Unidad I (Mecánica Newtoniana) PDF

Preview

Summary

CONTENIDO.UNIDAD I: MECÁNICA NEWTONIANA. Fuerzas – Estática 3 1 Fuerzas. 3 1 Componentes de una fuerza. 7 1 Fuerzas concurrentes, coplanarias y paralelas. 9 1 Torque de varias fuerzas concurrentes. 11 1 Centro de masas y centro de gravedad. 12 1 Estática: equilibrio de una partícula y de un cuerpo r...

Description

Civil: Física I

1

CONTENIDO. UNIDAD I: MECÁNICA NEWTONIANA. 1. Fuerzas – Estática 1.1 Fuerzas. 1.2 Componentes de una fuerza. 1.3 Fuerzas concurrentes, coplanarias y paralelas. 1.4 Torque de varias fuerzas concurrentes. 1.5 Centro de masas y centro de gravedad. 1.6 Estática: equilibrio de una partícula y de un cuerpo rígido. 1.7 Problemas resueltos. 1.8 Problemas propuestos. 2. Cinemática. 2.1 Velocidad. 2.2 Aceleración. 2.3 Movimiento curvilíneo. 2.4 Casos particulares. 2.4.1 Movimiento parabólico. 2.4.2 Movimiento circular. 2.5 Problemas resueltos. 2.6 Problemas propuestos. 3. Dinámica 3.1 Momento lineal e impulso. 3.2 Conservación del momento lineal. 3.3 Energías: cinética y potencial gravitatorio de un sistema. 3.4 Principio de conservación de la energía. 3.5 Fuerzas conservativas y no conservativas. 3.6 Colisiones. 3.7 Rotación. 3.8 Problemas resueltos. 3.9 Problemas propuestos. 4 Trabajo, Potencia y Energía. 4.1 Trabajo. 4.2 Potencia. 4.3 Energía cinética. 4.4 Energía potencial. 4.5 Principio de conservación de la energía. 4.6 Fuerzas conservativas y no conservativas. 4.7 Problemas resueltos. 4.8 Problemas propuestos.

3 3 7 9 11 12 15 16 27 30 30 34 39 41 41 46 48 52 54 54 59 60 63 63 64 68 73 81 84 84 86 87 88 90 90 91 94

ENLACES PARA COMPLEMENTAR LA UNIDAD. TEORÍA. https://es.wikipedia.org/wiki/Est%C3%A1tica_(mec%C3%A1nica) https://previa.uclm.es/profesorado/ajbarbero/Problemas/Estatica problemas resueltos 151118.pdf https://sites.google.com/site/fisicacbtis162/in-the-news/5-3---estatica http://www.sc.ehu.es/sbweb/ocwfisica/problemas/solido/estatica/problemas/estatica_problemas.xhtml SIMULACIÓN. https://phet.colorado.edu/es/simulation/balancing-act https://phet.colorado.edu/sims/html/hookes-law/latest/hookes-law_es.html https://phet.colorado.edu/es/simulations/category/physics https://phet.colorado.edu/es/simulation/forces-and-motion-basics S. Castro Z.

Civil: Física I

2

UNIDAD

I:

MECÁNICA NEWTONIANA.

INTRODUCCIÓN. En este curso estudiaremos la MECÁNICA NEWTONIANA. La mecánica es la rama principal de la Física Clásica, dedicada al estudio de los movimientos y estados en que se encuentran los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas. La mecánica es la base para la mayoría de las ciencias de la ingeniería clásica. Se divide en tres partes: Estática: está comprendida dentro del estudio de la dinámica y analiza las causas que permiten el equilibrio de los cuerpos. Cinemática: Estudia las diferentes clases de movimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo producen. Dinámica: Estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos. Se denominan magnitudes físicas, a las propiedades que pueden medirse y expresar su resultado mediante un número y una unidad de medida; por ejemplo 3 C , 5 cm 3 , 10 s , 15 kg , 23 J , etc. También, existen magnitudes físicas que pueden ser obtenidas a través de una fórmula matemática; por ejemplo 5 m/s , 9.8 m/s 2 , 10 N , 12 N. m , 32 kg. m/s , etc. Las magnitudes físicas pueden ser:  



escalares (denotadas por A, B, . . . , Z) y vectoriales (denotadas por A, B, . . . , Z ; o, A, B, . . . , Z ). MAGNITUD ESCALAR. Son cantidades físicas que están determinadas solamente por su magnitud (módulo) o valor numérico (número real), expresado con su correspondiente unidad de medida; por ejemplo: Temperatura 27 C , 273K ; Volumen 5 cm3 , 625 ml ; Masa 15 kg , 100 g , 25 lb Tiempo 10 s, 24 h , 1 año 18 W Trabajo ; Potencia 23 J ; 18 erg MAGNITUD VECTORIAL. Son cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, por ejemplo: Desplazamiento: 10 m, en dirección del eje  x (o,   0 respecto al eje  x) Velocidad: 25 m/s,   37 respecto al eje  x) Ejemplo. Fuerza, torque, momento lineal, etc. Concepto de magnitud. Es el valor absoluto o módulo del vector representado; por ejemplo: la velocidad A  A  25 m/s . Concepto de dirección. Es el sentido del vector, el cual puede ser positivo o negativo; por ejemplo:   37 respecto al eje  x) . 1

FUERZAS – ESTÁTICA. 1.1

FUERZAS.

La fuerza es una magnitud física vectorial, capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles (efecto dinámico). En este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el S. Castro Z.

Civil: Física I

3

módulo o la dirección de su velocidad). Comúnmente nos referimos a la fuerza aplicada sobre un objeto sin tener en cuenta al otro objeto u objetos con los que está interactuando y que experimentarán, a su vez, otras fuerzas. Actualmente, cabe definir la fuerza como un ente físico-matemático, de carácter vectorial, asociado con la interacción del cuerpo con otros cuerpos que constituyen su entorno. Desde el punto de vista macroscópico, se acostumbra a dividir a las fuerzas en dos tipos generales:  Fuerzas de contacto, las que se dan como producto de la interacción de los cuerpos en contacto directo; es decir, chocando sus superficies libres (como la fuerza normal).  Fuerzas a distancia, como la fuerza gravitatoria (existe entre los cuerpos que poseen masa; tales como, los planetas, galaxias, etc.) y la coulómbica entre cargas eléctricas, debido a la interacción entre los campos (gravitatorio, eléctrico, etc.) y que se producen cuando los cuerpos están separados cierta distancia unos de los otros, por ejemplo: el peso. En nuestra vida diaria estamos aplicando fuerzas tanto para desplazarnos como para alimentarnos, divertirnos, etc. En la figura 1, se muestran algunas fuerzas, de diferente origen.

Figura 1. Fuerzas de diferente origen; en las que se muestran los diferentes tipos de fuerzas, tales como: fuerza normal, peso, rozamiento, tensión, empuje, etc.  Fuerza recuperadora o elástica. Existe en los materiales elásticos y hace volver a su posición original (fuerza de reacción), al retirar la masa (su peso es la fuerza de acción) que provoca en ellos 



un estiramiento. Se dice que estos materiales cumplen la ley de Hooke (F  K x ), figura 1(e).  Fuerza de reacción o normal. Producida por la superficie que se encuentra en contacto con otro cuerpo, ver figura 1(b), (c), (g).  Fuerza de rozamiento. Existe entre dos o más superficies en contacto, figura 1(a), (c). Son de dos tipos, fuerza de rozamiento estático (sistemas en equilibrio) de coeficiente estático 𝜇𝑒 y fuerzas de rozamiento cinético (sistemas con 𝑎 = 𝐶𝑡𝑒.) de coeficiente cinético 𝜇𝑐 .  Fuerza o tensión en las cuerdas. Existe entre una cuerda (o cable tenso) y un cuerpo unido en su extremo, figura 1(g).

 Empuje o fuerza de flotación. Experimenta un cuerpo que se encuentra dentro de un fluido, figura 1(a), (f).  Fuerza viscosa. Mide la resistencia del flujo de un fluido y su viscosidad es una constante de proporcionalidad. S. Castro Z.

Civil: Física I

4

Físicamente la fuerza se define como una magnitud vectorial, capaz de alterar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, ver figura 1. En el sistema internacional (SI.) la unidad de la fuerza es el Newton (N). El Newton se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s2 a un objeto de 1 kg de masa. Además, la fuerza puede ser expresada en otras unidades, como la Dina (din), el kilogramo fuerza (kgf), la libra fuerza (lbf), el poundal (pdl). Equivalencias:

1kgf  9.807N

1pdl  0.031lbf  0.138N

1lbf  0.46kgf  4.45N

1N  10 5 din  0.102kgf

Según su origen la fuerza puede ser:  Fuerza gravitatoria. Esta fuerza es muy débil y para sentir su efecto es necesario que por lo menos uno de los dos cuerpos tenga una dimensión planetaria como el sol, la tierra, la luna, figura 2, etc., o, a la de una galaxia.

Figura 2. Se muestran dos casos de fuerza gravitatoria, Sol – Tierra y Luna – Tierra.  Fuerza electromagnética. Se descompone en fuerza eléctrica y fuerza magnética.

Figura 3. Fuerzas electrostáticas de repulsión y de atracción.  Fuerza eléctrica. Puede ser atractiva si las cargas son de distinto signo y repulsivas en caso contrario, ver figura 3. Se manifiesta entre dos cargas eléctricas puntuales o un grupo de ellas, separadas una distancia y fue enunciada por Coulomb. S. Castro Z.

Civil: Física I

5

 Fuerza magnética. Puede ser de atracción o repulsión entre dos polos magnéticos o imanes, figura 4. Está fuerza también existe, cuando las cargas eléctricas se encuentran en movimiento.

Figura 4. Fuerza magnética de atracción o repulsión.  Fuerza nuclear. Esta fuerza aparece cuando la distancia de los cuerpos es menor que 10 15 m y desaparece cuando esta distancia aumenta; es decir, es la responsable de la cohesión de las partículas que componen el núcleo atómico, figura 5. Es de importancia hacer notar que estas fuerzas indicadas en las figuras 2 al 5, cualquiera sea su naturaleza, se producen sin contacto entre los cuerpos. Figura 5. Estas fuerzas se encuentran en el núcleo del átomo.

Mediante un dinamómetro, figura 6(a), obtendremos la 

magnitud del peso W de una masa que se encuentra inmersa en la gravedad del lugar o campo gravitatorio.

Figura 6. Se muestran fuerzas en equilibrio, donde existe la fuerza de acción y reacción: (a) Medida del peso de una masa que se encuentra inmersa en un medio de gravedad 󰇍𝐠, mediante un dinamómetro, donde se aprovecha la elasticidad de la materia. (b) y (c) Una persona y un auto sobre una superficie, respectivamente.

S. Castro Z.

Civil: Física I

1.2

6

COMPONENTES DE UNA FUERZA.

Una fuerza tendrá componentes de acuerdo a su representación, es decir; sí la fuerza se encuentra representada sobre un solo eje (unidimensional), tal como se muestra en la figura 7(a), tendrá una sola componente F x , la cual vendrá a ser a su vez él modulo o magnitud de la fuerza. Si la fuerza se encuentra representada sobre un plano, figura 7(b), la fuerza tendrá dos componentes

Fx y Fy . Si la fuerza se encuentra representada en el espacio, figura 7(c), la fuerza tendrá tres componentes Fx , Fy y Fz .

Figura 7. Componentes de una fuerza en, (a) una dimensión, (b) dos dimensiones y (c) tres dimensiones. Matemáticamente, las componentes, el módulo y la dirección de una fuerza se escribe así: 

 En una dimensión, figura 7(a), la fuerza escrita en forma vectorial es, F  Fx ˆi  F iˆ 𝐹𝑥 = 𝐹

La componente viene a ser él módulo de la fuerza,

(1) (2)

La dirección; puesto que la fuerza se encuentra sobre el eje x positivo, entonces  0 . Si la fuerza se encontrara sobre el eje x negativo,   180 .  En dos dimensiones, figura 7(b), la fuerza escrita en forma vectorial es, 





F  Fx  F y  Fx ˆi  Fy ˆj

(3)

F x  F Cos   Fy  F Sen 

Siendo las componentes,

(4)



F  Fx ˆi  F y ˆj  FCos  ˆi  FSen ˆj

Remplazando (4) en (3)



El módulo o magnitud de la Fuerza F es, 

La dirección de la fuerza F es

S. Castro Z.

Fx 2  Fy 2



FF  Fy  Fx

  ArcTan

   

(5) (6)

(7)

Civil: Física I

7 

 En tres dimensiones, figura 7(c), la fuerza en forma vectorial es, F  Fx ˆi  Fy ˆj  Fz kˆ 



FF

La magnitud de la Fuerza F será:

Fx 2  Fy 2  Fz 2

(8) (9)

La dirección de la fuerza F , respecto a los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧 positivos; respectivamente es 

F    ArcCos x  F 

 Fy  F

  ArcCos

 Fz    F 

   



EJEMPLO 1. Las componentes de la fuerza F son

  ArcCos

(10) 

Fx  2 N y Fy  3 N , de la fuerza P son 



Px  4 N y Py  2 N . Calcular: (a) Las componentes, módulo y la dirección del vector suma F P 



. (b) Las componentes, módulo y la dirección del vector diferencia F  P . SOLUCIÓN. 







(a) Se tiene que, S  F P  6 iˆ jˆ; de componentes 

La magnitud del vector S , es:

S





S y 1N

 37 N  6.08 N







D F P  2 ˆi  5 jˆ

D x  2 N , D y  5 N

Las componentes del vector D , son

La dirección del vector D , es:

S x  6 N,

6 2  1 2

(b) El vector diferencia, expresado en el SI., es



P  4ˆi  2 jˆ

1   ArcTan   90 27 44 6 



La dirección del vector S , es:

La magnitud del vector D , es:



F  2ˆi  3ˆj ,

Los vectores expresados en el SI., son

D

  2 2  5 2

 29 N  5.39 N

 5   ArcTan    68 01154  2 EJEMPLO 2. (a) Si el módulo de F3 16 , calcule el módulo de la fuerza F1 y de F2 , para que se cumpla F1  F2  F3  0 ; considere la figura 8(a). (b) La suma de las tres fuerzas, dadas en la figura 8(b) es igual a cero, siendo W  10 ; Calcule el módulo de F y N .

S. Castro Z.

Civil: Física I

8

En ambos casos, las unidades vienen expresadas en el SI. SOLUCIÓN.

F

(a) De la figura 8(a), se tiene:

F

Luego,

y

F

1.3

y

  F1Cos37º16  0 

 F1 Sen37º F2  0 x

 W Sen37º F  0 ⇒

 N  10 Cos 37 º  0

F1 

16  20 N Cos 37º

F2  F1 Sen37º  12 N



F

(b) De la figura 8(b), se tiene: Luego,

x

F1  10 Sen 37 º  6 N

N  10 Cos37º  8 N



FUERZAS CONCURRENTES, COPLANARES Y PARALELAS.

Si las fuerzas están aplicadas a un mismo punto, se dice que las fuerzas son concurrentes, figura 9(a). Si se encuentran en un mismo plano, además son paralelas, se les denomina fuerzas coplanares paralelas, figura 9(b). Si solo se encuentran en un mismo plano se les denomina fuerzas coplanares, figura 9(c).

Figura 9. En la parte (a) se muestran fuerzas concurrentes, en (b) se muestran fuerzas coplanares paralelas y en (c), se presentan fuerzas coplanares. Para un sistema de fuerzas concurrentes, el vector resultante se obtiene así, 









R  F1  F2  F 3  ...  Fi

(11)

Si las fuerzas son concurrentes y coplanares, por ejemplo, el plano x y, el vector resultante se obtiene mediante, 

R  R x ˆi  R y ˆj

(12)

Donde, Rx y Ry son las componentes del vector resultante, las cuales se expresan así

S. Castro Z.

F  F Cos    F   F Sen

Rx 

ix

i

i

Ry

iy

i

i

(13)

Civil: Física I

9 

Luego, el módulo del vector resultante es;

R R

Rx 2  Ry 2

(14)

Luego, utilizando (7) se determina la dirección del vector resultante, así;

Tan 

Ry

 Ry  Rx

  ArcTan



Rx

  

(15)

Por otro lado, si las fuerzas son coplanares, siempre es posible reducir el sistema a una sola resultante 

R , obtenida mediante 









R  F1  F 2  F 3  ...  Fi

(16)

Como puede observarse, (11) y (16) son iguales. Las fuerzas de un sistema pueden ser paralelas a cualesquier eje coordenado, cuyos vectores unitarios son ˆi, ˆj y kˆ . Entonces, si consideramos que las fuerzas son paralelas al eje z, la fuerza resultante, vectorialmente, se puede escribir así; 



R   F i  kˆ  Fi

(17)

Como la fuerza resultante, también es paralela al eje z, se tiene que él módulo de la fuerza resultante, puede ser obtenida mediante la siguiente expresión,

R   Fi

(18)

EJEMPLO 3. Se tiene tres fuerzas, ver figura 10, las cuales actúan sobre un cuerpo situado en el centro de coordenadas del plano xy. (a) Encuentre las componentes de la fuerza resultante y escriba dicha fuerza en forma vectorial. (b) Mediante el método de la descomposición rectangular calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante. Las magnitudes de las fuerzas son F1  200 N , F2  300 N , F3  155 105 din

SOLUCIÓN. (a) Mediante (13), calculamos las componentes de la fuerza resultante, estas son:

Rx  F1 x  F2 x  F3 x  F1 Cos30  F2 Cos45  F3 Cos53  173.2  212.1 93.31  132.21N R y  F1y  F 2y  F3y  F1Sen30  F2 Sen45  F3 Sen53  100  212.1 123.8  188.26N 

R   132.21 iˆ  188.26 jˆ N

Luego, la fuerza resultante en forma vectorial es;

(b) De (14), la magnitud de la fuerza resultante es R  R  La dirección del vector resultante es

S. Castro Z.

  132.21 2  188.26 2

 230.1 N

 188 .26    ArcTan 1.4239   54.92   132 .21 

  ArcTan 

Civil: Física I

1.4

10

TORQUE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES. El torque o momento de rotación es una magnitud vectorial, el cual nos indica si el sistema se encuentra en equilibrio o ha girado respecto a un punto de referencia, debido a las fuerzas presentes. Si la rotación es anti horario, el torque será positivo y sí la rotación es horaria, el torque será negativo, figura 11. Consideremos el sistema de fuerzas concurrentes, tal como se muestra en la figura 12.

Figura 11. Se presenta las tres situaciones del torque, negativo, positivo e igual a cero. Cada una de las fuerzas respecto al origen, producen un torque, esto es; 





τ i  r  Fi

(19)

Como las fuerzas son concurrentes (punto A), nosotros podemos determinar un vector fuerza resultante, de acuerdo a (12); para luego calcular el torque total (o momento de rotación) respecto al origen (punto de rotación), así Figura 12. Fuerzas que concurren en el punto A.







τ0  r R

(20)



El subíndice en (20), indica que la rotación es respecto al origen, r es el vector de posición común, 









y R  F1  F2  F 3  ...  Fi es el vector fuerza resultante.

 y la fuerza resultante 󰇍󰇍𝑹 = En coordenadas cartesianas, el vector de posición es 󰇍𝒓 = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 + 𝑧 𝒌 𝑅𝑥 𝒊 + 𝑅𝑦 𝒋 + 𝑅𝑧 𝒌 . Considerando el sistema de coordenadas en el origen (punto O), el torque resultante se obtiene así, 𝒊 󰇍 𝑥 󰇍󰇍 󰇍 = | = 𝐫 × 𝐑 𝝉0 𝑅𝑥

𝒌 𝑧 | = (𝑦𝑅𝑧 − 𝑧𝑅𝑦 )𝒊 + (𝑧𝑅𝑥 − 𝑥𝑅𝑧 )𝒋 + (𝑥𝑅𝑦 − 𝑦𝑅𝑥 )𝒌 𝑅𝑧

𝒋 𝑦 𝑅𝑦

            τ 0  r   F 1  F2  F3  ...   r F1  r F 2  r  F 3  ...  

Otra forma es;







(21)



τ 0  τ 1  τ 2  τ 3  ... 