Una introducción a la Teoría de Grupos con aplicaciones en la Teoría Matemática de la Música PDF

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Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana Una introducción a la Teoría de Grupos con aplicaciones en la Teoría Matemática de la Música Octavio A. Agustín-Aquino Janine du Plessis Emilio Lluis-Puebla Mariana Montiel www.sociedadmatematicamexicana.org.mx Serie: Textos. Vol. 10 (2009) ISB...

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Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana

Una introducción a la Teoría de Grupos con aplicaciones en la Teoría Matemática de la Música Octavio A. Agustín-Aquino Janine du Plessis Emilio Lluis-Puebla Mariana Montiel www.sociedadmatematicamexicana.org.mx Serie: Textos. Vol. 10 (2009) ISBN 968-9161-36-9

Una introducci´on a la Teor´ıa de Grupos con aplicaciones en la Teor´ıa Matem´atica de la M´usica

Octavio A. Agust´ın-Aquino Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico

Janine du Plessis Georgia State University

Emilio Lluis-Puebla Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico

Mariana Montiel Georgia State University

Publicaciones Electr´onicas Sociedad Matem´atica Mexicana

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2009 P rimera Edición: Sociedad P ublicaciones Elect rónicas ISBN 968-9161-37-7 (versión en ISBN 968-9161-38-5 (versión en ISBN 968-9161-36-9 (versión en

Hecho en México.

Mat emát ica Mexicana, línea) CD) papel)

Prefacio El ´exito de la Teor´ıa de Grupos es impresionante y extraordinario. Es quiz´ as, la rama m´as poderosa e influyente de toda la Matem´ atica. Influye en casi todas las disciplinas cient´ıficas, art´ısticas (en la M´ usica, en particular) y en la propia Matem´ atica de una manera fundamental. La Teor´ıa de Grupos extrae lo esencial de diversas situaciones donde aparece alg´ un tipo de simetr´ıa o transformaci´ on. Dado un conjunto no vac´ıo, definimos una operaci´ on binaria en ´el tal que cumpla ciertas axiomas, es decir, que posea una estructura (la estructura de grupo). El concepto de estructura y los relacionados con ´este, como el de isomorfismo, juegan un papel decisivo en la Matem´ atica actual. La teor´ıa general de las estructuras es una herramienta muy poderosa. Siempre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axiomas de cierta estructura, obtiene, de inmediato para sus objetos, todos los resultados v´ alidos para esa teor´ıa. Ya no tiene que comprobar cada uno de ellos particularmente. Actualmente, podr´ıa decirse que las estructuras permiten clasificar las diversas ramas de la Matem´ atica (o inclusive los distintos objetos de la M´ usica (!)). Este texto est´a basado en el de “Teor´ıa de Grupos: un primer curso” de Emilio Lluis-Puebla publicado en esta misma serie. Contiene el material correspondiente al curso sobre la materia que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico, aunado a material optativo introductorio a un curso b´ asico de la Teor´ıa Matem´ atica de la M´ usica. Este texto sigue el enfoque de los otros textos del Emilio Lluis-Puebla sobre ´ ´ Algebra Lineal y Algebra Homol´ ogica. En ´el se escogi´ o una presentaci´on moderna donde se introduce el lenguaje de diagramas conmutativos y propiedades universales, tan requerido en la matem´ atica actual as´ı como en la F´ısica y en la Ciencia de la Computaci´ on, entre otras disciplinas. La obra consta de cuatro cap´ıtulos. Cada secci´ on contiene una serie de problemas que se resuelven con creatividad utilizando el material expuesto, mismos que constituyen una parte fundamental del texto. Tienen tambi´en como finalidad la de permitirle al estudiante redactar matem´ atica. A lo largo de los primeros tres cap´ıtulos se incluyen ejemplos representativos (no numerados) de la aplicaciones de la Teor´ıa de Grupos a la Teor´ıa de Matem´ atica de la M´ usica, para estudiantes que ya tienen conocimiento de la Teor´ıa Musical. En el cap´ıtulo 4 se exponen con detalle m´as aplicaciones de la Teor´ıa de Grupos a la Teor´ıa Musical. Se explican algunos aspectos b´ asicos de la Teor´ıa iii

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Prefacio

Matem´ atica de la M´ usica y, en el proceso, se pretende dar elementos a lectores de diversos antecedentes, tanto en la Matem´ atica como en la M´ usica. Por este motivo, los ejemplos se siguen de algunos aspectos te´oricos sobresalientes de los cap´ıtulos previos; los aspectos y t´erminos musicales son introducidos conforme se van necesitando para que un lector sin formaci´ on musical pueda entender la esencia de c´ omo la Teor´ıa de Grupos es empleada para explicar ciertas relaciones musicales ya establecidas. Asimismo, para el lector con conocimiento de la Teor´ıa Musical, este cap´ıtulo provee elementos concretos, as´ı como motivaci´ on, para comenzar a comprender la Teor´ıa de Grupos. Finalmente, agregamos que hemos decidido incluir este texto dentro de las Publicaciones Electr´ onicas de la Sociedad Matem´ atica Mexicana con el ´animo de predicar con el ejemplo y mostrar la confianza en este tipo de publicaciones.

Octavio A. Agust´ın-Aquino Universidad Nacional Aut´ onoma de M´exico Janine du Plessis Georgia State University Emilio Lluis-Puebla Universidad Nacional Aut´ onoma de M´exico Mariana Montiel Georgia State University

´Indice General Prefacio

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Introducci´ on Cap´ıtulo 1 1.1 Operaciones Binarias . . 1.2 Estructuras Algebraicas 1.3 Propiedades Elementales 1.4 Grupos C´ıclicos . . . . .

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Cap´ıtulo 2 2.1 Sucesiones Exactas . . . . 2.2 Grupos Cociente . . . . . 2.3 Teoremas de Isomorfismo 2.4 Productos . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo 3 3.1 Grupos Abelianos Finitamente Generados . . ´ 3.2 Permutaciones, Orbitas y Teoremas de Sylow 3.3 Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo 4 4.1 Antecedentes Musicales . . . . . . . . 4.2 Las Transformaciones T e I . . . . . . 4.3 Las Transformaciones P, L y R . . . . 4.4 El Isomorfismo entre PLR y TI . . . . 4.5 La Dualidad de los Grupos TI y PLR

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Bibliograf´ıa y Referencias

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Lista de S´ımbolos

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´ Indice Anal´ıtico

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Introducci´ on La Matem´ atica existe desde que existe el ser humano. Pr´acticamente todo ser humano es un matem´ atico en alg´ un sentido. Desde los que utilizan la Matem´ atica hasta los que la crean. Tambi´en todos son hasta cierto punto fil´ osofos de la Matem´ atica. Efectivamente, todos los que miden, reconocen personas o cosas, cuentan o dicen que “tan claro como que dos y dos son cuatro” son matem´ aticos o fil´ osofos de la Matem´ atica. Sin embargo, hay un n´ umero muy reducido de personas que se dedican a crear, ense˜ nar, cultivar o divulgar la Matem´ atica. La Matem´ atica es pilar y cimiento de nuestra civilizaci´on. Desde la primera mitad del siglo XIX, debido al progreso en diversas ramas se le dio unidad a la Ciencia Matem´ atica y justificaron el nombre en singular. Seg´ un dec´ıa el periodista y fil´ ologo Arrigo Coen, mathema significa erudici´on, manth´ anein el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. As´ı que en sentido impl´ıcito, Matem´ atica significa: “lo digno de ser aprendido”. Tambi´en se dice que Matem´ atica significa “ciencia por excelencia”. Sin embargo, de muy pocas personas podr´ıa decirse que poseen informaci´ on correcta y actualizada sobre alguna de sus ramas o subramas. Los ni˜ nos y j´ ovenes de nuestros d´ıas pueden poseer una imagen bastante aproximada de electrones, galaxias, agujeros negros, c´ odigo gen´etico, etc. Sin embargo, dif´ıcilmente encontrar´ an durante sus estudios, conceptos matem´ aticos creados m´as all´ a de la primera mitad del siglo XIX. Esto es debido a la naturaleza de los conceptos de la Matem´ atica. Es muy com´ un la creencia de que un matem´ atico es una persona que se dedica a realizar enormes sumas de n´ umeros naturales durante todos los d´ıas de su vida. Tambi´en, la gente supone que un matem´ atico sabe sumar y multiplicar los n´ umeros naturales muy r´ apidamente. Si pensamos un poco acerca de este concepto que la mayor´ıa tiene acerca de los matem´ aticos, podr´ıamos concluir que no se requieren matem´ aticos ya que una calculadora de bolsillo realiza este trabajo. Tambi´en, cuando uno pregunta ¿cu´ al es la diferencia entre un matem´ atico y un contador? la consideran una pregunta equivalente a ¿cu´ al es la diferencia entre x y x? Es decir, suponen que hacen lo mismo. Si uno dice que un matem´ atico rara vez tiene que realizar sumas o multiplicaciones, les resulta in1

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Introducci´on

cre´ıble. Tambi´en les resulta incre´ıble el que los libros de Matem´ atica rara vez utilizan n´ umeros mayores que 10, exceptuando quiz´ as los n´ umeros de las p´ aginas. Durante muchos a˜ nos, a los ni˜ nos se les ha hecho ´enfasis en el aprendizaje de las tablas de multiplicar, en el c´ alculo de enormes sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y ra´ıces cuadradas a l´ apiz pero de n´ umeros muy peque˜ nos (para los n´ umeros grandes, la mayor´ıa de las personas tiene poca idea de su magnitud). Despu´es, cuando j´ ovenes, aquellos que sumaban y multiplicaban polinomios eran considerados por sus compa˜ neros como genios poseedores de un gran talento matem´ atico y posteriormente a ´estos, si ten´ıan suerte, se les ense˜ naba a sumar y multiplicar n´ umeros complejos. Pareciera ser, entonces, que el matem´ atico es aquel ser que se pasa la vida haciendo sumas y multiplicaciones (de n´ umeros peque˜ nos), algo as´ı como un encargado de la caja de un negocio. Esta impresi´on subsiste en una gran mayor´ıa de las personas. Nada m´as lejos de esto. Los matem´ aticos no son los que calculan o hacen cuentas sino los que inventan c´ omo calcular o hacer cuentas. Hacer Matem´ atica es imaginar, crear, razonar. Para contar fue necesario representar los n´ umeros de alguna forma, por ejemplo, los dedos de la mano. Despu´es, el ´abaco constituy´o un paso todav´ıa ligado a contar con los dedos, el cual todav´ıa se utiliza en algunas partes del planeta. Posteriormente la m´aquina aritm´etica de Pascal inventada en 1642 permit´ıa efectuar sumas y restas mediante un sistema muy ingenioso de engranes. En la actualidad, las calculadoras de bolsillo permiten realizar, en segundos, c´ alculos que antes podr´ıan haber llevado a˜ nos enteros y tambi´en le permitieron a uno deshacerse de las famosas tablas de logaritmos y de la regla de c´ alculo. Sin embargo, en general, los alumnos de cualquier carrera y los egresados de ellas a los cuales se les pregunta, -¿qu´e es la suma? o mejor dicho, ¿qu´e es la adici´on?- simplemente encogen los hombros, a pesar de que han pasado m´as de doce a˜ nos sumando y de que la suma es un concepto muy primitivo. Tambi´en suele suceder que cuando un ni˜ no o un joven o un adulto profesionista se enfrenta a un problema, no sabe si debe sumar, restar, multiplicar o llorar. El concepto de operaci´ on binaria o ley de composici´ on es uno de los m´as antiguos de la Matem´ atica y se remonta a los antiguos egipcios y babilonios quienes ya pose´ıan m´etodos para calcular sumas y multiplicaciones de n´ umeros naturales positivos y de n´ umeros racionales positivos (t´engase en cuenta que no pose´ıan el sistema de numeraci´ on que nosotros usamos). Sin embargo, al paso del tiempo, los matem´ aticos se dieron cuenta que lo importante no eran las tablas de sumar o multiplicar de ciertos “n´ umeros” sino el conjunto y su operaci´ on binaria definida en ´el. Esto, junto con ciertas propiedades que satisfac´ıan dieron lugar al concepto fundamental llamado grupo. Hist´oricamente, el concepto de operaci´ on binaria o ley de composici´ on fue extendido de dos maneras donde solamente se tiene una resemblanza con los casos num´ericos de los babilonios y los egipcios. La primera fue por Gauss, al estudiar formas cuadr´aticas con coeficientes enteros, donde vio que la ley de composici´ on era compatible con ciertas clases de equivalencia. La segunda culmin´ o con el concepto de grupo en la Teor´ıa de Sustituciones, (mediante el

Introducci´on

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desarrollo de las ideas de Lagrange, Vandermonde y Gauss en la soluci´ on de ecuaciones algebraicas). Sin embargo, ´estas ideas permanecieron superficiales, siendo Galois el verdadero iniciador de la Teor´ıa de Grupos al reducir el estudio de las ecuaciones algebraicas al de grupos de permutaciones asociados a ellas. Fueron los matem´ aticos ingleses de la primera mitad del siglo XIX los que ´ aislaron el concepto de ley de composici´ on y ampliaron el campo del Algebra aplic´andola a la L´ ogica (Boole), a vectores y cuaternios (Hamilton), y a ma´ trices (Cayley). Para finales del siglo XIX, el Algebra se orient´o al estudio de las estructuras algebraicas dejando atr´as el inter´es por las aplicaciones de las soluciones de ecuaciones num´ericas. Esta orientaci´on dio lugar a tres principales corrientes: (i) la Teor´ıa de N´ umeros que surgi´ o de los matem´ aticos alemanes Dirichlet, Kummer, Kronecker, Dedekind y Hilbert, basados en los estudios de Gauss. El concepto de campo fue fundamental. ´ (ii) la creaci´ on del Algebra Lineal en Inglaterra por Sylvester, Clifford; en Estados Unidos por Pierce, Dickson, Wedderburn; y en Alemania y Francia por Weirstrass, Dedekind, Frobenius, Molien, Laguerre, Cartan. (iii) la Teor´ıa de Grupos que al principio se concentr´o en el estudio de grupos de permutaciones. Fue Jordan quien desarroll´o en gran forma el trabajo de ´ introdujo el concepto de homoGalois, Serret y otros de sus predecesores. El morfismo y fue el primero en estudiar grupos infinitos. M´as tarde, Lie, Klein y Poincar´e desarrollaron este estudio considerablemente. Finalmente se hizo patente que la idea fundamental y esencial de grupo era su ley de composici´ on u operaci´ on binaria y no la naturaleza de sus objetos. El ´exito de la Teor´ıa de Grupos es impresionante y extraordinario. Basta nombrar su influencia en casi toda la Matem´ atica y otras disciplinas del conocimiento. Los ejemplos escritos en 1.1 podr´ıan dejar perplejo al no ilustrado en Matem´ atica con un pensamiento acerca de los pasatiempos que los matem´ aticos inventan combinando “n´ umeros” de una manera perversa. Sin embargo, ah´ı hemos considerado ejemplos vitales para la Teor´ıa de los N´ umeros (se podr´ıa reemplazar el n´ umero 3 por cualquier n´ umero natural n (si n = 12 obtenemos los n´ umeros de los relojes) o por un n´ umero primo p obteniendo conceptos y resultados importantes), para la propia Teor´ıa de Grupos (grupo di´edrico y sim´etrico) o para la M´ usica, en lo que respecta a la escala crom´atica. Al observar esto, lo que realmente se ha hecho en la Teor´ıa de Grupos, es extraer lo esencial de ellos, a saber, dado un conjunto no vac´ıo, definimos una operaci´ on binaria en ´el, tal que cumpla ciertas axiomas, postulados o propiedades, es decir, que posea una estructura, (la estructura de grupo). Existen varios conceptos ligados al de estructura, uno de los m´as importantes es el de isomorfismo. El concepto de estructura y de los relacionados con ´este, como el de isomorfismo, juegan un papel decisivo en la Matem´atica actual. Las teor´ıas generales de las estructuras importantes son herramientas muy poderosas. Siempre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axiomas de cierta estructura, obtiene, de inmediato, todos los resultados v´ alidos para esa teor´ıa en sus objetos. Ya no tiene que comprobar cada uno de ellos particularmente. Un uso actual en la Matem´ atica, de las estructuras y los isomorfismos, es el de clasificar

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Introducci´on

las diversas ramas de ella (no es importante la naturaleza de los objetos pero s´ı lo es el de sus relaciones). En la Edad Media la clasificaci´on en ramas de la Matem´ atica estaba dada por la de Aritm´etica, M´ usica, Geometr´ıa y Astronom´ıa las que constituyeron el Cuadrivium. Despu´es y hasta la mitad del siglo XIX, las ramas de la Matem´ atica ´ se distingu´ıan por los objetos que estudiaban, por ejemplo, Aritm´etica, Algebra, Geometr´ıa Anal´ıtica, An´ alisis, todas con algunas subdivisiones. Algo as´ı como si dij´eramos que puesto que los murci´elagos y las ´aguilas vuelan entonces pertenecen a las aves. Lo que se nos presenta ahora es el ver m´as all´ a y extraer de las apariencias las estructuras subyacentes. Actualmente existen 63 ramas de la Matem´ atica con m´as de 5000 subclasificaciones. Entre ellas se encuen´ tran la Topolog´ıa Algebraica (estructuras mixtas), el Algebra Homol´ ogica (la ´ purificaci´ on de la interacci´ on entre el Algebra y la Topolog´ıa, creada en los a˜ nos cincuenta del siglo pasado), y la K-Teor´ıa Algebraica (una de las m´as recientes ramas, creada en los a˜ nos setenta del siglo pasado). La idea de una conexi´on entre la Matem´ atica y la M´ usica ha tenido aceptaci´ on a lo largo de la historia y el alcance de esa conexi´on ha sido ampliado significativamente desde que fue hecha expl´ıcita, por primera vez, por Pit´agoras de Samos. El cap´ıtulo 4 presentar´a una faceta del desarrollo moderno de la Teor´ıa Matem´ atica de la M´ usica, basada en su naturaleza transformacional. En este aspecto, la Teor´ıa de Grupos desempe˜ na un papel protag´onico. Los fundamentos de esta aplicaci´on pueden ser atribuidos, en particular, a David Lewin, quien desarroll´o la Teor´ıa Transformacional, y dio lugar a una nueva forma de teor´ıa musical, dise˜ nada para analizar la m´ usica moderna. Esta nueva teor´ıa se conoce como la Teor´ıa Neo-Riemanniana. La Teor´ıa Neo-Riemanniana est´a inspirada en la obra del te´orico alem´an de la m´ usica Hugo Riemann, quien contribuy´ o mucho a los esfuerzos de establecer relaciones entre tonos e intervalos. La necesidad de este cambio surgi´ o de los cambios industriales, pol´ıticos y sociales que ocurr´ıan a lo largo del siglo XIX. Era inevitable que hubiera un efecto importante sobre la m´ usica de ese tiempo, y estos cambios frecuentemente eran expresados por medio de modulaciones audaces, progresiones innovadoras de acordes, disonancias y resoluciones y, en general, mucho menos preparaci´on para los cambios abruptos en la M´ usica. Estas radicales transformaciones dieron lugar, en la M´ usica, al posromanticismo y, finalmente, a la atonalidad. Naturalmente, la teor´ıa tonal de la M´ usica no pod´ıa seguir cumpliendo con su responsabilidad y nuevas herramientas ten´ıan que ser construidas para poder analizar y explicar esta m´ usica en evoluci´on; as´ı naci´ o la teor´ıa Riemanniana. Mientras que Riemann estaba interesado, primordialmente, en sustituir el sistema de etiquetar los acordes y eventos musicales en boga, Lewin vio la potencialidad de estas etiquetas para describir el movimiento entre estos eventos musicales. El trabajo de Lewin toma forma en su contribuci´ on extensiva a la definici´on de las operaciones que describen el movimiento musica...