Formelsammlung 1 PDF

Preview

Summary

Formelsammlung...

Description



MASCHINENZAHLEN

-adische Darstellung: ( ) REZEPT: -adische Darstellung einer reellen Zahl 9 mit und , ) 9 Bestimme aus ∑ mit * + ( ) 9 Falls Bestimme aus ∑ * + ( ) 













* + und Mantisse 8 „normalisiert“ : falls * Maschinenzahlen: { 8 Anzahl: ( ) mit -stellige Gleitpunktzahlen:

( Maschinengenauigkeit

mit



mit

+

} *

+

)

( ) nächstgrößeren Zahl in gibt es ein 8 Bei der Eingabe: zu jedem kleine gut approximiert Runden: Abbildung ,  minimal



mit

8 Beim Runden: zu jedem gibt es ein () ( ) kleiner Fehler

mit

mit

Arithmetische Gleitpunktzahlen: * + ( ) 8 Bei der Arithmetik: zu allen gibt es ein mit ( )( ) kleiner Fehler

Auslöschung: Substraktion von zwei nahezu gleiche Gleitpunktzahlen (√ ⁄ √ ) √ √ zur Vermeidung

Problem: , und sind normierte Räume Kondition: Maß für Auswirkung des Fehlers in Eingabedaten auf Resultate ( ) ( ) mit Eingabedatenfehler und Fehler im Resultat ;

8

()

8 Absolute Kondition: falls

diff.bar

8 Relative Kondition: falls

diff.bar

‖‖

()

()

8 Gut konditioniert: 8 Schlecht konditioniert:

()

‖‖

| ( )|

falls ( ) klein; ( ) falls ( ) groß; ( )

¾ STOP:



Die Groß-O-Notation: ( ) ( ( )) für mit ( ) ( ) für alle bzw. ()

()

(() )

oder

8 Der relative Fehler von 󰆻 in

bzw.

8 󰆻 für ein heißt genau : falls

8 󰆻 für ein heißt stabil : falls 

mit

‖󰆻( ) ( )‖ ‖ ( )‖

‖󰆻( ) ( )‖

‖󰆻( ) ( )‖

‖ ( )‖ ‖󰆻( ) ( )‖ ‖ ( )‖

‖ ‖

mit‖ ‖

8 󰆻 für ein heißt rückwärtsstabil : ‖ ‖

‖󰆻( ) ( )‖

:

:

‖‖

‖ ( )‖

( ) für



( ) für ein 

( ) falls 󰆻( ) () für ein

mit ( ) ( )

 Weitere Funktionen: ( ) ( ) ( ) mit ( ) REZEPT: Fixpunktiteration gegeben , gesucht mit ( ) 9 Wähle einen Startvektor(-zahl) in einer Umgebung von 9 Bestimme die Folge ( ) mit ( ), 9 STOP: ‖ ‖ , 

Babylonische Wurzelziehen: ( )

.

/

‖

‖

‖

‖

()

()

) ( () ()

()

*

+

√

fkt [x]=fixpunkt(n,s,phi) x(1)=s; for k=2:n x(k)=phi(x(k-1));

()

(

() ( )

) ( ) bzw.

( )

( ( ))

( )

()

( )) ‖ ‖ “betragsmäßig +

Das Gauß-Seidelverfahren 8 ( ) mit und ( ) ( ) ( ) ( ) mit ( )

( ∑

( )

()

Relaxation

( )

4 ∑

)

) () (

∑

)

) (

()

)

()

.

/

.

/

( ) ()

(

) ,

, -

Relaxationsparameter mit eine Familie * , -+ von Fixpunktiterationen ( )





OPTIMIERUNG  Minimierungsproblem: bestimme ( ) von einer stetigen Zielfunktion in Zulässigkeitsbereich mit ( )  Stationärer Punkt REZEPT: Das allgemeine Abstiegsverfahren , 9 Bestimme Abstiegsrichtung mit ( )

9 Bestimme eine Schrittweite mit ( ) ( ) 9 für REZEPT: Das Gradientenverfahren 9 Abstiegsverfahren mit ( ) (=Die Richtung des steilsten Abstiegs) MATLAB: functionx=[opti(x0,f,DF,Hf) x=x0; deltax=1; while (norm(deltaxC)>eps) fx=f(x); Dfx=Df(x) ; h=1; while (f(x-h+Dfx)>fx-

 

Exakte Schrittweite: ( ) ( ) bestimme () Armijoschrittweite: ( ) bestimme die größte Zahl

2

3

mit (

) ( )

()

9

¾ Ist ein lokales Minimum von , sodass obiger Algorithmus für ( ) quadratisch gegen konvergiert ( )

REZEPT: Das globalisierte Newtonverfahren

9 Bestimme  durch Lösen von ( )

,

( )

-

9 Falls ( )  * ‖ ‖+ ‖ ‖  , sonst ( ) 9 Armijoschrittweite (globale Konv. gesichert: global linear, lokal quadratisch) ( )  Inexakte Newtonverfahren: ( ) aus ( )  Quasi-Newtonverfahren: ersetze ( ) durch Matrix MATLAB:functionx=[opti(x0,f,DF,Hf) x=x0; deltax=1while (norm(deltaxC) >eps) fx=f(x); Dfx=Df(x) ; deltax=Hfx\Dfx; x=x-deltax; end

NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN  AWP 󰇗 ( ) mit ( ) an den Stellen mit und ( ) ⁄ für ein (

(

)

)

.

(

(

)

) mit / ,

.

(

) ,

/ ,

Damit die numerische Lösung beschränkt bleibt, muss die EWe von aus 󰇗 vom Betrag her kleiner als sein. () ( ) ( () ) 8 Einschrittverfahren Gitterfunktion mit ( ) ( ) für alle mit Zeitgitter * Schrittweiten für

+

mit den und der

maximalen Schrittweite { } 8 Konsistenz: Fehler, der lokal bei einem Schritt des Verfahrens entsteht ( () ) ( ) x konsistent, wenn ( () ) ( ) x x

Konsistenzfehler: ( ) ( ) ( ) Konsistenzordnung : falls ( ) ( ) ( ) für jedes gibt es ( ), sodass ( ) für eine hohe Konsistenzordnung sorgt lokal dafür, dass der

durch das Einschrittverfahren Schrittweite

gemachte Fehler bei einer Verkleinerung der

schnell verschwindend klein wird

8 Fourierreihe der Ableitung: ( ) stetig auf und ⁄) stückweise stetig differenzierbar auf , ⁄

)

() () ∑

∑

(

(

)

)

) für







mit ( )

.

(

/ ist -perodisch

Umrechnung von - in -Periodizität:



, -periodisch

endlich vielen zugelassenen Unstetigkeitsstellen - -Darstellung (für , ) die Integrationsgrenzen ändern!) , ⁄ ⁄) / ∫ ⁄ () . ∫ ⁄ () ,

()

8 8

∫

()

⁄

⁄

() .

⁄

∑

stetig in () () nicht stetig in

8

ungerade

8

gerade

∫

∫

⁄

⁄

( )

() .

( ) ()

.

/

()

,

.

/

/

() .

⁄ ⁄

∫

()

( ) mit

)

//

(

Bei ( )

⁄

(

)

()

( √⁄

()

(

) für

( ) ( ) ) von



Orthonormalsystem

 

√⁄ 〈 √⁄ 〉 , 〈 ( )〉, 〈 ( )〉 Sätze und Regeln zu Fourierkoeffizienten bzw. Fourierreihen

〈 ( )〉 bzgl. 〈 〉

()

()

∑

∑



8 Linerität: (



∫– ( ) ( )

.

.

) ()

/

()

8 Das Lemma von Riemann: ∑

∑

(

(

) . )

{

.

/ 

.

/ (

) .

()

für alle





)( )

( ) mit

() ∑ Fourierkoeff. von und

∫

(

⁄ ⁄

mit

) ()

∑



REZEPT: Bestimmen einer -periodischen Lösung einer DGL mit -periodischer Störfunktion (󰇘 ) (󰇗 ) ( ) ( ) mit einer stetigen, -periodischen ( ) und reell 9 Entwickle in ( ) ∑ ⁄ mit

9 *überspringen Mit Ansatz ( ) ∑ ) ∑ ( *

9 () ∑

FOURIERTRANSFORMATION  Fouriertransformierte / Frequenz- / Spektralfunktion mit ( )

)

→

Zeitfunktion

()

∫

Cauchyhauptwert:



( )

() {

/ ∑

/ ∑



∫

() ⏟

∫

( )

von

(⏟ ) ()

( ) mit Schwartzraum

}

⏟ ()

Regeln und Sätze zur Fouriertransformation () ( ) bzw ( ) ()

stetig + ( ) für 8 Linearität: ( ) ( ) 8 Konjugation:  ()

8 Ähnlichkeit: ( ) für

()

∫

8 Stetigkeit und eigentliche Konvergenz von ( ) ( ) für alle  ( )

die Werte werden zum Rand hin klein

*+

( )

8 Verschiebung im Zeitbereich: (

)

()

Verschiebung im Frequenzereich:  ( ) Ableitung im Zeitbereich: ( ) () Ableitung im Frequenzbereich: ( ) Faltung: ( )( ) ∫ ( ) ( )

( )

()

.

/

() ()

() ( ) 8 Umkehrsatz: stetig in 8 Symmetrie: ist genau dann gerade / ungerade, wenn die gerade / ungerade ist REZEPT: Lösen einer DGL mit Fouriertransformation (󰇘 ) (󰇗 ) ( ) ( ) mit 9 ( ) () () () () 9 *überspringen Löse nach ( )

9 Ermittle die Impulsantwort ( ) 9 ()

∫

-facher Tiefpass: .

/

(bzgl. )

()

()

()

Fouriertrafo ist dann bij ektiv, falls

8 8 8 8

ersetzen für Eliminierung der

Schwingungen, falls die Null sind Umrechnungsformeln x Komplex reell: , ( ) für x Reell komplex :

( )



mit

() ∑

) ∑

/

der nullte

und

.

(

REZEPT: Berechnung von Reihenwerten Gegeben: in stetige ( ) mit ( ) gesuchte Reihe 9 ( ) ( ) berechnen 9 finden, so dass ( ) zu der gegebenen Reihe wird 9 Da in stetig ( ) ( ) einsetzen 9 ( ) nach Reihe auflösen Komplex: -Darstellung (für , ) die Integrationsgrenzen ändern!) ()

.

bzw.

und

/

und ( )

für

/

/

∫ () ∫ () () ( ) bzw ( ( )) ( )  Distributionen: und sind eig keine Funktion (Dirac & Heaviside)  Die inverse Fouriertransformierte 󰆻( ) mit () 󰆻( ) { ()() ∫ ()

⁄

MATLAB: function [ a0,a,b ] = fouriercoeff( f,n,Tmin,Tmax )T=TmaxTmin; w=2*pi/T; a0=2/T*integral(f,Tmin,Tmax); a = zeros(1,n); b = zeros(1,n); for k = 1:n a(k)=2/T*integral(@(t)(f(t).*cos(k*w*t)) ,Tmin,Tmax)b(k)=2/T*integral(@(t)(f(t).*sin(k*w*t)),Tmin,Tmax); end



() (

() 8 *Faltung:

-per. für

.

wobei

8 Frequenzverschiebung:

, wenn gilt

/

.

⁄ -periodisch mit ( ) ( ) ∑

mit

.

/

( ) mit ( ) ( ) ∑ 8 Zeitumkehr: ( ) mit 8 Zeitverschiebung:

aus dem Ableiten des

Zulässige Funktionen: ( ) [ insbesondere beschränkt+ ⁄ ⁄) oder , ) 8 ist -periodisch mit , 8 lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, auf denen stetig und monoton ist. ( ) in 8 ( ) ( ) und ( )

Reell: ()



/

.



∑

∑

Fourierkoeffizient von  ist 8 Streckung: ist -periodisch

mittel s Einschrittverfahren ermitteln

Interpolationspolynoms FOURIERREIHEN  ist periodisch mit der Periode ( ) ( ) für

.

∑

8 Fourierreihe der Stammfunktion: ist Stammfunktion  von ist in ( )

Eigenwerte mit ( ) besitzt Stabilitätsgebiet impliziter Verfahren Stabilitätsgebiet expliziter Verfahren

9 󰇗( )



MATLAB: function [t,x]=runge_kutta(f,t0,x0,h,N)N=round(N); x=NaN* ones(length(x0),N+1); t=NaN*ones(1,N+1); t(:,1)=t0; x(:,1)=x0;for k=1:N k1=f(t(k),x(:,k));k2=f(t(k)+(h/2),x(:,k)+(h/2)*k1); k3=f(t(k) +(h/2),x(:,k)+(h/2)*k2);k4=f(t(k)+h,x(:,k)+h*k3); x(:,k+1)=x(:,k) +(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); t(k+1)=t(k)+h; end plot(t,x(1,:),'ko-')

- ,(

für

REZEPT: BDF-Verf.: Implizite Mehrschrittverf. zur Lösung steifer DGLen



Gradientenverfahren mit Armijoschrittweite: terminiert entweder in einem stationären Punkt oder unendliche Folge ( ) mit ( ) ( ) für alle (nur lineare Konvergenz beim GV) REZEPT: Das lokale Newtonverfahren , 9 Bestimme durch Lösen von ( ) ( )

)

Steife DGLen: haben einen Lösungsanteil, der schnell klein wird und dann gegenüber einem anderen Lösungsanteil nicht mehr beobachtbar ist die Schrittweite nach diesem Lösungsanteil ausrichten [ implizite Verf. zur Lsg ] 8 Wenn Jacobimatrix ( ( )) zum Zeitpunkt an der Stelle ( )

9 Startwerte 9 ∑

(armijoparameter)+h+Dfx´+Dfx) h=h/2; end deltax=h+Dfx; x=x-deltax; end

MATLAB: function [t,x]=impl_euler(f,t0,x0,h,N)options = optimset ('Display','off'); N=round(N); x=NaN*ones(length(x0),N+1); t=NaN* ones(1,N+1); t(:,1)=t0; x(:,1)=x0;for k=1:N t(k+1)=t(k)+h; x(:,k+1) = fsolve(@(xx)(xx-x(:,k)-h*f(t(k+1),xx)),x(:,k),options); end end

5

()

, falls strikt für alle

( )

) ((

( )

/

(

konv. mit der Ordnung gegen , falls ‖ ‖ für hat Konvergenzordnung , falls ‖ ‖ (

x

.

und

8 Beim klassischen Runge-Kuttaverfahren:

( irgendein Iterationsverfahren)

8 Konvexkombination:

(

( ∑

* mit

8 Beim impliziten Eulerverfahren:

MATLAB: function[x,relerr,niter]=gausseidel(A,b,x0,tol, maxiter) relerr=inf; niter=1; M=tril(A); N=M-A; while relerr>=tol&niter=tol&niter 1 disp('abgeschmiert'); break; end xvec=[xvec x]; weiter=norm(xnachxvor) > tol; iter=iter+1; diffold=diffnew; end

richtig/falsch, wenn beschränkt/unbeschränkt 󰆻 , , 󰆻 󰆻 󰆻  Algorithmus: 󰆻 󰆻 aus * + , 󰆻( ) 󰆻( ) 󰆻 ( ) 8 Der absolute Fehler von 󰆻 in

‖

‖ ‖ ‖ ‖ “betragsmäßig maximale Spaltensumme” maximale Zeilensumme” ‖‖ *√

Funktionen werden nahe an bzw. nahe an betrachtet

9 Berechne

‖

„Löser“:

8 konvergent für , falls positiv definit ist [ Überrelaxierung für ]

stetig diff.bar und Fixp. von mit ( ( )) Eine konvergente Folge ( ) in mit Grenzwert hat die Konvergenzordnung , falls mit ‖ ‖ ‖ ‖ für alle für 8 Im Fall 8 / / linearer / quadratischer / kubischer Konv.

Spektralradius: ( )

bzw.

REZEPT: Nachweis von ( ) ( ( )) für

‖

‖

( )

√

Das SOR-Verfahren / Das relaxierte Gauß-Seidelverfahren 8

,

mit gewünschter Genauigkeit

.



,

( ) mit Inkrement-/Verfahrensfunktion] 8 Konvergenz: global x Gitterfehler: () () () x Diskretisierungsfehler: ‖ ‖ ‖ ( )‖ [ ist konsistent]

x

„Vorkonditioner“:

2. Für Gaußseidelverfahren:

Lokaler Konvergenzsatz: offen, stetig diff.bar und ein Fixpunkt von mit ‖ ( )‖ ( ( )) Lokaler, normunabhängiger Konvergenzsatz: offen,

Jacobimatrix: ( ) (

() nahe gut/schlecht konditioniert „Sensitivi tät bzgl. “ nach ableiten!



‖

¾ STOP:

‖ ‖ ‖⁄ ‖

() ⁄

‖

8 A-posteriori- Fehlerabschätzung: ‖



1. Für Jacobiverfahren:

( ) kleinste obere Schranke der nach oben beschränkten Menge

‖



, stetig

konvexen Menge ; ‖ ( )‖ ( ( )) für alle ‖ ‖ beliebige Vektornorm auf ‖ ( )‖ falls ‖ ( )‖

¾ Iterationsanzahl

⁄

‖ ‖ ‖ ( )‖

‖‖

()

‖ ‖

,

Globaler Konvergenzsatz / Fixpunktsatz von Banach: abgeschlossen und eine Kontraktion mit konvergiert gegen einen eindeutigen Fixpunkt REZEPT: Überprüfung der Gültigkeit des globalen Konvergenzsatzes 9 Stimmen die Vektorräume (Definitions- und Wertemenge) überein? nein: STOP, nicht gültig ; ja: weiter! 9 Ist abgeschlossen? nein: STOP, nicht gültig ; ja: weiter! 9 Ist Invarianz ( ) erfüllt? nein: STOP, nicht gültig ; ja: weiter! 9 Ist eine Kontraktion? nein: STOP, nicht gültig ; ja: gültig!

MATLAB: dec2bin(a) / bin2dec(a) / eps %Darstellung der Maschinenzahlen: … M=[ ] ; for e=emin:emax for m=b^(t-1):b^t-1 x=m*b^(e-t) ; M=[M x] ; end ; N(1:length(M))=1 ; plot (M,N,´o´) %semilogx(M,N,`o´) %Binärdarstellung: function [x]=bianerganz(a) k=1 ; while a>=1 if mod(a,2)=0 x(k)=1; a=a-1; a=a/2; k=k+1; else x(k)=0;a=a/2;k=k+1 end end x=x(end:-1:1)

 

, falls

8 A-priori-Fehlerabschätzung: ‖

mit

GRUNDBEGRIFFE DER NUMERIK

Fixpunkt von

Kontraktion: eine lipschitzstetige Funktion mit , ) 8 stetig diff.bar auf einer abgeschl., beschränkten und

8

) : Abstand von der Maschinenzahl zur (

8 Das relaxierte Verfahren: ( ) ( ) ( ) 8 Optimales Relaxationsparameter , minimale ( ( )) und alle Eigenwerte von sind reell

und die Folge ( ) gegen ein konvergiert ( ) ( ) () für alle Startwerte 8 global konvergent: 8 lokal konvergent: von mit für 8 lipschitzstetig: mit ‖ ( ) ( )‖ ‖ ‖ für alle [ Kontraktions- / Lipschitzkonstante ] [differenzierbar lipschitzstetig stetig]

Konvergenz:

-facher Tiefpass: .

(

) ()

/ () / ()

( ). ( ).

()

()

⏟

∫

()

(

/

()

) ()

/

MELTEM GOKS GOKSU U KANDEMIR

REZEPT: Herleitung einer gDGL für ( ) mittels Fouriertrafo 9 In Ansatz: ( ) 9 pDGL auftretende partielle Ableitungen aufstellen; einsetzen

MATLAB: syms s,t ; f=... ; laplace(f, s) REZEPT: Bestimmen der Partialbruchzerlegung () () 9 Nullstellen von ( ) ermitteln: ()

9 Mit AB und RB die Konstanten und ermitteln MATLAB:

syms t w ; f=… ; fourier(f,t,w)

()

()

( )( )

für jeden einfachen reellen Pol ansetzen

9

(

)(

(

)

)

für jeden doppelten reellen Pol ansetzen

für jedes konjugiert komplexe Polpaar ansetzen



Randwert- oder Anfangs-Randwertproblem gut gestellt, falls die



Lösung existiert, eindeutig ist und stetig von den Daten abhängt. Stabilität: fehlerbehaftete Eingangsdaten, deren Fehler in Ungenuigkeiten von Messungen zu suchen sind, haben nur relativ

(

, falls ( ) ( ) ( ) {

auf

für ( )

auf , falls verschiedene Verhalten für verschiedene ( )

() ∫

()

für

bereichs von höchstens exponentiellem Wachstum x Laplacetransformierte von :

mit ( ) ( ) und ( ( )) ( ) () x Originalfunktion: Originalbereich: Menge aller laplacetrans.baren Funktionen x Bildfunktion: () Bildbereich: Menge aller laplacetransformie...