Unidad 2 Vectores y geometria lineal-2018 PDF

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Guía teórica...

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ÁLGEBRA LINEAL - 2018

UNIDAD 2: ALGEBRA VECTORIAL - GEOMETRÍA LINEAL VECTORES Introducción En programación se denomina vector (de una sola dimensión) o formación (en inglés array) a una zona de almacenamiento contiguo que contiene una serie de elementos del mismo tipo. 0

1

2

3

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5

6

7

8

9

10

En informática y computación se utilizan, entre otros, vector de datos, como un conjunto de variables del mismo tipo cuyo acceso se realiza por índices; vector de interrupciones, como el registro que apunta a la dirección en memoria del gestor de la interrupción y son uno de los medios principales para el almacenamiento de los datos en un programa. Lo habitual es que un vector tenga una cantidad fija de memoria asignada, aunque dependiendo del tipo de vector y del lenguaje de programación un vector podría tener una cantidad variable de datos. En física hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida.

Por ejemplo: la longitud de una varilla, o la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Tales magnitudes se llaman escalares. Para otras magnitudes, en cambio, no basta dar un número para determinarlas. Para la velocidad de un punto, por ejemplo, no basta conocer su intensidad, sino que hace falta conocer, además, la dirección y el sentido en que el punto se mueve. Estas magnitudes en las cuales hay que distinguir su intensidad (que es una magnitud esca1ar), su dirección y su sentido, se llaman magnitudes vectoriales. En esta unidad veremos vectores geométricos.

VECTORES GEOMETRICOS Definición: Llamaremos vector a todo segmento orientado. Es decir, un vector de origen A y extremo B se indica



.

AB

A

B



De acuerdo con esta definición, todo vector A B queda caracterizado por:

Módulo

Sentido



AB

Dirección

1

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



1.-Módulo: Es el número real dado por la longitud del segmento AB y se indica A B , es decir: A B   long ( AB) 2.-Dirección: Es la dirección de la recta que contiene a los puntos A y B (recta de acción del vector).



3.-Sentido: Está determinado por el origen y el extremo del vector. Decimos que el vector A B tiene el sentido “de A hacia B”. De acuerdo con la definición, todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre rectas paralelas tienen la misma dirección. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos.

Igualdad de Vectores Sean dos vectores punto con y coincide

y con

, si por sucesivas traslaciones hacemos coincidir el , diremos que los vectores son iguales.

Es decir, dos vectores son iguales si: a) med

= med

b) Si la recta que contiene al vector es paralela a la recta que contiene al vector c) Si hacemos coincidir el punto con y entonces coincide con .

.

Esto conduce a la siguiente: Definición: Dos vectores son iguales si tienen igual módulo, la misma dirección y sentido.

Observaciones: 1) Al conjunto de vectores del plano se lo indica con E2 y en el espacio con E3 2) La definición de igualdad dada cumple con las tres propiedades que se exige a toda relación de equivalencia, , a saber: Reflexiva:  u : u = u

         Simétrica:  u :  v : ( u = v , entonces v = u )          Transitiva:  u :  v :  w : ( ( u = v y v = w ) entonces u = w )

3) Algunos autores llaman equipolentes a los vectores que hemos definido por iguales. 4) Se llama vector libre a un vector y a todos los que son equipolentes (iguales) a él; esto es, todos los que se obtienen trasladándolo (paralelamente). Entre ellos tiene especial importancia el que tiene su origen en el origen de coordenadas, O.

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 

Vector opuesto

Los vectores A B y B A son de sentidos opuestos: de A hacia B y de B hacia A respectivamente. Tienen además la misma dirección e igual módulo.

 

Para indicar estas condiciones escribiremos A B =  B A ó

  

BA =  A B .

Cualquier otro vector con las mismas condiciones es igual al vector  A B . Esto nos permite dar la siguiente definición:





Definición: Dado un vector u , el vector con igual módulo y dirección que u , pero de sentido opuesto al de u , recibe el nombre de vector opuesto de dicho vector, y se indica – u .



Vector Nulo Definición: Un vector

(coincide origen y extremo), se dirá vector nulo

, tal que

y escribiremos:



. Luego para todo punto del plano se tiene:

.

Observación: El módulo del vector nulo es cero, no tiene dirección y ni sentido ya que:

.

Vector unitario o versor Definición: Un vector .

diremos que es un vector unitario o versor, si y sólo si

Componentes de un vector Con el propósito de facilitar el estudio de los vectores los ubicaremos en un sistema de coordenadas cartesianas, lo cual ayudará a tener mayor precisión al presentarlos tanto de forma algebraica como geométrica.





Entre puntos de R2 (o de R3) y vectores libres del plano (o del espacio) existe una correspondencia, es decir a cada vector A B , equipolente a O P , se le asocia el punto P.

I.- Vectores aplicados al origen  En el plano Y B P: (x, y)





AB

OP A O

X

3

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

Definición: Llamaremos componentes del vector O P a las coordenadas del punto P, es decir si



P: (x, y)

entonces O P = (x , y)

 En el espacio Z

 AB

P: (x, y, z )

B



OP

A

O

X

Y



Definición: Llamaremos componentes del vector O P a las coordenadas del punto P, es decir si



P: (x, y, z )

entonces O P = (x , y, z )

Observación: 



1.- Consideremos dos versores i , j en la dirección y sentido del eje X y del eje Y, 



respectivamente, luego i = (1, 0) y j = (0, 1) . Y

u 

j

O



X

i

Es claro que todo vector  u = (u1, u2) del plano puede expresarse en función de los versores 



i , j ya que :

u = (u , u ) = u 1

4

2

1





(1,0) + u2 (0, 1) = u1 i + u2 j

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





2.- En forma análoga podemos trabajar en el espacio considerando tres versores i , j , k 

en la dirección y sentido del eje X , del eje Y y del eje Z, respectivamente, luego i = (1, 0, 0) , 



j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1 ) Z



k 

Y



i

j

X









Luego todo u = (u1, u2, u3) se puede expresar en función de los versores i , j , k

u = (u , u 1

2, u3)



ya que 



= u1 (1,0, 0) + u2 (0, 1, 0) + u3 (0, 0, 1) = u1 i + u2 j + u3 k

II.- Vectores de extremos arbitrarios

  PP

 En el plano





Sea u = P1 P2 tal que P1: ( x1 , y1 ) y P2: ( x2 , y2 ) , se puede probar que las “componentes del vector”

1 2

P1 P2 = (x2  x1 , y2  y1) y en función de los

en el sistema de coordenadas son







versores podemos escribir: : P1 P2 = (x2  x1) i + (y2  y1) j

 

 En el espacio





Sea u = P1 P2 tal que P1: (x1 , y1 , z1 ) y P2: (x2 , y2 , z2 ), se puede probar que las “componentes del vector” P1 P2 en el sistema de coordenadas son: P1 P2 = (x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 ) y en función









de los versores podemos escribir: : P1 P2 = (x2  x1) i + (y2  y1) j + (z2  z1 ) k





Ejemplo: Si P1: (2 , -1 , 4) y P2 :(7 , 5 , -8 ) las componentes del vector u = P1 P2 son

u

= ( 7 – 2, 5 – (-1), -8 – 4) = ( 5, 6, -12)

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Operaciones con vectores Suma de vectores Definición: Sean y dos vectores, llamaremos suma de con y lo indicaremos: al vector que se determina de la siguiente manera: coloque el vector de forma tal que su punto inicial coincida con el punto final de , entonces el vector es el vector que tiene como origen el origen de y extremo el extremo de .

Observaciones: 1) La definición anterior puede generalizarse a más de dos vectores, construyendo una poligonal.

2) También pueden sumarse vectores teniendo en cuenta la ley del paralelogramo.

3) La suma de vectores es una función tal que al par le hace corresponder el vector . Una función así definida recibe el nombre de Ley de Composición Interna (LCI) u Operación Binaria Interna (OBI). Luego la “+” en , es una OBI sobre y sobre E3. 4) Si los vectores vienen dados por sus componentes basta sumar las componentes correspondientes para obtener las del vector suma. Por ejemplo en R2 si u = ( 1, 2) y = (-1, 5) entonces u + = ( 0, 7)



Propiedades: 1. Propiedad Asociativa: 2. Existencia del elemento neutro: 3. Existencia del elemento inverso: 4. Propiedad Conmutativa:

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

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Producto de un vector por un escalar Definición: Sea un vector del plano o del espacio, y   R , un número real arbitrario, definimos el producto de un vector por un escalar y lo indicaremos con al vector que tiene: 1- Módulo: 2- Dirección: La misma dirección de . 3- Sentido:  Si  > 0 y



 0 entonces



 Si  < 0 y  0 entonces

tiene el mismo sentido que

tiene sentido opuesto al de



 Si  = 0 entonces

=0

Teniendo en cuenta la definición anterior podemos definir vectores paralelos

 



 Definición: Dos vectores u y v son son paralelos sii u = v con   R.

u 

Ejemplo: Sean u = (-6, 10) y



= (3, -5) . Luego u //

Propiedades: 1. Distributiva del escalar por la suma de vectores: 2. Distributiva del producto de un vector



= -2 u

ya que

por

la

suma

de

escalares:

3. Asociativa respecto del producto de escalares: 4. Existencia del escalar neutro en el producto: Observaciones: 1.- El producto de un escalar por un vector es una función que a todo par le hace corresponder el vector . Toda función así definida recibe el nombre de Ley de Composición Externa (LCE) u Operación Binaria Externa (OBE)

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



 



2,- Dado un vector u entonces (1) u =  u , es decir, el producto del escalar 1 por el vector u , da por resultado el vector  u , opuesto de u .



3.- La resta de vectores puede definirse teniendo en cuenta que: 1. - u = (-1) u = u + () u 2.

 

 

4.- Si el vector viene dado por sus componentes basta multiplicar las componentes correspondientes por el escalar para obtener las del vector producto por el escalar Por ejemplo en R2 si u = ( 1, 2) y  = -2 entonces  u = (-2, -4)





Producto Escalar ó Interior









Definición: Dados dos vectores u y v , llamaremos producto escalar de u por v , al número real dado por:

u v = u



. v

·

  

siendo  = med  u , v  , 0    

. cos 





v

v

u

u



Propiedades del producto escalar

          cualesquiera sean u , v Simetría: u · v = v · u      Homogeneidad:  ( u · v ) = (  u ) · v = u · (  v ) cualesquiera sean          Linealidad: u · ( v + w ) = u · v + u · w cualesquiera sean u , v , w           ( u + v ) w = u w + v w cualesquiera sean u , v , w

1. Positividad: u · u  0 cualquiera sea u . Además, u · u = 0 sii u = 0 2. 3. 4.

·

·

 

  R, u , v

·

Producto escalar en función de las componentes  En el plano





 

Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2) entonces u · v = u1 v1 + u2 v2

u = u

En efecto:

u v = (u ·



 1



i + u2 j

1











y v = v1 i + v2 j 



de donde:



 

 

0

0

1

= u1 v1 + u2 v2

 





Ejercicio: Determinar u · v siendo u = (2, –1) y v = (3, 0).

8





i  j + u2 v1 j  i + u2 v2 j  j i + u2 j ) (v1 i + v2 j ) = u1 v1  i  i + u1 v2    1

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 En el espacio





Si u = (u1 , u2 , u3)

 

y v = (v1 , v2 , v3) entonces u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

(Demostrarlo como ejercicio)

Módulo de un vector en función del producto escalar

u u

Demostremos que: En efecto: es decir:

u

·u =

=

u

u u ·





con  = med  u , u  = 0



u

. cos 0 = 

1

u

de donde resulta:

  

. cos 

. u

u

.

u u

= 



2

u u

= 



Observación: Si se conocen las componentes del vector tenemos:

  si u = (u ,u

u

 en R2, si u = (u1, u2) entonces  en R3

1

u

) entonces

2, u3



= 



= 

= 

Ejemplo: Si u = (2 , –1) entonces u

u 21  u 22

u 21  u 22  u32

u21  u22 = 

 

Observación: Dado cualquier vector u  0 , se verifica que

1 u

2 2  (1) 2 = 

1u

5



 u  1 , es decir, el vector





 u es un “vector unitario o versor” en la dirección y sentido de u . Entonces para cada

vector no nulo puede ser definido un versor en la misma dirección y sentido.

1  u  u suele indicarse:

El versor



u u

 

si u  0 ,

Ángulo entre dos vectores no nulos

 

Dados dos vectores no nulos u y v , de la expresión del producto escalar entre ellos:

u v ·

se obtiene:

u

=

.

v

. cos 

u v u . v 

cos  =

    

siendo  = med  u , v  , 0     =A

de donde  = arccos A

Ortogonalidad de vectores





Definición: Dos vectores u y v son ortogonales o perpendiculares sii forman entre sí un ángulo de 90º ó  . 2

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El vector nulo se define como ortogonal a cualquier vector, y es el único con esta propiedad. Caracterización de vectores ortogonales Dos vectores no nulos son ortogonales si y sólo si su producto escalar es cero. Es decir:

   

 

 

Si u  0 y v  0 entonces u  v sii u · v = 0 En efecto:

u v ·





0

0

 

u . v . cos  = 0 sii cos  = 0 sii  =  sii u  v = 0 sii   2

Ejercicios: 1) Representar en el plano los siguientes vectores y verificar analítica y gráficamente que son ortogonales: u = (2 , 1), v = (–1 , 2)





2) Representar en el espacio los siguientes vectores y verificar analíticamente que son ortogonales: u = (0,1,3), v = (2,–3,1)





LUGARES GEOMÉTRICOS Y ECUACIONES Los lugares geométricos que estudiaremos son: la recta en el plano y en el espacio y los vectores a los que hagamos referencia, se considerarán aplicados en el origen, salvo que sea necesario indicar lo contrario. Definición: Llamaremos lugar geométrico en el plano (en el espacio) al conjunto de todos los puntos del plano (del espacio) que verifican una o varias propiedades geométricas, y sólo a ellos. De acuerdo con esto, un punto P pertenece a un lugar geométrico si y sólo sí dicho punto satisface la o las propiedades que lo caracterizan.

Vector Director de una recta Dada una recta en el plano o en el espacio, si consideramos un vector no nulo cualquiera paralelo a ella, es claro que sus direcciones coinciden. Podemos afirmar entonces que un vector no nulo determina la dirección de cualquier recta paralela a él, y recíprocamente, para cualquier recta es posible encontrar algún vector no nulo paralelo a ella, que determina su dirección. Definición: Dada una recta en el plano o en el espacio, llamaremos vector director de la recta, a cualquier vector no nulo paralelo a ella.

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO Ecuación Vectorial Paramétrica de la recta en el plano



Consideremos un punto fijo Po : (xo , yo) y un vector v = (v1 , v2) no nulo del plano. Queremos determinar la ecuación de la recta r que pasa por Po y cuyo vector director es v .

10



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

Un punto genérico P : (x,y) r y

P





sii PoP  v

   

Po P



yo



Po

OP

O Po

r

De la figura: O P = O Po + PoP

v

O



Luego: Existe R tal que PoP =  v (1)

x

xo

X

 



O P  O Po +  v

(2)

Reemplazando (1) en (2) obtenemos: Ecuación vectorial paramétrica de la recta

con   R

TeniendoY en cuenta las componentes y coordenadas resulta:

(x,y)  (xo, yo) +  (v1 , v2)

con ...