Uebung 14L - Lösung PDF

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Mathematik II für ET 14. Übungsblatt Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Reinhard Farwig Christian Komo Veronika Rosteck

Sommersemester 2012 13.07.2012

Gruppenübung Aufgabe G1 (Polarkoordinaten) (a) Berechnen Sie den Inhalt des Bereichs, der von der archimedischen Spirale r = aϕ , ϕ ∈ [0, 2π], a > 0, und dem Intervall [0, 2πa] begrenzt wird. Π

(b) Gegeben sei die Funktion f (x, y) = x 2 y und der Halbkreis

B = {(x , y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ R2 , y ≥ 0} mit R > 0. Bestimmen Sie mit Hilfe der Polarkoordinaten den Wert des Integrals die Rechnung mit der in Beispiel 6 auf Seite 231 im Skript.

R

B

f ( x, y) d( x, y). Vergleichen Sie

Lösung: (a) Mit Hilfe der Polarkoordinaten (x, y) = h(r, ϕ ) = (r cos ϕ , r sin ϕ) können wir den Bereich, der von der Spirale und dem Intervall begrenzt wird, beschreiben als

B = h( T )

mit

T = {( r, ϕ) ∈ R2 : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ aϕ}.

Dann folgt für den Inhalt (vergleiche mit Beispiel 8 auf Seite 237 im Skript)

µ(B) =

Z

d(x, y) = B

Z

2π

0

Z

aϕ

r drdϕ =

0

Z

2π

0

a2 ϕ 2 2

dϕ =

4 3 2 π a . 3

(b) Mit Hilfe der Polarkoordinaten lässt sich die Menge, über der integriert wird, wie folgt beschreiben:

B = {(x , y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ R2 , y ≥ 0} = h( T )

T = {( r, ϕ) ∈ R2 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ π}.

mit

Damit ergibt sich die folgende Rechnung

Z

f (x , y) d( x , y) = B

=

Z

2

x y d( x , y) = B

Z

π 2

cos ϕ sin ϕ

0



Z r

π

Z

R

0 0 5  r=R

5

r=0

2

2

r cos ϕ r sinϕ r d r dϕ =

Z

0

dϕ =

R5 5

Z

πZ R

π

cos2 ϕ sin ϕ dϕ = 0

r 4 cos2 ϕ sin ϕ drdϕ

0

R5 5



−

1 3

cos3 ϕ

π 0

R5

2 5 R . = − (−1 − 1) = 15 15

1

Aufgabe G2 (Zylinderkoordinaten) Berechnen Sie das Volumen der Schnittmenge des Balles x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 und des Kegels x 2 + y 2 ≤ z 2 , z ≥ 0, mit Hilfe der Zylinderkoordinaten.

Lösung: Sei

K = {(x , y, z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x 2 + y 2 ≤ z 2 , z ≥ 0}. R Für das Volumen gilt dann V = K d (x, y, z). Wir wenden die Transformation in die Zylinderkoordinaten (x, y, z) = h(r, ϕ , z) = (r cos ϕ, r sin ϕ , z) an und erhalten die Beschreibung K = h( T )

mit

    p 1 T = ( r, ϕ , z) ∈ R3 : ϕ ∈ [0, 2π], r ∈ 0, p , r ≤ z ≤ 1 − r 2 . 2 p

Denn aus x 2 + y 2 + z 2 = r 2 + z 2 ≤ 1, x 2 + y 2 = r 2 ≤ z 2 und z ≥ 0 folgt r ≤ z ≤ also 2r 2 ≤ 1, was wiederum die Bedingung 0 ≤ r ≤ p12 liefert. Für das Volumen erhalten wir

V=

Z

0

2π Z p1

2

0

Z

p

1−r 2

r dzdrdϕ =

Z

=

Z

0

r

2π Z p1

2

0

2π

0

da die Substitution t = 1 − r 2 die Integration Aufgabe G3 (Kugelkoordinaten) Wir betrachten die Funktion

Z   p r 1 − r 2 − r 2 drdϕ =

R

K

2π

0

h

−

1

3

1 − r2

2π  1  1 1 1  − p − 1 + p dϕ = 1− p , 3 3 2 2 2 2 2

3 2

1 i p12 − r3 dϕ 0 3

Rp R p 3 3 t dt = − 1 t 2 + C = − 1(1 − r 2 ) 2 + C liefert. r 1 − r 2 dr = −21

f : R3 \{0} → R, Berechnen Sie das Integral und z ≥ 0 bezeichnet, d.h.

1 − r 2 . Außerdem ist r 2 ≤ z 2 ≤ 1 − r 2 ,

3

(x, y, z) 7→

x yz x 2 + y 2 + z2

3

.

f ( x, y, z) d( x, y, z) über dem Bereich K , wobei K das Einheitskugelachtel für x ≥ 0, y ≥ 0 K = {(x , y, z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

Lösung: Wir arbeiten hier mit Kugelkoordinaten und die Transformationsfunktion lautet

h(r, ϑ, ϕ) = (r cos ϑ cos ϕ, r cos ϑ sin ϕ, r sin ϑ). Dann ist

K = h( T )

mit

©  ¦   T = ( r, ϑ, ϕ) ∈ R3 : r ∈ [0, 1], ϑ ∈ 0, π2 , ϕ ∈ 0, π2 .

2

Die Funktion f ◦ h lässt sich wie folgt vereinfachen:

f (h(r, ϑ, ϕ)) =

r cos ϑ cos ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ r 2 (cos2 ϑ cos2 ϕ + cos2 ϑ sin2 ϕ + sin2 ϑ)

=

r 3 cos2 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ r 2 (cos2 ϑ(cos2 ϕ + sin2 ϕ) + sin2 ϑ)

2

=r

cos ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ cos2 ϑ + sin2 ϑ

= r cos2 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ .

Die Determinante der Ableitung der Transformationsfunktion ist gleich −r 2 cos ϑ. Wir erhalten also für das Integral das folgende Ergebnis:

Z

f (x , y, z) d( x , y, z) = K

=

Z

f (x , y, z) d( x , y, z) = h(T )

Z 1Z 0

=

Z

=

Z

0 1 Z π/2

0

= =

Z

f (h(r, ϑ, ϕ)) r 2 cos ϑ d(r, ϑ, ϕ) T

π/2

r cos2 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ r 2 cos ϑ dϑ dϕ dr

0 Z π/2

r 3 cos3 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ dϑ dϕ dr

0 0  4 1 π/2 Z π/2

r

4

0

0

=

π/2

Z

cos3 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ dϑ dϕ

0

4

Z

π/2 Z π/2

cos3 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϕ dϑ dϕ

1 4

Z

π/2 

cos4 ϑ

1

0

1 16

0

0

Z

−

1 4

π/2 0

cos ϕ sin ϕ dϕ = −

π/2

cos ϕ sin ϕ dϕ = 0

1 16



1 2

sin2 ϕ

1 16

π/2 0

=

Z

π/2

0

1 32

(0 − 1) cos ϕ sin ϕ dϕ (1 − 0) =

1 32

.

3...