Teoría y Práctica TH n P Mc Nemar, Test del Signo, y K-S para dos muestras PDF

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►TP8.1-2 Test de Hipótesis no Paramétricos para Muestras relacionadas y Dos muestras ► Nro. 5:Test de McNemar para la significación de cambios ► Nro. 6: Test de los Signos ► Nro. 14: Test de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras

1

TABLA de CONTENIDOS 

Test de McNemar para la significación de cambios..............................................................3

1.

Tipo de TH nP............................................................................................................................ 3

2.

¿Cuándo se usa? - Tipo de diseño..........................................................................................3

3.

Notación y Función del TH nP.................................................................................................3

4.

Procedimiento analítico detallado...........................................................................................3

4.1. Corrección por continuidad.......................................................................................................... 4 4.2. Caso muestras chicas (y muy chicas)........................................................................................4 5.

Modelo/s de Aplicación propio/s completo/s y detallado/s (con imagen del Modelo)........4

5.1 Caso frecuencias esperadas chicas.............................................................................................5 6.

Resumen del Procedimiento del TH nP..................................................................................6

7.

Poder o Potencia del TH nP:....................................................................................................6

7.1. Comparación de la eficiencia con otros TH nP..........................................................................6 ► Test del Signo para dos Muestras Relacionadas..........................................................................8 1.

Tipo de TH nP :.......................................................................................................................... 8

2.

¿Cuándo se usa? - Tipo de diseño..........................................................................................8

3.

Notación y Función del TH nP.................................................................................................8

4.

Procedimiento analítico detallado:..........................................................................................8

4.1

Caso muestras pequeñas........................................................................................................ 8

4.1.1.

Relación con la Expansión Binomial...................................................................................8

5.

Cómo se tratan los “scores empatados”................................................................................9

6.

Caso muestras grandes...........................................................................................................9

7.

Modelo/s de Aplicación propio/s completo/s y detallado/s...................................................9

7.1. Caso frecuencias esperadas chicas. Modelo 1 : Comparación de diferencias de dos juegos de moldes para soplado de envases PET, de un Proveedor Local y un Proveedor Alemán..........9 7.1.1. Relación con la Expansión Binomial......................................................................................10 7.1.2 Gráfico/s..................................................................................................................................... 10 7.2. Caso frecuencias esperadas chicas..........................................................................................11 Modelo 2: Los juegos de construcción en los niños.......................................................................12 7.3. Para muestras grandes: Modelo: Análisis de la influencia de la acciones para mejora del clima laboral, en la valoración que cada empleado asigna a la Empresa.....................................14 7.3.2 Gráfico/s..................................................................................................................................... 16 8.

Resumen del Procedimiento del TH nP................................................................................17

9.

Poder o Potencia del TH nP:..................................................................................................17

► Test de Kolmogorov-Smirnov (K-S) para dos Muestras.............................................................18 1.

Tipo de TH nP :........................................................................................................................ 18

2.

¿Cuándo se usa? - Tipo de diseño........................................................................................18

2

3.

Notación y Función del TH nP...............................................................................................18

4.

Procedimiento analítico detallado:........................................................................................18

4.1

Caso muestras pequeñas......................................................................................................19

4.2

Caso muestras grandes: prueba de dos colas.....................................................................19

4.3

Caso muestras grandes: prueba de una cola.......................................................................19

5.

Resumen del Procedimiento del TH nP................................................................................20

6.

Poder o Potencia del TH nP:..................................................................................................20

7.

Modelo/s de Aplicación propio/s completo/s y detallado/s.................................................21

7.1. Modelo N°1: Caso muestras pequeñas. Incidencia del temperamento en la cantidad de hormona de crecimiento estimulada por un medicamento suministrado a dos grupos de personas.............................................................................................................................................. 21 7.2 Modelo N°2: Muestras grandes. Análisis de la proporción de defectos que presentan dos proveedores de etiquetas.................................................................................................................. 24 Anexo Tablas:..................................................................................................................................... 27 Tabla 1: Tabla de Distribución Binomial...........................................................................................27 Tabla 2: Distribución Normal............................................................................................................. 28 Tabla 3 de Valores críticos de la distribución ji cuadrada...............................................................29 Tabla 4. Binomial utilizada para valores pequeños en test de Mc Nemar......................................30 Tabla 5. Tabla LI prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 1era parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa unidireccional)...............................................................................31 Tabla 6. Tabla LI prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 2da parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa unidireccional)...............................................................................32 Tabla 7. Tabla LI prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 3era parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa unidireccional)...............................................................................33 Tabla 8. Tabla LI prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 4ta parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa unidireccional)...............................................................................34 Tabla 9. Tabla LII prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 1ra parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa bidireccional)..................................................................................35 Tabla 10. Tabla LII prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 2da parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa bidireccional)..................................................................................36 Tabla 11. Tabla LII prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 3ra parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa bidireccional)..................................................................................37 Tabla 12. Tabla LII prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 4ta parte (para evaluar la hipótesis nula vs la alternativa bidireccional)..................................................................................38 Bibliografía Consultada..................................................................................................................... 39 Páginas Web Consultadas:................................................................................................................ 39 Soft´s utilizados:................................................................................................................................. 39

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

Test de McNemar para la significación de cambios 1. Tipo de TH nP Este test se utiliza cuando tenemos dos muestras relacionadas

2. ¿Cuándo se usa? - Tipo de diseño Es particularmente aplicable a los diseños “antes-después”, en los cuales cada sujeto se utiliza como su propio control y en los que las mediciones se realizan ya sea en escala nominal u ordinal. Puede emplearse para probar la efectividad de un tratamiento en particular, sobre las preferencias de los votantes acerca de los candidatos, etc. En estos estudios las personas pueden servir como su propio control y la escala nominal (o de categorización), se utiliza de manera adecuada para evaluar el cambio “antes-después”. 3. Notación y Función del TH nP El Test de Mc Nemar se utiliza con los diseños “Antes – Después”, donde cada sujeto es usado como su “propio control”; y cuando los datos pertenecen a la escala nominal u ordinal. 4. Procedimiento analítico detallado Para testear la significación de cambios se arma una tabla de 2 x 2 de frecuencias, para representar el primer y segundo conjunto de respuestas, de los mismos individuos. Después Antes

+ -

A C

+ B D

Celdas que muestran cambios: A: denota el número de individuos que respondieron + en la primera medición y – en la segunda D: denota el número de individuos que respondieron - en la primera medición y + en la segunda Celdas que no muestran cambios: B: denota el número de individuos que respondieron + en la primera medición y + en la segunda C: denota el número de individuos que respondieron - en la primera medición y - en la segunda A + D Total de personas cuyas respuestas cambiaron. H0: el número de cambios en cada dirección es el mismo. Entonces esperaríamos que (A+D)/2 personas cambiaran de + a – y (A+D)/2 personas cambiaran de - a +. Recordemos

(Oi −Ei ) Ei i=1 k

χ 2 =∑

Ecuación 1. Oi: Número de casos observados en la iésima categoría Ei: Número de casos esperados en la iésima categoría cunado H0 es verdadera. K=número de Categorías

4

(Oi −Ei ) Ei i=1 k

χ 2 =∑

A+D 2 ¿ ¿ ¿2 ¿ 2 χ =¿

A +D 2 ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿

A−

D−

+

Desarrollando y reduciendo se tiene: 2

( A−D ) χ= A+ D 2

con gl = 1

Ecuación 2. 4.1. Corrección por continuidad Como la distribución de χ 2 es continua, y necesitamos aproximarnos a una distribución discreta, es necesaria la corrección por continuidad. Cuando las frecuencias esperadas son pequeñas, la aproximación puede ser muy pobre. El propósito de la corrección por continuidad (Yates), es eliminar esta fuente de imprecisión.

(| A−D|−1) A+D

2

χ 2= 2

2 c

con gl = 1

Ecuación 3. crítico proporcionado por la Tabla 3, podemos rechazar la hipótesis acerca de

Si χ ≥ χ que los cambios en cada dirección son los mismos.

4.2. Caso muestras chicas (y muy chicas) Si la frecuencia esperada de la prueba de Mc Nemar (A+D)/2 es menor a 5, se debe utilizar la prueba binomial. N deberá ser la suma de las celdas A y D. X será la más pequeña entre las frecuencias observadas A y D, y se utilizará la Tabla 4

5. Modelo/s de Aplicación propio/s completo/s y detallado/s (con imagen del Modelo).

5

5.1 Caso frecuencias esperadas chicas

Dentro del área de tecnología específicamente en Inteligencia de negocio se ha realizado una inversión de recursos para la mejora de procesos de actualización se información. Con dicho escenario se quiere poder medir cuales eran los tiempos de procesamiento antes de la aplicación de mejora y luego de la misma.

I.

Hipótesis Nula H0: entre los cambios de tiempos de procesamiento, la probabilidad de que de los cambios en el proceso A serán los mismos cambios en el proceso B. H0: Tiempo de Procesamiento [Proceso A Proceso B] = Tiempo de Procesamiento [Proceso B Proceso A] Hipótesis Alternativa H1: hay un cambio diferencial luego de aplicada la mejora en los procesos A y B. H1: Tiempo de Procesamiento [Proceso A Proceso B] ≠ Tiempo de Procesamiento [Proceso B Proceso A] Tiempos de Tiempos de Procesamiento Antes Procesamiento Antes 24 horas (+) 7 horas (-) 8 horas (-) 10 horas (+)

Proceso A Proceso B II.

III.

Prueba estadística: se selecciona la prueba de McNemar para la significación de los cambios, ya que el estudio utiliza dos muestras relacionadas (los mismos sujetos medidos en dos ocasiones); esta prueba es de tiempo antes y después y utiliza medidas nominales. Nivel de significación α = 0.05 A + D Total de tiempo de procesamiento que se ha modificado entonces (24 + 10) /2 = 34 2

2

χ=

( A−D ) A+ D

con gl = 1

Reemplazando: 2

χ 2=

(24 −10 ) =5.76 (Ecuación 2) 24+ 10

6

Tabla 3 El valor crítico según la tabla C con gl = 1 para 0.05 es 3.84. En el modelo X2 = 5.76 con lo cual es > a 3.84 podemos rechazar la hipótesis acerca de que los cambios en cada dirección son los mismos H0. Lo que interesa mostrar en este modelo es que luego de la aplicación de la mejora los tiempos de procesamiento han cambiado. 6. Resumen del Procedimiento del TH nP Los pasos para el cálculo de la prueba del cambio de McNemar son: 1. Presente las frecuencias observadas en una table de 2x2. 2. Determine el número total de cambios A+D. Si el total es menor a 10 utilice la prueba binomial en lugar de la prueba de McNemar. 2 3. Si el número total de cambios es mayor de 10, calcule χ con ecuación 3. 4. Determine la probabilidad asociada con el valor tan grande como el valor de

χ2

recurriendo a la tabla 4.Si utiliza la prueba de una cola, divida el valor de la probabilidad que proporciona la tabla. Si el valor

χ 2 (observado)≥ χ c2 crítico proporcionado por la Tabla,

entonces rechace H0. 7. Poder o Potencia del TH nP: 7.1. Comparación de la eficiencia con otros TH nP Cuando se utilizan medidas nominales, no existen alternativas con las cuales comparar con la prueba de McNemar.

7

Cuando las medidas y otros aspectos de los datos son tales que es posible aplicar la prueba paramétrica t, tanto la prueba de McNemar como la prueba binomial tienen una potenciaeficacia de alrededor del 95% para A+D=6; la potencia-eficacia va decreciendo conforme A+D es más pequeña y se vuelve asintótico en el nivel 63%.

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► Test del Signo para dos Muestras Relacionadas 1. Tipo de TH nP: Este test se utiliza cuando tenemos dos muestras relacionadas

2. ¿Cuándo se usa? - Tipo de diseño La prueba de los signos es aplicable al caso de dos muestras relacionadas cuando el investigador desea establecer que dos condiciones son diferentes. Es particularmente aplicable a investigaciones en las cuales las mediciones cuantitativas son imposibles o no son viables, pero en las que si se pueden determinar, para cada par de observaciones cual es la “más grande” en algún sentido. La única suposición es que la variable estudiada tiene una distribución continua. La prueba no hace suposiciones acerca de la forma de la distribución, y tampoco supone que los sujetos pertenecen a la misma población. Los diferentes pares pueden pertenecer a distintas poblaciones; el único requisito es que dentro de cada par, se haya igualado respecto a variables extrañas, o bien que sea tipo “own control” cada sujeto se utiliza como su propio control.

3. Notación y Función del TH nP Adquiere su nombre del hecho que está basada en la dirección de las diferencias entre dos mediciones (“+” o “-“) más que en medidas cuantitativas.

4. Procedimientoanalítico detallado: La hipótesis nula evaluada por la prueba de los signos es si: P[Xi> Yi] = P[Xi< Yi] = ½ Otra forma también sería la mediana de las diferencias entre X e Y es cero. En donde: Xi e Yi son las dos puntuaciones obtenidas por cada miembro de la pareja. Xi: juicio o puntuación con una condición (o antes del tratamiento) Yi: juicio o puntuación con otra condición (o después del tratamiento) Durante la realización de test esperaríamos que el número de pares X i> Yi sea igual a Xi< Yi, o que la mitad de las diferencias sean “+” y la otra mitad “-“. H0 se rechazará si ocurren pocas diferencias de uno de los signos. 4.1 Caso muestras pequeñas Se trabaja con la probabilidad binomial con p=q= ½ donde N es el número de pares. Si alguno de los pares no muestra diferencias, por tanto, no existe signo, se excluye del análisis. Se trabaja con la siguiente tabla, que muestrales probabilidades asociadas a la ocurrencia de acuerdo con valores de H0 tan pequeños como x, con N ≤ 35. Siendo X: el número de signos menor. La prueba puede ser unidireccional (uno de los signos ocurre más frecuentemente), o bidireccional ((las frecuencias de los signos diferirán significativamente). Los valores de la tabla deben duplicarse para la prueba bidireccional. 4.1.1. Relación con la Expansión Binomial En el tratamiento descripto, se esperaría que la frecuencia de los signos positivos y negativos fuera la misma. Para obtener la probabilidad de los signos positivos y negativos se puede utilizar la distribución binomial como N

∑ ( Ni ) pi q N−i i=x

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Ecuación 1. Probabilidad calculada utilizando la distribución Binomial N= número de pares cuya diferencia tiene un signo + o -. x: el número de signos menor. Se plantea la misma desigualdad y el resultado coincide con el trabajado en el ítem 4.1. 5. Cómo se tratan los “scores empatados” Tratamiento de empates: Un empate ocurre cuando los dos puntajes o “scores” del par son idénticos, en consecuencia la diferencia = 0, y al no tener signo se eliminan de la muestra. Las N: representan el número de pares matcheados, cuyo puntaje tiene signo. 6. Caso muestras grandes Si N es mayor o igual a 35, puede utilizarse la aproximación normal a la distribución binomial., que tiene una Media = µx = Np = Varianza =

N 2

2 ❑x = Npq =

N 4

El valor de z está dado por:

Z=

x−μ x σx

=

x−N /2 2 x−N = 0.5 √ N √N<...