Transformée de Laplace exercices corrigés 02 PDF

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ejercicios resueltos de transformadas de Laplace, inversa de Laplace y convoluciones...

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TD 1 Transformation de Laplace

Exercice 1.

On consid`ere les fonctions suivantes d´efinies sur R+ . Pour chacune de ces fonctions, on vous demande de d´eterminer la transform´ee de Laplace et de pr´eciser le domaine d’existence. t 7→ 2e−6t , t 7→ 5e2t , t 7→ 2t4 , t 7→ (t2 + 1)2 , t 7→ α cos 3t + β sin 3t, t 7→ αch3t + β sh3t t 7→ e−2t cos 3t, t 7→ 2e−5t (cos 2t + sin 2t), t 7→ e−4t sh8t, t 7→ e−t sin2

On a L(eαt ) =

1 p−α

pour p > α donc, en utilisant la lin´earit´e de la transformation de Laplace, il vient 2 pour p > −6 , p+6

L(2e−6t ) = 2L(e−6t ) =

5 pour p > 2. p−2

L(5e2t ) = 5L(e2t ) = On a L(tn ) =

n! pn+1

t , t 7→ e−2t (t2 − 1)2 2

pour p > 0 donc, en utilisant la lin´earit´e de la transformation de Laplace, il vient L(2t4 ) = 2L(t4 ) = 2

4! pour p > 0 , p5

L((t2 + 1)2 ) = L(t4 + 2t2 + 1) = L(t4 ) + 2L(t2 ) + L(U(t)) = p On a L(cos(ωt)) = p2 +ω 2 et L(sin(ωt)) = transformation de Laplace, il vient

ω p2 +ω 2

4! 2 1 pour p > 0. +2 3 + p p5 p

pour p > 0 donc, en utilisant la lin´earit´e de la

L(α cos(3t) + β sin(3t)) = αL(cos(3t)) + β L(sin(3t)) =

αp + βω pour p > 0. p2 + 9

On a

α + β 3t α − β −3t e3t − e−3t e3t + e−3t +β = e + e 2 2 2 2 donc, pour p > 3 (car 3 = max{−3, 3}), on a par lin´earit´e αch(3t) + β sh(3t) = α

L(αch(3t) + β sh(3t)) =

α+β α−β α+β 1 α−β 1 . L(e3t ) + L(e−3t ) = + 2 p−3 2 p+3 2 2

Si F (p) = L(f (t)) alors on a L(eαt f (t)) = F (p − α) or L(cos(3t)) = L(e−2t cos(3t)) = De mˆeme, on a L(cos(2t) + sin(2t)) =

p+2 p2 +4

p p2 +9

donc

p p . = 2 p + 4p + 13 (p + 2)2 + 9

donc

L(2e−5t (cos(2t) + sin(2t))) = 2

p+7 (p + 5) + 2 =2 2 . (p + 5)2 + 4 p + 10p + 29

1

On a L(sh(8t)) =

1 1 L(e8t − e−8t ) = 2 2

d’o` u

t 2

= 21 −

1 2

1 1 − p−8 p+8



=

8 p2 − 64

8 8 = 2 . (p + 4)2 − 64 p + 8p − 58

L(e−4t sh(8t)) = On a sin2



cos(t) donc 1 1 p t − L(sin2 ) = 2 2p 2 p2 + 1

d’o` u p+1 t 1 1 . L(e−t sin2 ) = − 2 2(p + 1) 2 (p + 1)2 + 1 Enfin, on a L((t2 − 1)2 ) = L(t4 ) − 2L(t2 ) + L(U(t)) =

2 1 4! −2 3 + pour p > 0 p5 p p

d’o` u L(e−2t (t2 − 1)2 ) =

4 1 4! − + . (p + 2)5 (p + 2)3 p + 2

Exercice 2. On consid`ere les fonctions 2-p´eriodiques sur R+ , f1 , f2 d´efinies de la fa¸con suivante :   0 t...