Uni Studium Elektrotechnik 1. Semester - Formelsammlung Schaltungstechnik 1 PDF

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Summary

Formelsammlung zur Schaltungstheorie Klausur.
...

Description

Schaltungstechnik 1

Schaltungstechnik 1 Kirchhoff-Gesetze Anwendbarkeit Konzentriertheitshypothese muss erf¨ullt sein: d 0 i = 0 f¨ ur u < 0

Kennlinienbestimmung von verschalteten Bauteilen Norator

Parallel

i

Die Spannung ist an jedem Bauteil gleich. Die Str¨ome werden nach der Knotenregel addiert. Grafisch: Kennlinien entlang der i-Achse addieren. Leerlauf Seriell

i

Der Strom ist in jedem Bauteil gleich. Die Spannungen werden nach der Maschenregel addiert. Grafisch: Kennlinien entlang der u-Achse addieren.

Kurzschluss

i

Arbeitspunktbestimmung Quelleneintor Quelleneintor gespiegelt an der u-Achse Lasteintor

Q: Qx : F: i

Ohmscher Widerstand

i

F x

Q

Q AP

Rechnerisch: iQ = −iF

iAP

uAP

u

Ideale Stromquelle

Graphisch: AP = F ∩ Qx

i

Linearisierung im Arbeitspunkt Ideale Spannungsquelle

z.B. Leitwertsbeschreibung:  ∂iF  ∆iF = ∂u · ∆uF  F

i

AP

(iF = IAP + ∆iF ; uF = UAP + ∆uF )  ∂iF  · (uF − UAP ) + IAP  iF,l in = ∂u F AP   ∂iF  ∂iF  · UAP + IAP ·u − iF,l in = F ∂uF AP ∂uF AP | {z } | {z } g

I0,AP

Ideale Diode

i

Reale Diode

i

Ersatzschaltbilder

u

u = UT · ln( Ii + 1) S u

i = IS (e UT − 1)

Zuerst alle Bauteile im Arbeitspunkt linearisieren. Photodiode Großsignal

i

u(t) = UT · ln( u

Alle Wechselquellen weglassen. Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

i(t) = IS (e

u(t) UT

i(t)+iL (t) IS

+ 1)

− 1) − iL (t) 2

Schaltungstechnik 1

Erstelldatum: 29. April 2018

http://www.ei-studium.de

Zenerdiode

Explizit

i u

leitet bei u < UZ

Tunneldiode

i u

Konkaver Widerstand i u

i = 0 f¨ ur u ≤ U0 i = G · (u − U0 ) f¨ ur u ≥ U0

   u1 g11 u1 + g12 u2 i1 =G· = i2 u2 g21 u1 + g22 u2

Leitwertsbeschr.

   i r i + r12 i2 u1 = R · 1 = 11 1 u2 i2 r21 i1 + r22 i2

Widerstandsbeschr.

   u1 i h i + h12 u2 = H · 1 = 11 1 i2 u2 h21 i1 + h22 u2

hybride Beschr.

   ′ u + h′ i1 u1 h11 1 12 i2 = H’ · = ′ u2 i2 h21 u1 + h′22 i2

inverse hybride Beschr.

   u1 u a u − a12 i2 = A · 2 = 11 2 i1 −i2 a21 u2 − a22 i2

Kettenbeschr.

   ′ u − a′ u2 u1 a11 1 12 i1 = A’ · = ′ a21 u1 − a′22 i1 i2 −i1

inverse Kettenbeschr.

Parametrisiert

    (1) U u u = · c = (1) i I i | {z }   U Bild  I

Konvexer Widerstand

i

i

u

u

F = Bild

R I0

mit

u = 0 f¨ ur i ≤ I0 u = R · (i − I0 ) f¨ur i ≥ I0

1 V

 u(2) ·c i(2)

   u U + 0 I i0

quellenfrei

nicht quellenfrei

u, A1 i, c ∈ Rn×1 und

1 V

U, A1 I ∈ Rn×n

Eigenschaften F ist...

Lineare Quellen i

i

- passiv

wenn...  u ∀ ∈ F : P = uT · i ≥ 0 i

- aktiv

∃

 u ∈ F : P = uT · i < 0 i

- verlustlos

∀

 u ∈ F : uT · i = 0 i

i

I0

R u0

u

=

G

u

U0 = I0 · R; I0 = U0 · G

u

UT I + IT U = 0 R = −RT ; G = −GT

Resistive Zweitore

- umkehrbar

G = P · G· P; R = P · R · P; A = A’ 0 1 P= Zeilentausch + Spaltentausch“ 1 0 ”

- reziprok

UT I − IT U = 0; G = GT ; R = RT det(A) = det(A’) = 1 Netzwerk besteht nur aus R, C und L

Darstellungsformen Implizit



 N · {z h Kern M

M |

 u =0 i } i N

 F = Kern M

quellenfrei Dualit¨at 

 u N + 0 i0

nicht quellenfrei

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

   d  0 Rd I U = 1 = 1 1 U I Rd Rd Gd =

1 R d 2 R;

  Rd 1 U · 0 I

Rd = Rd 2 G 3

Schaltungstechnik 1

Erstelldatum: 29. April 2018

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Aufstellen der Matrix

Parallelschaltung

Bei quellenbehafteten Zweitoren:

G1 Gges = G1 + G2

z.B. i = G · u + I0

G2

1 ) Setze Quellen zu Null (Spannungsquelle → KS; Stromquelle → LL) → bestimme Matrix (hier: i = G · u) 2 ) Setze Steuergr¨oßen zu Null. → bestimme Quellenvektor (hier: i = I 0 ).

Serienschaltung

R1 Rges = R1 + R2

Kurzschluss/Leerlauf-Methode

R2

Jeweils eine steuernde Gr¨ oße auf Null setzen (Spannungsquelle → KS; Stromquelle → LL).     G g11 = ui11  g12 = ui12  u2 =0 u1 =0   g21 = ui21  g22 = ui22   u2 =0  u1 =0   r12 = ui21  R r11 = ui11  i2 =0 i1 =0   r21 = ui12  r22 = ui22  i2 =0 i1 =0   H h11 = ui11  h12 = uu21   u2 =0 i1 =0   h21 = ii21  h22 = ui22  u2 =0  i1 =0   ′ H’ h11 = ui11  h′12 = ii21  i2 =0 u1 =0  u  h′21 = uu12  h′22 = i22  u1 =0 i2 =0   A a11 = uu21  a12 = − ui21  i2 =0  u2 =0   a22 = − ii21  a21 = ui12  i2 =0 u2 =0   ′ A’ a11 = uu12  a′12 = −iu12 i1 =0  u1 =0   a′22 = −ii12 a′21 = ui21  i1 =0

u1 =0

Linearisierung im AP

Hybride Verschaltung

H1 Hges = H1 + H2

H2 Inverse hybride Verschaltung

H’1 H’ges = H’1 + H’2

H’2 Kettenschaltung

A1 A ges = A 1 · A 2 Inverse Kettenschaltung

Explizit

A’1

z.B. Leitwertsbeschreibung: ∆i = J · ∆u

Umrechnung der Zweitor-Matrizen Implizit → explizit



J(Jacobimatrix)

Implizit

|

∂f1 ∂u1 ∂f2 ∂u1

∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2

{z M

A’2

A’ges = A’2 · A’1

(i = I + ∆i; u = U + ∆u)  " ∂g1 ∂g1 #   ∆u1 I1 i1 ∂u2  1 · = ∂u +  ∂g ∂g 2 2 i2 ∆u2 I2  ∂u2 AP ∂u1 | {z } "

A2

#    

·

AP

}



∆u1 + ∆u2

" |

∂f1 ∂i1 ∂f2 ∂i1

∂f1 ∂i2 ∂f2 ∂i2

{z

N

#    

·

AP

}



∆i1 =0 ∆i2

Zusammenschaltung von Zweitoren Es muss immer darauf geachtet werden, dass die Torbedingungen eingehalten werden (außer bei Kettenschaltung)! Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

M

  u =0 N · i

|M −1 ·



M

  u =0 N · i

u + M−1 N · i = 0

N−1 M · u + i = 0

u = −M−1 N ·i | {z }

i = −N−1 M ·u | {z }

R

|N −1 ·

G

Explizit → implizit

u=R·i 1 ·u −R ·i = 0

i=G·u −G ·u + 1 ·i = 0

M

N

M

N

|{z}

|{z}

|{z}

|{z}

4

Schaltungstechnik 1

Erstelldatum: 29. April 2018

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Parametrisiert → explizit

Spezielle Zweitore

   u U = ·c i I

USI

⇒

u U ·c = i I ·c

|I−1 ·

i= I·c

|U−1 ·

u=U·c

Spannungsgesteuerte Stromquelle (VCCS) i2 =g·u1

i 1 =0

⇒ U−1 · u = c

⇒ I−1 · i = c

u2

u1

−1

−1

⇒ i = |I · {z U } ·u

⇒ u = |U {z · I } ·i

G

R

A=

Explizit → parametrisiert

u=R·i

i=G·u

U = R;

I=1

U = 1;



0 −g1 0 0

I=G



0 g

0 0



M=



0 −g

   0 1 0 N= 0 0 1

Stromgesteuerte Stromquelle (CCCS) i2 = β·i 1

i1

U = 1; I = −N−1 M

oder

G=

ISI

Implizit → parametrisiert

U = −M−1 N; I = 1



u2

u1 =0

A=



0 0 0 − β1



H=



0 β

 0 0

Parametrisiert → implizit USU

M = −I · U−1 ; N = 1

oder

M = 1; N = −U · I−1

Spannungsgesteuerte Spannungsquelle (VCVS)

Explizit → explizit

i = G · u + I 0 |R·

u = R · i + U 0 |G·

R·i=R · G} ·u + R · I 0 | {z

G·u=G · R} ·i + G · U 0 | {z

1

u = R · i − R · I0

i2

i1 =0

u1

u2 =µ·u1

1

i = G · u − G · U0

A=

1 µ

0

0 0



H’ =



 0 0 µ 0

ISU R  H    G   det(H) h g −g r11 r12 12 22 12 1 1 R Stromgesteuerte Spannungsquelle (CCVS) h22 det(G) −g 1  r21 r22 21  −h21 g 11   g g 1 −h r −r 11 12 12 22 12 1 1 G det(R) h11 h g g 22 −r21 r11 i2 i1   21 det(H)  21  h11 h12 1 −g 12 det(R) r12 1 1 H r g11 g 21 22 det(G) h21 h22 −r21 1 u2 =r·i1     u1 =0   det(G) g 12 h22 −h12 1 −r12 1 1 1 H’ r g22 11 1  det(H) h11   −h21  −g 21 r21 det(R)  −det(H) −h −g −1 r det(R) 11 22 11 1 1 A r121        −h22 −1 1 r22  g21 −det(G) −g 11  h21 1 0 0 0 0    0 0 M = N = A = R = 1 h −g −1 r det(R) 1 1 1 11 11 22 r 0 0 1 −r A’ r1 0 r h g 12 12 12 h22 det(H) −det(G) −g 22 1 r11 H’ A A’      ′ ′ 1 a22 1 −h12 a11 det(A) 1 1 1 R h′ ′ ′ ′ ′ a a22 21 11 det(A’) a11 h det(H )  a21 1     21 ′ ′ a22 −det(A) 1 det(H ) h′12 −1 a11 1 1 G h′ ′ ′ ′ ′ 1  a12 −1 a11  a12 −det(A ) a22  22 −h′21 ′ ′ −h a det(A) h 1 a12 12 22 12 1 1 1 H det(H ′ ′ ′) ′ ′ ′ a a 22 h −1 a 11 −det(A ) a −h 21 21 21 11    ′  ′   a −det(A) −1 a h11 h′12 21 21 1 1 H’ ′ ′ ′ ′ ′ a a 11 1 a12 22 det(A ) a12 h h 22     ′   21 a11 a12 a22 a′12 1 h′22 1 1 A h′ ′ ′ ′ ′ ′ det(A ) a a det(H )  a21 a22  21  ′ 21 ′  11  h11 ′ ′ a 11 a12 a22 a12 −det(H ) −h22 1 1 A’ h′ ′ ′ det(A) a −1 a11 12 a′21 a22 −h11 21 

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

 0 0

Nullor

Quellenfrei, streng linear i1

u1

i2 u2

A=



0 0 0 0



M=



   1 0 0 0 N= 0 0 1 0

Gyrator

Dualwandler, Positiv-Immittanz-Inverter (PII)

5

Schaltungstechnik 1

Verlustlos ( R1 = R2 = Rd ) G = −GT R = −RT det(A) = det(A ′ ) = −1 FGyr = F d

i2

i1

u1

u2 R1:R2

G=



1  R2

0

− R1 1

A’ =



 −R2 0

− R11



 −R1 0



R1 0

0 R2

R=

0

0

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0 N= −R2

A=





Emitterschaltung npn-Transistor

ucb

0

R1 0

1 R2



b ib ube e

e

Ebers-Moll-Modell (Basisschaltung, npn)

e

c αRi2

ie

Verlustlos Reziprok Umkehrbar f¨ ur ¨u = ±1 det(A) = det(A ′ ) = 1

i2 u2

A=

u ¨ 0

H’ =



0



A’ =

 − u¨1 0

1 u ¨



1

0 u ¨

u ¨

0



H=



1 −¨ u M= 0 0



i1

 u ¨ 0

0 −¨ u

ic

ucb i2 ib

1 u ¨

0

αFi1

ueb

ü:1



uce

b ib ube

uce

 1 0 M= 0 1

Positiv-Immittanz-Konverter (PIK)

u1

ic c

ucb



¨ Idealer Ubertrager

i1

pnp-Transistor

ic c

ie = −Ies · (e

−

ic = αF Ies · (e



 0 0 N= u ¨ 1

ueb UT

−

b u

− 1) + αR Ics · (e

ueb UT

− Ucb T

− 1)

u

− 1) − Ics · (e

− Ucb T

− 1)

NIK

Vereinfachung fur artsbetrieb (npn) ¨ Vorw¨

Negativ-Immittanz-Konverter (NIK)

Bedingung f¨ur den Vorw¨artsbetrieb: ube > 0 ∧ ucb ≥ 0

Aktiv, antireziprok, f¨ur |k| = 1 symmetrisch k=1 k = −1

F ist an der i1 -Achse gespiegelter Zweipol F ist an der u1 -Achse gespiegelter Zweipol

Basisschaltung e

-αF ie

ie

A=



H’ =

 0

−k 0

1 k



− k1 0

0 − k1



A’ =



M=



 0 k

− 1k 0

1 k 0 0

H=



N=





0 −k

−k 0



ueb

ucb

ie = −Ies · (e

 0

0 1

c ic

ib

−

ueb UT

− 1)

ic = −αF ie

b

1 k

Bipolar-Transistoren Kennlinien eines npn-Transistors Eingangskennlinie

Emitterschaltung

Ausgangskennlinie

ib

≈IS

ic

b

βFib

β Fi b

ib

ube

ube

~0,6V

uce

~0,6V

ic

ube UT

− 1)

≈ β1 F

uce ie

z }| { ib = (1 − αF ) ·Ies ·(e | {z } c ic = βF ib

≈β F ·IS

e

z }| { ube ic = αF ·Ies ·(e UT − 1) |{z} ≈1

Basisschaltung npn-Transistor

e ueb

ie

uce

ib b

pnp-Transistor

ic

c

e

ucb

ueb

ie

uce

ib

ic

c ucb

Linearisierung (Emitterschaltung, Vorw¨artsbetrieb, npn)

b

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

6

Schaltungstechnik 1

Großsignal-ESB: b

Kleinsignal-Ersatzschaltbilder (nMOS)

Kleinsignal-ESB:

Ib

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c b

Ic

Δib

c

Δic

Linearer Bereich g

d

g

Δig

id

βF Δib g Δie

β FI b

Δugs

e

Δuds

g0

ube0 Ie

ic ib

αF =

βF 1+β F

=

 ∂ib  g = ∂u  be

AP

Ib UT

=

e



∂id  ∂ugs  AP

gm =

αF 1−αF

βF =

g≈

gm Δugs

s

Wenn βF → ∞:

 ∂id  g0 = ∂u  ds

AP

b

c

= β · Uds = β · (Ugs − UT − Uds )

S¨ attigungsbereich

g

e ≈ − βFI·U T

d

Δig

Ic β F ·UT

id Δuds

Δugs

e

gm =



∂id  ∂ugs  AP

gm = β · (Ugs − UT ) s

Feldeffekt-Transistoren (FET) nMOS

Operationsversta ¨rker

Guter Pull-Down Source am niedrigeren Potential (uDS > 0)  0          β u − U − GS t iD =     2 β   (uGS − Ut )   2

gmΔugs

n

i=0



uDS

+

ud

uGS < Ut (aus) ∧ uDS ≥ 0 uDS 2

uout uSAT

n p

i=beliebig

Enhancement-Typ (selbssperrend): Ut ≈ 1V Depletion-Typ (selbstleitend): Ut ≈ −1V

II ud

-

uGS > Ut (linear) ∧ 0 < uDS < uGS − Ut uGS > Ut (S¨attigung) ∧ 0 < uGS − Ut < uDS

III

uout

I

-uSAT

Operationsverst¨arker m¨ ussen immer ¨uber ihren invertierenden Eingang r¨uckgekoppelt werden, da sich sonst eine Z-Kennlinie ergibt und der Arbeitspunkt somit nicht mehr eindeutig ist. Ersatzschaltbilder

Kanalla ¨ngenmodulation: i′D = iD · (1 + λ · uDS )

ESB I

+

i 1=0

i 2 =beliebig

pMOS Guter Pull-Up Source am h¨ oheren Potential (uDS < 0)  0          −β u − U − GS t iD =     2 −β  (uGS − Ut )   2  

ud p

uGS > Ut (aus) uDS 2



uDS

-USAT

uout

p n

∧ uDS ≤ 0 uGS < Ut (linear) ∧ 0 > uDS > uGS − Ut uGS < Ut (S¨attigung) ∧ 0 > uGS − Ut > uDS

ud < 0 -

ESB II

+

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

i 1=0

ud =0

i 2 =beliebig

uout ud = 0

Enhancement-Typ (selbstsperrend): Ut ≈ −1V Kanalla ¨ngenmodulation: i′D = iD · (1 − λ · uDS )

uout = −USAT

-

|uout | ≤ |USAT | 7

Schaltungstechnik 1

ESB III

+

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Integrierer i2 =beliebig

i 1 =0

R

C

-

ud

uout

USAT

ud

uin

ud > 0 -

uout

+

uout = USAT

OP-Schaltungen Spannungsfolger (Impedanzwandler) i

uout = −uc (t0 ) −

1 RC

·

+

Rt1

uin dt

t0

Differenzverst¨ arker/Subtrahierer

ud

R1

uin

Bedingung: R1 = R3 ; R2 = R4

R2

uout

-

uout = uin

ud

R3 u1

u out

+

vu = 1

uout = RR34 · (u2 − u1 )

R4

u2

uout = RR12 · (u2 − u1 )

Nichtinvertierender Verst¨ arker i

Logarithmierer

+

ud

-

R

R0

uin

uout

uout = (1...