Teste Calculo MI 2015 2 PDF

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Teste Calculo MI 20152...

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Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matem´ atica Disciplina: Matem´ atica Turma: LM1 Professora: Lorena Brizza

Lista

Observa¸ c˜ ao: Justifique as suas respostas! Quest˜ ao 1 Calcule, usando a regra de L’Hˆospital, os limites abaixo: 1

(a) lim (cos(x)) x2 x→0

(b) lim x→0

x − sen(x) cos(x) − 1

x2 Quest˜ ao 2 Seja f uma fun¸c˜ao dada por f (x) = √ . x+1 (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Analisando o sinal de f ′ , determine os intervalos de crescimento e decrescimento da fun¸c˜ao f e os pontos de m´aximo e de m´ınimo locais de f (caso existam). (c) Analisando o sinal de f ′′ , determine os intervalos onde o gr´afico de f ´e cˆoncavo para cima ou cˆoncavo para baixo e, caso existam, os pontos de inflex˜ ao de f . (d) Caso existam, determine as ass´ıntotas horizontais e verticais. (e) Utilizando as informa¸c˜oes de f obtidas nos itens anteriores, fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸ca˜o f . Quest˜ ao 3 Seja g a fun¸c˜ao g(x) =

√ x

(a) Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 2 para g em torno de x = 1. (b) Usando o item (a), calcule um valor aproximado para e1,001 . Quest˜ ao 4 Dentre todos os retˆangulos que tˆem dois lados sobre os eixos coordenados e um dos v´ertices no gr´afico de f (x) = 3 + x42 , com x > 0, determine as dimens˜oes daquele que possui ´area m´ınima. Quest˜ ao 5 Usando o Teorema do Valor M´edio, demonstre o seguinte resultado: Sejam I um intervalo, f uma fun¸c˜ao cont´ınua em I. Se existe M > 0 tal que |f ′ (x)| ≤ M para todo x no interior de I, ent˜ao |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|.

Bom exerc´ıcio!

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