Uebung-1 - Sommersemester PDF

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Sommersemester...

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Fachbereich Informatik

Hochschule Bonn-Rhein-Sieg

Dr. Marco Hulsmann ¨ Sigrid Weil

University of Applied Sciences

Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 1, WS 2019/20: Vektoren Aufgabe 1.1 (Vektoren) Der Vektor a beginne im Punkt P1 (−1, 1) und ende in P2 (0, −3), und der Vektor b beginne in P2 und ende in P3 (3, 0). a) Skizzieren und berechnen Sie: a + b, 21a,

3 b, 2

2(a + b).

b) Berechnen Sie: ||a||, ||b||, ||2(a + b)||. c) Entscheiden Sie sowohl anschaulich als auch rechnerisch, ob die beiden Vektoren a und b linear unabh¨ angig sind. Aufgabe 1.2 (Linearkombinationen, lineare Unabh¨angigkeit und Spann) a) Gegeben sind die Vektoren (1, 2, 1), (−2, 1, 3), (4, 3, −1) ∈ R3 . Zeigen Sie, daß die drei angig sind, und stellen Sie den Vektor (−3, 4, 7) als Linearkombination Vektoren linear abh¨ der drei Vektoren dar! Ist die Linearkombination eindeutig? Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch! b) Untersuchen Sie die Vektoren u = (−1, 4, 3), v = (1, 5, 2), w = (2, 1, 2) auf lineare Unabh¨angigkeit, und bestimmen Sie hu, v, wi. Aufgabe 1.3 (Vektor- und Unterr¨aume) aume? Sind die folgenden Mengen Unterr¨ aume der angegebenen Vektorr¨ Beweisen Sie Ihre Antworten! a)

b)

  U = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 = x2 = 2x3 ⊆ R3   U = (λ + µ, λ2 ) ∈ R2 | µ, λ ∈ R ⊆ R2 1

Aufgabe 1.4 (Basen) a) F¨ur welche a ∈ R bilden die Vektoren B(a) = {(a, 0, 1), (0, 2a, −1), (1, 2, 0)} eine Basis f¨ur den Raum R3 ? b) Stellen Sie den dritten Vektor aus B(a) als Linearkombination der ersten beiden Vektoren dar! Denken Sie an m¨ ogliche Fallunterscheidungen f¨ur a, und interpretieren Sie Ihre Aussagen geometrisch! Aufgabe 1.5 (Basis von Polynomen) Es sei W := {p(x) ∈ K (n) [x] | p(0) = p(1) = 0} ⊆ K (n) [x] wobei K (n) [x] der Raum der Polynome vom Grad h¨ochstens n ist. Zeigen Sie, daß W ein Unterraum von K (n) [x] ist, und geben Sie eine Basis von W an. Erweitern Sie diese zu einer Basis von K (n) [x]. Sie m¨ussen nicht beweisen, daß es sich tats¨achlich um eine Basis handelt! Aufgabe 1.6 (Austauschsatz von Steinitz) Sei V ein K-Vektorraum, sei B = {b1 , . . . bn } eine Basis von V und sei a 6= 0~ ein Vektor aus V . Beweisen Sie: Es l¨aßt sich (mindestens) einer der Vektoren aus B gegen a austauschen, d.h., es existiert ein i ∈ {1, . . . , n}, so daß B ′ := (B \ {bi }) ∪ {a} eine Basis von V ist. Anleitung: Stellen Sie a als Linearkombination aus den Basisvektoren von B dar, und entscheiden Sie dadurch, welche Basisvektoren uberhaupt ¨ f¨ur den Austausch geeignet sind. Zeigen Sie dann, daß B ′ linear unabh¨ angig ist und ein Erzeugendensystem von V bildet. Zeigen Sie hierzu, daß jedes v ∈ V = SpanR B auch in SpanR B ′ liegt! Aufgabe 1.7* (Vektoren) Der Vektor a beginne im Punkt A(−1, −1) und ende in B(1, 3), und der Vektor b beginne in B und ende in C(5, 0). a) Skizzieren und berechnen Sie: a + b, −2a, 21(a + b). b) Berechnen Sie die L¨ angen von a und b sowie den Abstand der beiden Vektoren! Aufgabe 1.8* (Lineare (Un-)Abh¨angigkeit) Prufen ¨ Sie die folgenden Vektoren auf lineare Abh¨ angigkeit bzw. Unabh¨angigkeit! a)      1 0 1  3 ,  2 ,  1  1 −1 2 

2

+  0  1 * 1    3   2   1  . , , b) Bestimmen Sie

c)

1

−1



2   π    −π 3 −10 , , 1 √9 − 102 2 5

Aufgabe 1.9* (Basen) F¨ur welche a ∈ R bilden die Vektoren B(a) = {(a, 0, −1), (1, 2, 1), (0, a, 1)} eine Basis f¨ ur den Raum R3 ?

3...