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TUTORÍAS ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II TEMA 5: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

CURSO 2015/2016

Sofía Tirado Sarti

5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 5.1.INTRODUCCIÓN

Un modelo de regresión es un modelo que permite describir cómo influye una variable X sobre otra variable Y .  Y: Es la variable que queremos explicar. (Variable dependiente o respuesta o endógena)  X: La variable usada para explicar el comportamiento de la Y. (Variable independiente o explicativa o exógena) Ejemplos:  Estimar el precio de una vivienda en función de su superficie.  Aproximar la calificación obtenida en una materia según el número de horas de estudio semanal.  Predecir la tasa de paro para cada edad

Si consideramos que la relación que liga Y con X es lineal: Modelo Lineal Simple

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

5.2.MODELO DE REGRESIÓN LINEAL(I)

El modelo de regresión lineal simple(MLS) supone que:

yt  1   2 xt ,2   t , t  1, 2 , donde: • Yt representa el valor de la variable y para el individuo t, o valor de la variable y en el periodo t (dependiendo del tipo de datos con el que estemos trabajando) • Xt,1 (que no aparece explícitamente en la representación del MLS) es una variable que toma siempre el valor 1, y está asociada al parámetro β1 • Xt,2,variable explicativa del MLS asociada al parámetro β2, representa el valor de la variable explicativa para la observación(o periodo) t. • β1 y β2 son parámetros poblacionales desconocido • εt ,perturbación aleatoria o término de error, es una variable aleatoria Ruido Blanco, que refleja todos los factores distintos de X que influyen sobre la y, pero que ninguno de ellos es relevante individualmente.  t ~ N (0;  2 ), t , y E ( t s )  0, t  s ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II-INFERENCIA ESTADÍSTICA

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

5.2.MODELO DE REGRESIÓN LINEAL(II)

β1 conocido como la “constante” mide el valor esperado de la variable yt cuando la variable explicativa xt,2 valga 0, es decir:

E ( yt xt , 2  xt ,3    xt ,k  0)  1 β2, conocido como la “pendiente,” mide el efecto parcial de la variable explicativa xt,2, sobre la yt , si la variable x es continua, nos indica cómo varía Y ante un cambio unitario en X:

 yt  2 xt ,2

El objetivo va a ser obtener estimaciones de los parámetros desconocidos, β1 y β2, para poder calcular la recta de regresión que se ajuste lo mejor posible a los datos.

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

5.2.MODELO DE REGRESIÓN LINEAL(III)

Si el modelo es lineal, una estimación posible es una recta llamada RECTA DE AJUSTE. La distancia entre cada punto de la nube y la recta de ajuste es el residuo.

ˆ i  βˆ 1  βˆ 2 Xi Y

Y Valor observado(dato)de Y para xi

residuo

ˆi  yi  yˆi

Β2=Pendiente

Valor ajustado o estimado de Y para xi Β1=constante xi ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II-INFERENCIA ESTADÍSTICA

X 5

5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

5.3.ESTIMACIÓN MLS:MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

Objetivo: Estimar los parámetros de una regresión simple de forma que se cumpla algún criterio de optimalidad. Si el criterio es minimizar la suma de los cuadrados de los residuos: MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS(MCO). El error cometido en la estimación (residuo) es el estimador de la perturbación, y por tanto el objetivo a minimizar.

min SCR  min

n

 ˆ

2 i

i 1

Solución:

 min

 (y yˆ ) i

2

i

 min

[y  (ˆ  ˆ x )]

n   n xt 2    ˆ  1  t 1  βˆ  ( XX) 1 Xy      n n  ˆ     2    xt 2  xt22    βˆ XX

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i

1

1

2

2

i

 n    yt   t 1   n    yt  xt 2    Xy

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE EJEMPLO LIBRO NEWBOLD(I)

Un agente inmobiliario quiere examinar la relación existente entre el precio de venta de una casa y su tamaño(medido en metros cuadrados).Para ello dispone de una muestra aleatoria de 10 casas: Precio casas (miles euros)

Superficie (m2)

245

1400

312

1600

279

1700

308

1875

199

1100

219

1550

405

2350

324

2450

319

1425

255

1700

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE EJEMPLO LIBRO NEWBOLD(II)

Variable dependiente (Y) = Precio casa (en miles de euros) Variable independiente (X) = metros cuadrados

Precio(miles euros)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RELACIÓN:DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Superficie(metros cuadrados) ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II-INFERENCIA ESTADÍSTICA

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE EJEMPLO LIBRO NEWBOLD(III)

Formulamos el siguiente modelo econométrico:

Precio t  1  2superficie t   t, t  1 ,2 , Con los datos disponibles, vamos a estimar los parámetros poblacionales (desconocidos) a través del método MCO, Así, se tiene que:

1

n   n sup erficiet    ˆ1    t 1 ˆ  ( XX) 1 Xy       β n  ˆ   n  2    sup erficie t  sup erficie t2    βˆ XX

n   precio t    t 1    n   precio erficie sup t t    Xy

1  ˆ1   10 17150   2865   ˆ1   1.97160356 0.00109131  2865   98.24833            ˆ  17150 30983750   5085975   ˆ   0.00109131 0.00000064   5085975   0. 10977   2  2

MODELO ESTIMADO:

preciot  98,2483  0,1097 superficie t

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE EJEMPLO LIBRO NEWBOLD(III)

Precio(miles euros)

450

Constante

400 350 300

Pendiente ˆ2  0,1097

250 200 150 100 50 0

ˆ1  98, 2483

0

500

1000

1500

2000

2500

300

Superficie(metros cuadrados)

ˆ1  98, 2483 Indica que el precio esperado con independencia de la superficie de la casa es

de 98,24 miles de euros ˆ2  0,1097 Por casa metro cuadrado adicional en la superficie de la casa,el

precio aumenta en 0,1097 miles de euros(109,7 euros)

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

5.4:INFERENCIA EN EL MLS: TEST DE SIGNIFICATIVIDAD INDIVIDUAL

 Test t sobre la pendiente del modelo: ¿la variable x es relevante para explicar la Y?  Hipótesis nula y alternativa: H0: β1 = 0 (no hay relación lineal entre X y Y) H1: β1 ≠ 0 (existe dicha relación)

βˆ 1  β1 t dt(βˆ )

Donde, 𝑑𝑡 𝛽1 =

var(𝛽1

1

n

 var( ˆ1) cov( ˆ1ˆ 2 )  2 1 ˆ  ( MVC(  )  ˆ ( X´ X )    cov(ˆ ˆ ) var(ˆ )  1 2 2  

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 ˆ

2 i

σˆ 2 

i1

n k



SCR n k

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

COMTINUACIÓN EJEMPLO LIBRO NEWBOLD

H0: β1 = 0 H1: β1  0

βˆ 1 β1 0.10977  0 t   3.32938 sβˆ 0.03297 1

g.l.= 10-2 = 8

Decisión: Rechazo H0

t8,.025 = 2.3060

a/2=.025

Rechazo H0

a/2=.025

No rechazo H0

-tn-2,α/2 -2.3060

0

Rechazo

tn-2,α/2 H0 2.3060 3.329

Conclusión: Hay suficiente evidencia para afirmar que los metros cuadrados de la casa afectan a su precio 2

5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

5.4:INFERENCIA EN EL MLS: INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝛽𝑗

El intervalo de confianza al (1 – α)% para el parámetro βj viene dado por: Pr  ta / 2  t n k  ta /2   1  a  Pr  ta / 2    Pr ˆ  t



j

  ta /2   1  a  dt( ˆ j )   dt ( ˆ )    ˆ  t

ˆ j   j

a /2

j

j

j

a /2



 dt ( ˆ j )  1  a

IC(1a )% ( ˆ j )   ˆ j  ta /2  dt ( ˆ j ); ˆ j  ta /2  dt ( ˆ j )   

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5.REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

CONTINUACIÓN EJEMPLO LIBRO NEWBOLD(III)

IC(1 a )% ( ˆ1 )  ˆ1  t a /2  dt ( ˆ1 ); ˆ1  ta /2  dt ( ˆ j )  Al 95% de confianza, el intervalo para la pendiente es (0.0337, 0.1858)

El intervalo al 95% no incluye el 0. Conclusión: Hay una relación estadísticamente significativa entre el precio de las casas y sus metros cuadrados al 5% de significación.

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