para determinar estos valores.

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