Teoria mat2 k1 PDF

Preview

Summary

Teoria z matematyki...

Description

1. Funkcja pierwotna Funkcję nazywamy funkcją pierwotną f(x) w przedziale X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x∈ X F’(x)=f(x). Podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, to również funkcją pierwotną jest funkcja F(x)+c, gdzie c jest dowolną stałą. Każdą funkcję pierwotną G(x) funkcji f(x) można przedstawić w postaci G(x)= F(x) + c0 , gdzie c0=odpowiednia stała 2. Całka nieoznaczona Całką nieoznaczoną z funkcji f(x) nazywamy rodzinę jej funkcji pierwotnych.

∫ f ( x ) dx = F ( x ) +c 3. Całka oznaczona Riemanna, Ciąg normalny podziałów (!) Załóżmy, że funkcja f(x) jest określona i ograniczona w przedziale : a= a0 < a1 < a2 < … < an-1 < an =b , , … , Δx1

Δx2

Δxn

z każdym przedziałem związana jest długość Δx1= a1 - a0

Δx2= a2 - a1

Δxn= an - an-1

średnica podziału przedziału ma n podprzedziałów max Δxi 1≤i≤n Ciąg podziału przedziału nazywamy ciągiem normalnym podziału wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu ciąg średnic dąży do 0. średnica- długość największego podprzedziału , , … ,

ξ1

ξ2

ξn

Suma całkowa Riemanna: n

f(ξ1) Δx1 + f(ξ2) Δx2 + … + f(ξn) Δxn =

∑ f (ξi) Δxi i=1

Definicja: Jeżeli dla dowolnego normalnego ciągu podziału przedziału odpowiadający mu ciąg sum całkowych Riemanna dąży do tej samej granicy niezależnie od sposobu wyborów punktów ξ, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną Riemanna z funkcji f w przedziale b

i oznaczamy symbolem ∫ f ( x ) dx , gdzie a

a- dolna granica całkowania, b- górna granica całkowania

4. Twierdzenie Newtona-Leibniza Jeżeli F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną ciągłej funkcji f(x) b

w przedziale to ∫ f ( x ) dx = F(b) - F(a) a

5. Wzór na całkowanie przez części dla całek nieoznaczonych: Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne, to prawdziwy jest wzór:

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx =u ( x ) v ( x )−∫ v ( x ) u' ( x ) dx

dla całek oznaczonych: Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale ciągłe pochodne, to prawdziwy jest wzór:

b

b

a

a

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx=[ u ( x ) v ( x ) ] ab - ∫ v ( x ) u' ( x ) dx [�(x)]

b a

= �(b)- �(a)

6. Wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek nieoznaczonych: Jeżeli funkcja g(x) posiada w pewnym przedziale pochodną ciągłą i przekształca ten przedział, na przedział, na którym określona jest ciągła funkcja f, to prawdziwy jest wzór:

∫ f ( g ( x ) ) g'( x ) dx = ∫ f ( t ) dt 1.t=g(x)

2.liczymy obustronną różniczkę funkcji 3.dt=g’(x)dx

różnica funkcji – iloczyn pochodnej funkcji i przyrostu jej argumentu dla całek oznaczonych: Jeżeli funkcja g(x) posiada w przedziale ciągłą pochodną i przekształca ten przedział na przedział , na którym określona jest ciągłą funkcja f(x), to: b

β

∫ f ( g ( x )) g ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt '

a

α

7. Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego ∞

Jeżeli szereg liczbowy o wyrazie ogólnym an ( ∑ an ) n=1

jest szeregiem zbieżnym, to Jeżeli

lim an n →∞

lim an n →∞

=0

≠ 0, to szereg ten jest szeregiem rozbieżnym

Jeżeli

lim an n →∞

=0, to szereg ten może być szeregiem zbieżnym

8. Kryterium całkowe Cauchy'ego-Maclaurina (o wyrazach dodatnich) Jeżeli f(x) jest dodatnia i malejąca w przedziale 0 n=1

an+1 n →∞ a n

Jeżeli istnieje granica

lim

= q, to szereg jest szeregiem

-zbieżnym, gdy q1.

12. Kryterium Leibniza (badania zbieżności szeregów naprzemiennych) (o wyrazach nieujemnych) ∞

∑ (−1)n+1 an , an≥0 n=1

Jeżeli dla każdego n, an≥an+1 i zbieżny.

lim an n →∞

=0, to szereg jest...