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übungsblatt 3 ...

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Technische Universit¨ at Berlin

Wintersemester 2020/21

Fakult¨ at II; Institut f¨ ur Mathematik M. Karow

17.11. 2020

Numerische Mathematik I f¨ur Ingenieure ¨ zur Vorlesung 3. Ubungsblatt Aufgabe 1 ¨ Stelle die Gleichung einer Geraden durch den Punkt (x0 , y0 ) ∈ R2 mit Steigung a ∈ R auf, und berechne den U) Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Leite daraus die Iterationvorschriften f¨ur das Newton-Verfahren, das Sekantenverfahren und Regula Falsi her. H) Erste Programmieraufgabe: Schreibe eine Funktion regulafalsi(f,a,b,tol), welche eine Nullstelle der Funktion f im Intervall [a,b] mit der Regula Falsi berechnet. Die Iteration soll wiederholt werden, solange der Abstand zweier aufeinander folgender Iterationswerte gr¨oßer als tol ist (siehe Vorlesungsfolien). Berechne so die kleinste positive Nullstelle der Funktion f (x) = 1 + cos(x) cosh(x) mit Regula Falsi auf zehn Stellen genau. Hinweise: • Mache zun¨achst einen Plot der Funktion f um geeignete Startwerte zu finden. • abs ist die MATLAB-Anweisung f¨ur den Betrag. • Wenn man an eine Funktion eine andere Funktion als Parameter ¨ubergibt, muss vor dem Namen der ¨ubergebenen Funktion ein @ stehen. Beispiel: Will man Regula Falsi auf die Cosinus-Funktion im Intervall [1, 2] mit Toleranz 0.01 anwenden, dann muss man schreiben regulafalsi(@cos,1,2,0.01). Aufgabe 2

2 Punkte

¨ Die Gleichung x = −2 ln(x) hat genau eine L¨osung x∗ . Diese L¨osung liegt im Intervall ]0, 1[. Sie kann aber U) mit der Fixpunktiteration xk+1 = −2 ln(xk ) nicht berechnet werden (warum nicht?). Finde eine Iteration, die gegen x∗ konvergiert. H) Zeige, dass die Funktion g : R → R mit g(x) = 12 x2 − 12 genau zwei Fixpunkte hat. Sind die Fixpunkte anziehend oder abstoßend? Kann man sie mit Hilfe des Iterationsverfahrens xk+1 = g(xk ) berechnen?

Aufgabe 3

6 Punkte

Sei a > 0. ¨ Zeige, dass das Heron-Verfahren U) xk+1

  a 1 x + , = k xk 2

x0 > 0

(∗)

√ das Newton-Verfahren zur Berechnung von a ist. Zeige, dass dieses Verfahren Konvergenzordnung 2 hat. Ha) Zeige, dass das Iterationsverfahren   1 a x0 > 0 xk+1 = (n − 1) xk + n−1 , n xk √ n das Newton-Verfahren zur Berechnung von n a ist. Die zugrunde liegende √ Funktion ist f (x) = x − a. Hb) Zeige, dass das folgende Iterationsverfahren zur Berechnung von a die Konvergenzordnung 3 hat.   (x2 − a)2 1 a − k 3 , xk+1 = x0 > 0. (∗∗) xk + 8 xk xk 2 √ Hc) Wieviele Iterationen braucht man um mit dem Verfahren (∗∗) die Zahl 5 auf 15 Dezimalstellen genau zu bestimmen, wenn man mit dem Wert x0 = 5 startet? Wieviele Iterationen ben¨otigt man f¨ ur dieselbe Aufgabe, wenn man das Newton-Verfahren (∗) benutzt. (Zur Rechnung darf Matlab oder ein Taschenrechner benutzt werden)

Aufgabe 4

2 Punkte

Formuliere das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle von f und berechne die erste Iterierte f¨ur den Startvektor [x0 y0 ]T = [1 1]T .     3     x +y−2 xy + x − y − 1 x x ¨ )= )= H) f( U) f( . 1 2 x+ y y xy + 5 y

Zweite Programmieraufgabe. Vorbemerkung: Wir betrachten eine Feder, die im R2 liegt und an einem ihrer Endpunkte ~a ∈ R2 frei drehbar befestigt ist. Die Federsteifigkeit sei s > 0 und die L¨ange der Feder im entspannten Zustand sei ℓ > 0. Sei ~F (~x) die Kraft, welche die Feder auf ihren zweiten Endpunkt ~x aus¨ubt. Nach dem Hookeschen Gesetz ist   ℓ ~F (~x) = −s (k~x − ~ak2 − ℓ) ~x − ~a = s − 1 (~x − ~a). k~x − ~ak2 k~x − ~ak2 ~ (~x) liegt auf der Verbindungsgerade der beiden Endpunkte und der Betrag der Erl¨auterung: der Kraftvektor F Kraft ist das Produkt der Federsteifigkeit mit der Abweichung der aktuellen Federl¨ange von der Federl¨ ange im ~ (~x)k2 = s |k~x − ~ak2 − ℓ|. Die Kraft zeigt zum Punkt ~a, wenn die Feder gestreckt entspannten Zustand, also k F ist. Sie zeigt vom Punkt ~a weg, wenn die Feder gestaucht ist. Siehe Skizze (links: entspannte Feder, mitte: gestreckte Feder, rechts: gestauchte Feder).

a

a

l

a

F( x )

x

x x

F( x )

~ ist Die Jacobi-Matrix der Kraftfunktion F    (~x − ~a)(~x − ~a)⊤ ℓ ′ ~ . −1 I−ℓ F (~x) = s k~x − ~ak23 k~x − ~ak2 Zur Notation: I bezeichnet die Einheitsmatrix, ~x −~a ist ein Spaltenvektor, (~x − ~a)⊤ (Transposition) ist folglich ein Zeilenvektor. Das Produkt (~x − ~a)(~x − ~a)⊤ (Matrixmultiplikation) ist eine quadratische Matrix. Wir betrachten nun eine Masse m deren Mittelpunkt sich am Ort ~x ∈ R2 befindet, und die an zwei Federn mit den Steifigkeiten s1 , s2 > 0 aufgeh¨angt ist (siehe Bild auf der n¨achsten Seite). Die Federn sind an den Punkten ~a1 , ~a2 befestigt. Die L¨angen der entspannten Federn sind ℓ1 , ℓ2 . Auf die Masse wirken insgesamt drei Kr¨afte, n¨ amlich die beiden Federkr¨afte   ℓk ~x − ~ak − 1 (~x − ~ak ), k = 1, 2 = sk F~k (~x) = −sk (k~x − ~ak k − ℓk ) k~x − ~ak k k~x − ~ak k und die Gewichtskraft ~= G



 0 , −g m

g = 9.81 m/s2 (Fallbeschleunigung).

Die Gesamtkraft auf die Masse am Ort ~x ist also ~ 1 (~x) + F ~ 2 (~x) + G. ~ F~gesamt (~x) = F

a2

a1

F( x) 1

F( x) 2 m

x G

Aufgabe: Berechne mit Hilfe des Newton-Verfahrens die Gleichgewichtslage ~x f¨ur die Masse m, also den Ort ~ Die zugrunde liegenden Daten sind dabei ~ gesamt (~x) = 0. ~x mit F     0 1 ~a1 = , s1 = s2 = 10, ℓ1 = ℓ1 = 2, m = 1. , ~a2 = 1 0     0 0 . Wie und (bei einem zweiten Aufruf) ~x0 = ur das Newton-Verfahren ~x0 = W¨ahle als Startpunkt f¨ 4 −4 sind die unterschiedlichen Ergebnisse zu erkl¨aren?...