Unidad 1 - Diagrama DE Tallo Y HOJA PDF

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Apuntes y guías de trabajos prácticos de la cátedra de la asignatura costos e indicadores perteneciente al tercer año de la carrera de Licenciatura en Higiene y Seguridad en el Trabajo....

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DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA Un diagrama donde cada valor de datos es dividido en una "hoja" (normalmente el último dígito) y un "tallo" (los otros dígitos). Por ejemplo "32" sería dividido en "3" (tallo) y "2" (hoja). Los valores del "tallo" se escriben hacia abajo y los valores "hoja" van a la derecha (o izquierda) del los valores tallo. El "tallo" es usado para agrupar los puntajes y cada "hoja" indica los puntajes individuales dentro de cada grupo.

Un diagrama de tallo y hojas se parece a un histograma inclinado hacia un lado. Utiliza este diagrama cuando quieras examinar la forma de tu conjunto de datos sin perder los datos originales. Utiliza el diagrama de tallo y hojas para datos que son continuos, como mediciones o intervalos de tiempo. Hay dos partes en este tipo de diagrama. El tallo es siempre de base diez mientras que la hoja es el resto de los números. Los intervalos de punto son el número de observaciones dentro de cada grupo de números.

Presentación de datos cuantitativos El diagrama de tallos y hojas Dado un conjunto de datos formado por

observaciones, las cuales pueden ser

representadas mediante y donde cada tiene por lo menos dos dígitos. Una forma rápida de obtener una representación visual del conjunto de datos es construir un diagrama de tallos y hojas. Este diagrama es usado cuando hay un número no muy pequeño de datos. Los siguientes son los pasos para construir un diagrama de tallos y hojas: 1. Seleccionar uno o más dígitos iniciales para los valores de tallo. El dígito(s) final(es) se convierte (n) en hojas. Para facilitar la determinación de la forma de la distribución de los datos se necesitan al menos 5 tallos. 2. Hacer una lista de valores de tallo en una columna vertical. 3. Registrar las hojas por cada observación junto al valor correspondiente del tallo. 4. Indicar las unidades para tallos y hojas en algún lugar del diagrama. Muchos de los procedimientos estadísticos que se desarrollarán en la siguientes unidades suponen que la variable aleatoria estudiada tiene al menos una distribución aproximadamente normal, para la cual el diagrama de tallos y hojas tiene forma de campana. Los diagramas de tallos y hojas nos dan una idea de la localización de los datos y de la forma de la distribución. Esta técnica funciona bien para los conjuntos de datos que no tienen una dispersión muy grande. Ejemplo

La siguiente tabla representa el porcentaje de algodón en un material utilizado para la fabricación de camisas para caballeros. Tabla 1. Datos del porcentaje de algodón 33.1 35.3 34.2 33.6 33.6 33.1 37.6 33.6 34.5 34.7 33.4 32.5 35.4 34.6 37.3 34.1 35.6 35.0 34.7 34.1 34.6 35.9 34.6 34.7 36.3 35.4 34.6 35.1 33.8 34.7 35.5 35.7 35.1 36.2 35.2 36.8 37.1 33.6 32.8 36.8 34.7 36.8 35.0 37.9 34.0 32.9 32.1 34.3 33.6 35.1 34.9 36.4 34.1 33.5 34.5 32.7 32.6 33.6 33.8 34.2 34.6 34.7 35.8 37.8

El diagrama de tallos y hojas para los anteriores datos aparece a continuación. Stem-and-leaf of PORCENTAJE DE ALGODON N = 64 Leaf Unit = 0.10 (el número 1 después del punto significa que se usa una sola cifra decimal). Tallo Hojas 6 32 156789 18 33 114566666688 (21) 34 011122355666667777779 25 35 00111234456789 11 36 234888 5 37 13689 Algunas veces, la utilización del primero o de los dos primeros dígitos de los datos puntuales como tallos no proporcionan suficientes tallos como para permitirnos detectar la forma de su distribución. Una manera de solucionar esto es utilizar tallos dobles. Es decir, utilizar cada tallos dos veces: una vez para trazar las hojas inferiores 0, 1, 2, 3, 4, y a continuación nuevamente para trazar las hojas superiores 5, 6, 7, 8, 9. El siguiente gráfico ilustra lo anterior Histogramas El histograma es una técnica gráfica utilizada para presentar gran cantidad de datos. Se le atribuye a Karl Pearson en 1895. El histograma puede ser: de frecuencias absolutas, de frecuencias relativas, de frecuencias absolutas acumuladas y de frecuencias relativas acumuladas. Para la construcción del histograma se requiere elaborar una tabla de distribución de frecuencias, lo cual se desarrollará a continuación. El gráfico de la distribución de frecuencias, se llama histograma. El histograma de frecuencias es una representación visual de los datos en donde se evidencian fundamentalmente tres características: forma, acumulación o tendencia posicional y dispersión o variabilidad. El histograma (de frecuencias) en si es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas de la siguiente manera: 1. Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo. 2. Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical y corresponden a las frecuencias de los intervalos. 3. Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases. Polígono Otro recurso gráfico para ilustrar el comportamiento de los datos es el polígono de frecuencias. Este se construye sobre el sistema de coordenadas cartesianas, al colocar sobre cada marca de clase un punto a una altura igual a la frecuencia asociada a esa clase; luego se unen dichos puntos por segmentos de recta.

Para elaborar el Polígono en Excel, haga click derecho sobre el histograma y elija Tipo de gráfico, lo cual despliega una ventana, donde usted debe elegir la opción Líneas (Elija como subtipo de gráfico el que aparece por defecto). Luego haga click en Aceptar. Otra forma de polígono es la Ojiva, la cual es el polígono que se obtiene de unir por segmentos de recta los puntos situados a una altura igual a la frecuencia acumulada a partir de la marca de clase como se hace con el polígono de frecuencia. Ejemplo

La siguiente tabla resume la demanda diaria de cierto producto durante 40 días seguidos Tabla 2. Distribución de frecuencias de la demanda diaria de un producto. Intervalo 4.5-9.5 4 9.5-14.5 11 14.5-19.5 13 19.5-24.5 10 24.5-29.5 2 La tabla anterior corresponde a una frecuencia para datos cuantitativos. Los distintos intervalos son: (4.5, 9.5], (9.5,14.5], (14.5, 19.5], (19.5, 24.5], (19.5, 24.5], (24.5, 29.5]. La longitud de los intervalos es 5; los números 4, 11, 13, 10 y 2, representan las respectivas frecuencias.

Procedimiento para la elaboración del histograma en Excel Organice todos los datos en una columna Elabore una columna que contenga los límites de clase (extremos de los intervalos en los que se desea agrupar los datos). Para deteminar los límites haga lo siguiente: Primero determine el número de intervalos, una manera aproximada de este valor es obtenido por la regla de Sturges: No. Intervalos número de datos. En nuestro caso

, donde

es el

, y así el número de intervalos se puede

aproximar a Otra manera de aproximar el número de intervalos es dada por nuestro ejemplo utilizaremos la regla de Sturges.

En

Obtenga el rango como la resta entre el dato mayor y el dato menor. En nuestro caso es 5.8 Obtenga el ancho del intervalo calculando el cociente entre el rango y el número de intervalos. En nuestro caso es 0.96 y se puede aproximar a 1.0, lo cual ocasiona un

incremento en el rango de 0.2. Por ello debemos restar al dato menor 0.1 y al dato mayor sumar 0.1 (la mitad del incremento del rango). Elija en el menú principal (barra superior de la ventana principal de Excel), la opción: Herramientas. y en esta seccione Análisis de datos (sino aparece actívela entrando por complementos y activando Herramientas para análisis ). En Análisis de datos seleccione la opción Histograma, la cual despliega una ventana en la que aparecen las siguientes opciones para entrar: Rango de entrada, Rango de clases, Rótulos, Rango de salida, En una hoja nueva, En un libro nuevo, Pareto(histograma ordenado), Porcentaje acumulado y Crear gráfico. Rango de entrada: Dentro del rentángulo, haga click en el cuadrado pequeño que tiene una flecha roja. Esto ocasiona que la ventana de histograma se minimice. Luego haga click en la celda del título de la variable y oprima la tecla Shift y flecha hacia abajo hasta el último dato para indicar el rango de entrada. Nuevamente haga click en el cuadrado pequeño que tiene una flecha roja (esto hace que la ventana de histograma se maximice) y ubíquese en Rango de clases. Rango de clases: proceda como en el caso anterior pero en la columna de las clases. Sino entra el rango de clases pero si las demás opciones de histograma, Excel determina por defecto las clases en que se agrupan los datos. Rótulos: haga click en el cuadrado de rótulos cuando al entrar el rango de entrada se incluya el título de la variable. Rango de salida: haga click en el círculo de rango de salida y luego en el cuadrado pequeño que tiene una flecha roja (la ventana de histograma se minimiza) cuando usted quiera que la gráfica aparezca en la hoja de Excel que contiene su variable. Despúes haga click en una celda vacía. En una hoja nueva:Elija esta opción (haciendo click en el círculo) cuando quiera que los resultados del histograma aparezcan en una hoja nueva. Escriba en el rectángulo de esta opción el nombre que quiera darle a la hoja que contiene los resultados de histograma. En un libro nuevo:Elija esta opción (haciendo click en el círculo) cuando quiera que los resultados del histograma aparezcan en un libro nuevo Pareto (histograma ordenado):Seleccione esta opción para crear el diagrama de Pareto. Porcentaje acumulado: Esta opción permite crear una Ojiva, para lo cual se debe hacer click en el círculo de porcentaje acumulado y en el círculo de Crear gráfico. Luego aparece la siguiente gráfica y tabla de frecuencias acumuladas.

Tabla 3. Distribución de frecuencias acumuladas para los datos del porcentaje de algodón. Clases 33 34 35 36 37 38 y mayor...

Frecuencias % acumulado 6 9.38% 13 29.69% 22 64.06% 12 82.81% 6 92.19% 5 100.00% 0 100.00%

Crear gráfico: Si solo activa esta opción y no activa Pareto y Porcentaje acumulado se crea el histograma como aparece en la figura 3.

También aparece la siguiente tabla de distribución de frecuencias absolutas Tabla 4. Distribución de frecuencias para los porcentajes de algodón. Clases 33 34 35 36 37 38

Frecuencias 6 13 22 12 6 5

y mayor

0

Tabla de frecuencias Una tabla de frecuencias es un arreglo tabular de las frecuencias con que ocurre cada característica en que se han dividido los datos. A continuación se dan algunas definiciones relacionadas en la construcción de la tabla de frecuencias Definición 1

Un intervalo de clase, es cada uno de los rangos de valores en que se ha decidido agrupar parcialmente los datos con el propósito de hacer un resumen de ellos. Definición 2

El número de mediciones que quedan dentro del intervalo se llama frecuencia del intervalo y se denota por . La diferencia entre el extremo mayor y el extremo menor del intervalo se llama longitud o ancho del intervalo. Definición 3

La marca de clase, es el punto medio del intervalo de la clase, se denota por valor es obtenido al promediar los extremos del intervalo.

Su

Definición 4

La frecuencia absoluta acumulada de la clase frecuencia de la clase

, es el número resultante de sumar la

con la frecuencia de las clases antecedentes y se denota

Definición 5

La frecuencia relativa de la clase número de datos total, se denota por

es el cociente entre la frecuencia de la clase

y el

.

Definición 6

La frecuencia acumulada relativa, de la clase acumulada de la clase

es el cociente entre la frecuencia

y el número de observaciones, se denota por

Todas las anteriores clases de distribuciones reciben el nombre de distribuciones empíricas. Sugerencias para la construcción de la tabla de distribución de frecuencias

La construcción de una tabla de frecuencias para datos cuantitativos presenta como su punto de mayor importancia la determinación del número de intervalos (clases) que la conformaran. Este número depende de la cantidad y de la naturaleza de los datos a resumir y del propósito que se busca con el resumen. A continuación se presentan ciertas pautas para la construcción de una tabla de frecuencias. 1. El número de intervalos debe escogerse de acuerdo con el número de datos. 2. Una vez escogido el número de intervalos, se determina la longitud que deben tener los intervalos, dividiendo el rango en el número de clases o intervalos. rango/Número de clases. 3. El primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Para los datos del ejemplo 1, constrúyase una tabla de frecuencias.

Cuando se manejan variables cualitativas, las respuestas categóricas se pueden presentar en tablas de frecuencia o tablas resumen y despues presentarlas en forma gráfica. En esta sección se presentan algunas gráficas de frecuente uso en la presentación de datos cualtitativos. Tabla de frecuencia o tabla resumen La construcción de una tabla de frecuencia para datos cualitativos requiere solo del conteo del número de elementos o individuos que caen dentro de cierta clase o categoria. Ejemplo

Se pidió a cada miembro de una muestra de 20 personas, dueños de motocicletas, que dieran el nombre del fabricante de su máquina. Los datos aparecen registrados en la siguiente tabla Tabla 5. Datos sobre los tipos de motocicleta Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tipo de motocicleta HONDA OTRA HARLEY-DAVIDSON YAMAHA YAMAHA HARLEY-DAVIDSON YAMAHA YAMAHA HARLEY-DAVIDSON SUZUKY SUZUKY SUZUKY SUZUKY YAMAHA SUZUKY YAMAHA YAMAHA KAWASAKY SUZUKY KAWASAKY

La tabla de distribución de frecuencias se presentan a continuación. Tabla 6. Distribución de fecuencias de los tipos de motocicleta

Tipo de Motocicleta Número de personas Harley-Davinson 3 Honda 1 Kawasaki 2 Otra 1 Suzuki 6 Yamaha 7 Total 20

Existen otras gráficas para presentar datos, las cuales no se abordaran en este curso. A continuación trataremos una de estas. Diagrama de Pareto Los diagramas de pareto son una importante herramienta en los procesos de mejoramiento de la calidad. Alfredo Pareto, un economista italiano en la era 1848-1923, encontró que la riqueza se encuentra en pocas personas. Esta observación le llevo a formular el principio de Pareto " Un pequeño segmento de la población es dueño de la mayoría de las riquezas". Este principio aplica al mejoramiento de la calidad. En las organizaciones de manofactura o servicios, por ejemplo el problema de áreas o tipos de defectos siguen de distribuciones similares. De todos los problemas que ocurren, solamente unos pocos son realmente frecuentes, los otros raramente ocurren. Así, agrupando las áreas de esos problemas en dos categorías, ellas son denominadas como la poco vital y la muy trivial. El principio de Pareto tambien imparte soporte para la regla de , que dice que el de los problemas (inconformidad o defectos) son ocasionados por el de las causas. Los diagramas de Pareto ayudan a identificar rápidamente las áreas críticas (aquellas que causan más problemas) que merecen inmediata atención. La identificación de esos problemas cuya resolución puede llevar a un sustancial mejoramiento en la calidad. Los diagramas de Pareto arreglan los problemas en orden de importancia, la "importancia", por ejemplo, puede referirse al impacto financiero de un problema o el número relativo de ocurrencia del problema. Los pasos para construir un diagrama de Pareto son: Paso 1: Determine la categorización del sistema de datos, es decir, por tipo de problema, tipo de inconformidad (crítica, grave, menor), o cualquier otra que tambien veamos apropiada. Paso 2:Determine como será juzgada la importancia relativa. Esto es, si se debería basar sobre valores monetarios o la frecuencia de ocurrencia. Paso 3:Establezca el rango de las categorías de la más importante a la menos importante.

Paso 4:Calcule la frecuencia acumulativa de las categorías de los datos en el orden seleccionado. Paso 5:Dibuje un gráfico de barras, mostrando la importancia relativa de cada problema en orden descendente. Identificando lo poco vital que merece inmediata atención. Ejemplo

Un problema de interés para la División de Economia Comercial (DEC) del Departamento de Trabajo de Estados Unidos. Cada año, la DEC monitorea la empresas que fracasan y clasifica cada fracaso en una de las seis siguientes categorías: (1) falta de experiencia en la línea de producción, (2) falta de experiencia gerencial, (3) experiencia desequilibrada, (4) incompetencia, (5) otras causas (como negligencia, fraude y desastres naturales) y (6) causas desconocidas. Estas informaciones se basan en las opiniones de acreedores informados y los informes de la DEC. En fechas recientes, la DEC determinó la causa de 1463 fracasos de empresas constructoras. Los fracasos se muestran en la siguiente tabla. Tabla 7. distribución de frecuencias de los fracasos de empresas constructoras Causas subyacentes Incompetencia Experiencia desequilibrada Falta de experiencia gerencial Falta de experiencia de línea Causa desconocida Otras causas TOTALES

Frecuencia 698 314 236 111 83 21 1463

Frecuencia Proporción relativa acumulativa 0.477 0.215 0.161 0.076 0.057 0.014 1.000

0.477 0.692 0.853 0.929 0.986 1.000

Figura 6. Diagrama de pareto para la tabla

Diagrama de causa y efecto Los diagramas de causa efecto fueron desarrollados por Kaoru Ishikawa en 1943 y son frecuentemente llamados Diagramas de Ishikawa o diagramas de espina por su apariencia gráfica. Básicamente los diagramas de causa y efecto son usados para identificar y listar sistemáticamente las diferentes causas que pueden ser atribuidas a un problema (o un efecto) . Esos diagramas ayudan a determinar cuales de las causas tienen mayor efecto. Un diagrama de causa y efecto puede ayudar en la identificación del porque un proceso se sale de control. Alternativamente, si un proceso es estable, los diagramas puede ayudar a la gerencia en la decisión sobre que causas deben ser investigadas para mejoramiento de procesos. Existen tres aplicaciones principales de los diagramas de causa y efecto: enumeración de causa, análisis de dispersión y análisis de procesos. Enumeración de causas

Es una de las técnicas gráficas más ampliamente usada en el control de calidad y el mejoramiento. Es usualmente desarrollada a través de una sesión de ideas geniales en la cual todos los posibles tipos de causas (por más remótas que sean) son listadas para mostrar su influencia sobre los problemas (o efectos) en cuestión. Los procedimientos consisten en primero definir el problema o la característica de calidad seleccionada para el estudio de tal manera que cada uno conozca que inicia la

línea. Luego se registra la causa más grave que influye sobre la característica. En un proceso de manofactura, por ejemplo, la causa más grave para una irregularidad (por decir la longitud no reune las especificaciones) podrian ser el equipo, operador, métodos, ambientes y otras como estas. Posteriormente se listan las subcausas dentro de las más graves. Antes de evaluar cada causa se deben definir, identificar claramente y evaluar métodos apropiados de medida. Seguidamente, una causa es escogida y analizada. Esto se hace sistemáticamente, de tal manera que la causa predominante es analizada primero. Una ventaja obtenida al usar el diagrama de causa y efecto, es que el método de su construcción permite un mejor entendimiento de los componentes de los procesos y sus relaciones, y así un mejor entendimiento del mismo. Ejemplo

La resistencia de una viga de cemento para la construcción de un puente podria ser la característica de calidad que representa el efecto principal. Las proporciones de varios ingredientes usados para hacer el cemento son causas, en la categoria de material, que tiene impacto sobre la resistencia de la viga. ver la figura 2

Figura 7. Diagrama de causa-efecto para la resistencia de la viga de un puente

Diagram...