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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 32 FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA LABORATORIO DE MECÁNICA PÉNDULO BALÍSTICO OBJETIVOS Investigar el péndulo balístico. Revisar la teoría física y los principios fundamentales que estan detrás del experimento planeado. Determinar la velocidad de disparo de...

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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA LABORATORIO DE MECÁNICA

32

PÉNDULO BALÍSTICO

OBJETIVOS Investigar el péndulo balístico. Revisar la teoría física y los principios fundamentales que estan detrás del experimento planeado. Determinar la velocidad de disparo de un proyectil utilizando los métodos aproximado y el método exacto. INTRODUCCIÓN El Péndulo Balístico se emplea en criminalística para determinar la velocidad de disparo de los proyectiles de las armas de fuego. EQUIPO El Péndulo de Balística ME- 6831 incluye lo siguiente: • Base metálica del Péndulo Balístico. • 2 bolas de acero. • Lanzador de proyectiles de corto rango. • Taco (unido con Velcro para mantenerse). • Accesorios de choque. • 3 bolas plásticas. • 2 masas de latón para péndulo. • 2 gafas de seguridad. • Abrazadera en forma de C. MARCO TEÓRICO SOBRE EL PÉNDULO BALÍSTICO El Péndulo Balístico es un método clásico para determinar la velocidad de un proyectil. Este sirve también para demostrar algunos principios fundamentales de la física. La bola es lanzada dentro del péndulo, el cual luego oscila entre un angulo medible. De la altura alcanzada por el péndulo podemos calcular su energía potencial. Esta energía potencial es igual a la energía cinética del péndulo al final de la oscilación, justo después del choque con la bola. No podemos igualar la energía cinética del péndulo después del choque con la energía cinética de la bola antes del choque, ya que el choque entre la bola y el péndulo es inelástico y la energía cinética no se conserva en un choque inelástico. El momento se conserva en todas las formas de choque, sin embargo; sí sabemos que el momento de la bola antes del choque es igual al momento del péndulo después del choque. Una vez nosotros conozcamos el momento de la bola y su masa, podemos determinar la velocidad inicial. Hay dos maneras de calcular la velocidad del proyectil. El primer método (método aproximado), asume que el péndulo y la bola actúan juntos como una masa puntual localizada en su centro de masas combinado. Este método no toma en consideración la inercia rotacional.

Laboratorio de Mecánica - Universidad de Pamplona Escrito por: Heriberto Peña Pedraza

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El segundo método (método exacto), utiliza la inercia rotacional del péndulo en los cálculos. Las ecuaciones son un poco más complicadas, y es necesario tomar más datos para encontrar el momento de inercia del péndulo; los resultados obtenidos son generalmente mejores. Note que el suscrito “C.M.” usado en la siguiente ecuación es para “centro de masa”. MÉTODO APROXIMADO PARA CALCULAR LA VELOCIDAD DE DISPARO DEL PROYECTIL Comienza con la energía potencial del péndulo al tope de su oscilación:

∆U

= M g ∆hC .M

(1)

Donde M es la masa combinada del péndulo y la bola, g es la aceleración de la gravedad y ∆h es el cambio de altura. Sustituimos por la altura:

∆hC .M = R ( 1 − cos θ

)

∆U = M g RC .M ( 1 − cos θ

(2)

)

(3)

Aquí: RCM - es la distancia del pivote al centro de masas del sistema proyectil – péndulo y θ - es el ángulo de deflexión del péndulo. La energía potencial U es igual a la energía cinética K del péndulo inmediatamente después del choque:

K=

1 2 M vp 2

(4)

El momentum Pp del péndulo justamente después del choque es:

Pp = M v p

(5)

Al cual lo podemos sustituir en la ecuación previa quedando:

K=

Pp

2

2M

(6)

Resolviendo esta ecuación para el momento del péndulo da:

Pp =

2M ( K )

(7)

Este momento es igual al momento de la bola antes del choque:

Pb = m vb

(8)

Igualando estas dos ecuaciones y reemplazando KE por la energía potencial conocida nos da:

m vb

=

2 M 2 g RC .M ( 1 − cosθ

)

(9)

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Resolvemos esto para la velocidad de la bola y simplificamos para obtener:

vb

=

2 g RC .M ( 1 − cosθ

M m

)

(10)

Figura 1. MÉTODO EXACTO PARA CALCULAR LA VELOCIDAD DE DISPARO DEL PROYECTIL La energía potencial se halla de manera idéntica a la mostrada previamente:

∆U

= M g RC .M ( 1 − cosθ

)

(11)

Para la energía cinética, usamos la ecuación para la energía cinética angular en lugar de lineal y sustituimos en la ecuación para momento angular.

K

=

1 I ω 2 (12) 2

Lp

= Iω

(13)

K

=

(14)

Lp

2

2I

Aquí I es el momento de inercia del sistema péndulo – bola y ω es la velocidad angular inmediatamente después del choque. Como se hizo previamente, se resuelve esta última ecuación para el momento angular:

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Lp

=

2I ( K )

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(15)

Este momento angular es igual al momento angular de la bola antes del choque, medida desde el punto del pivote del péndulo.

= m Rb ω 2

Lb

= m Rb v (16)

Rb es la distancia del pivote del péndulo al proyectil. (Este radio no es en general igual a Rcm, el cual es la distancia del punto de pivote al centro de masa del sistema Péndulo/Masa).

Figura 2 Estos dos momentos angulares son iguales para cada uno así:

m Rb v =

2 I M g RC .M ( 1 − cosθ ) (17) Resolvemos para v:

v =

1 2 I M g RC .M ( 1 − cosθ ) m Rb

(18)

Ahora necesitamos encontrar I, el momento de inercia del péndulo y la bola. Para hacer esto comenzaremos con el equivalente rotacional de la segunda ley de Newton:

τ

= Iα

(19)

Donde τ es el torque, I es el momento de inercia y α es la aceleración angular. La fuerza en el centro de masa del péndulo es justamente Mg y la componente de esta fuerza dirigida hacia el centro del péndulo oscilador es:

F El torque en el péndulo es:

Iα

= − M g sen θ (20)

= − RC .M M g sen θ

(21)

Para ángulos pequeños θ, sen θ ≈ θ, si hacemos esta sustitución y resolvemos para α, conseguiremos: Laboratorio de Mecánica - Universidad de Pamplona Escrito por: Heriberto Peña Pedraza

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α

≈

M g RC .M θ I

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(22)

Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación para movimiento armónico simple lineal:

α

k x = − ω2x m

≈

(23)

Si comparamos estas dos ecuaciones, lineal y angular, vemos que el péndulo exhibe un movimiento armónico simple y que el cuadrado de la frecuencia angular (ω2) para este movimiento es justo:

ω2 =

M g RC .M I

(24)

Resolviendo esto para I nos da el resultado deseado:

I

=

ω2

M g RC .M

=

M g RC .M T 2 4π2

(25)

Donde T es el periodo del péndulo. Nota: Nosotros hemos hecho una aproximación del ángulo pequeño para encontrar I, pero I no depende de θ. Esto significa que debemos medir el periodo T usando pequeñas oscilaciones; pero una vez que hayamos calculado I con este periodo, podemos usar este valor de I a pesar de la amplitud alcanzada durante otras partes del experimento.

DETERMINACIÓN DE LA VELOCIDAD DEL PROYECTIL POR EL MÉTODO APROXIMADO MATERIALES ADICIONALES • • • •

La bola de acero El lanzador de proyectiles Una abrasadera en C Una cuerda

La velocidad del cañón del lanzador de proyectiles se determina lanzando la bola en el péndulo y observando el ángulo al cual se balancea el péndulo. La ecuación para la velocidad de la bola es aproximadamente.

vb

=

M m

2 g RC .M ( 1 − cosθ

)

(26)

Donde M es la masa combinada del péndulo y pelota, m es la masa de la bola, g es la aceleración de gravedad, Rcm es la distancia del pivote al centro de la masa del péndulo, y Ө es el ángulo alcanzado por el péndulo. MONTAJE I 1. Coloque el Lanzador de Proyectiles al montaje del Péndulo balístico al nivel del capturador de la bola. Asegúrese de que el péndulo cuelgue verticalmente con respecto al lanzador. Laboratorio de Mecánica - Universidad de Pamplona Escrito por: Heriberto Peña Pedraza

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2. Sujete la base del péndulo a la mesa, con una abrasadera en C. Asegúrese que la abrasadera no interfiera con el balance del péndulo. PROCEDIMIENTO I 1. Ubique el péndulo a 90ْ , luego cargue el Lanzador de proyectiles. Permita al péndulo colgar libremente, y mueva el indicador del ángulo para ponerlo en cero grados. 2. Dispare el lanzador y anote el ángulo alcanzado. Agregue o quíte masa al péndulo. Repita esta prueba hasta que usted esté satisfecho con la masa del péndulo. 3. Una vez usted ha escogido la masa para usar para su experimento, quite el péndulo de la base destornillando y quitando el eje del pivote. Usando el centro de masa, encuentre la masa del péndulo y bola juntos. Anote este valor como M en la tabla 1. 4. Halle la masa de la bola, anote esto como m. 5. Haga un lazo con la cuerda, y cuelgue el péndulo del lazo (Ver figura 3). Coloque la bola y el capturador de la bola en posición, ajuste la posición del péndulo hasta que equilibre. Mida la distancia del punto al pivote, este es el centro de masa, y anótelo como Rcm. Usted puede encontrar el centro de masas equilibrando el péndulo en el borde de una regla u objeto similar. 6. Reensamble el péndulo, y asegúrese que quede bien hecho. Esté seguro que el indicador del ángulo, esté a la derecha del péndulo. 7. Cargue el lanzador, luego ponga el indicador del ángulo para orientar 1 – 2º menos del alcanzado en el paso 2. Esto eliminará la fricción causada por el indicador en el arrastre del péndulo, así el péndulo moverá sólo el indicador para los últimos grados. Luego dispare el lanzador, y anote el ángulo alcanzado por el péndulo en la tabla 1. Repita este procedimiento varias veces.

Figura 3. CÁLCULOS I 1. Observe la medida del ángulo alcanzado por el péndulo. Anote este valor en la tabla 1. 2. Calcule la velocidad del proyectil y la del cañón del Lanzador del Proyectiles. PREGUNTAS I 1. ¿Hay otra manera de medir la velocidad del cañón, para que usted pueda verificar sus resultados? Usted puede usar otro método y comparar la dos respuesta. 2. ¿Qué fuentes de error están presentes en este experimento? ¿Qué tánto afectan a sus resultados estos errores? 3. ¿Se simplificarían los cálculos (ver la sección de teoría) si se conservara la energía cinética en la colisión entre la pelota y péndulo? ¿Qué porcentaje de la energía cinética se ha perdido en la colisión entre la pelota y el péndulo? ¿Sería válido asumir que esa energía se conservó en dicha colisión? Laboratorio de Mecánica - Universidad de Pamplona Escrito por: Heriberto Peña Pedraza

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4. ¿Cómo hallaría el ángulo alcanzado cambiando el péndulo; si la bola no fuera capturada por el péndulo? Usted puede probar esto dándole la vuelta al péndulo para que la bola golpee la parte de atrás del capturador de la bola. ¿Hay más energía o menos energía transferida al péndulo? Tabla 1. Magnitud M (g) M (g) RC.M (cm) Rb (cm) T (s) I( )

Angulo M.aprox θ1 θ2 θ3 θProm VAprox ( ) VExacto ( ) Error relativo

Valores

M.exact

VELOCIDAD DEL PROYECTIL - MÉTODO EXACTO MATERIALES: • • • • •

La bola de acero El lanzador de proyectiles Una abrasadera en C Una cuerda (centro de masas) Un cronómetro

La ecuación para determinar la velocidad exacta de la bola es:

v =

1 2 I M g RC .M ( 1 − cosθ ) m Rb

Donde: I es el momento de inercia del péndulo con la bola en el capturador. El valor de I puede encontrarse midiendo el periodo de oscilaciones pequeñas del péndulo y bola, usando la ecuación:

I

=

M g RC .M T 2 4π2

Donde: T es el periodo. PROCEDIMIENTO II 1. Siga los pasos del PROCEDIMIENTO I descrito arriba. 2. Mida la distancia entre el punto del pivote y el centro de la bola. Anote esto como R b. 3. Quite el lanzador de proyectiles para que el péndulo pueda girar libremente. Con la bola en el péndulo, déle un desplazamiento inicial de 5º o menos. Use el cronómetro, tome el tiempo por lo menos de diez oscilaciones, y anote el resultado como T en tabla 1.

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CÁLCULOS II 1. Observe la medida del ángulo alcanzada por el péndulo. Anote este valor en la tabla 1. 2. Calcule el valor de I, y anótelo en la tabla 1. 3. Calcule la velocidad del Proyectil PREGUNTAS II 1. Responda a las PREGUNTAS I. 2. ¿Aumentando la masa del péndulo, disminuye la eficacia de la energía transferida en la colisión? Pruébelo. 3. ¿Hay una diferencia significativa entre los valores calculados de los dos métodos? ¿Qué factores aumentarían la diferencia entre estos dos resultados? ¿Cómo usted construiría un péndulo balístico para que la ecuación aproximada diera buenos los resultados? CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

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