Unterrichtsenwurf -Rechenregeln bestimmte Integrale PDF

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Summary

Dieser Unterrichtsentwurf zum Thema "Das unbestimmte Integral" dient als Leitfaden für die Didaktik der Sekundarstufe II im Master oder auch als Vorlage zu den Praktika im Lehramtsstudium. ...

Description

Unterrichtsstunde Mathematik Thema:

Die Integralrechnung – Rechenregeln für bestimmte Integrale

Lernziel:

Die Schülerinnen und Schüler1 kennen die Integralrechnung und erkennen nun, dass es für das bestimmte Integral Rechenregeln gibt, die das Rechnen erleichtern können (K2, K5, K3).

Grobziel:

Die SuS können die Integralrechenregeln anwenden, um so Rechnungen zu vereinfachen (K2, K5).

Feinziel:

Die SuS…

(1) Kennen die Faktorregel und wenden sie gezielt an (K2, K5). 𝑏

𝑏

𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

(2) Kennen und wenden die Summenregel an (K2, K5). 𝑏

𝑏

𝑏

∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

(3) Verstehen, dass bei Vertauschung der Integrationsgrenzen das Vorzeichen vor dem Integral wechselt und wenden diese Regel an (K2, K5). 𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑏

(4) Kennen die Intervalladditivität und können die Regel anwenden (K2, K5). 𝑐

𝑏

𝑐

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑏

(5) Die geometrischen Interpretationen hinter den Rechenregeln (K3, K4) Kompetenzen:

1

K1

Mathematisch argumentieren

K2

Probleme mathematisch lösen

K3

Mathematisch modellieren

K4

Mathematische Darstellungen verwenden

K5

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen.

K6

Mathematisch kommunizieren

Die Abkürzung SuS wird im Folgenden stellvertretend für „Schülerinnen und Schüler“ verwendet.

Unterrichtsstunde Mathematik Verlaufsplan: Unterrichtsphase Unterrichtsinhalt

Sozial-

Medien

form Begrüßung

Wiederholung der in den vorherigen Stunden besprochenen Lehrer-

Medial

Wiederholung

Thematik.

Schüler-

mündlich

Fragen werden geklärt.

gespräch

Erarbeitung I

Die SuS lernen die Rechenregeln für die Integralrechnung Lehrerkennen. Teilweise können die Lernenden schon Rechenregeln

S2

Schüler-

für die bestimmte Integralrechnung durch ihre praktische gespräch Erfahrung aufstellen und anhand von Beispielen ausführen.

Die genannten Regeln werden auf dem Smartboard festgehalten. Erkannt werden könnte auf Seiten der Lernenden: 𝑏

𝑏

𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

Weiterhin wird auf den konkreten Gebrauch der Fachsprache bei den SuS geachtet: (1) Integrationsgrenze (2) Bestimmtes Integral 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

(3) Im Intervall von 𝑎 nach 𝑏.

(4) Die Konstante 𝑘 (kann sowohl positiv als auch negativ sein).

Übung I

Falls diese beiden Regeln von den Lernenden nicht EA selbstständig erkannt werden bzw. formuliert werden, so geschieht dies in dieser Phase.

2

“S” steht hier stellvertrenden für das “Smartboard”.

S

Unterrichtsstunde Mathematik Es werden folgende Beispiele am Smartboard nacheinander präsentiert: 2

2

(1) ∫1 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 ∙ ∫1 𝑥 2 𝑑𝑥 ? 1

1

11

1

(2) ∫0 (√𝑥 + 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 = ∫0 √𝑥 𝑑𝑥 + ∫0 𝑥 3 𝑑𝑥 ? 8 8 Es wird mit Schnelligkeit gerechnet. Es spielen die Jungs gegen die Mädchen. Herausgefunden werden soll anhand der Rechnung eine allgemeine Formel. Generell haben die SuS ca. 2 Minuten zur Bearbeitung dieser einzelnen Aufgaben Zeit. Bei Schwierigkeiten wird mehr Zeit zur Verfügung gestellt. Sicherung I

Die Lösungen der beiden Beispiele werden an das Smartboard Plenum

S

geschrieben, so dass alle in der Klasse sehen, was von den schnellsten gerechnet wurde und vor allem, ob die Rechnung stimmt. Im Plenum wird daraufhin versucht eine allgemeingültige Regel aufzustellen. Kann diejenige Person, die das Ergebnis darlegt, direkt die Regel aufzeigen so erhält dieses Team einen weiteren Punkt. Die Rechenregeln sind: 𝑏

𝑏

𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

𝑏

∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

Erarbeitung II

𝑎

Es werden die letzten beiden Beispiele für die Rechenregeln: 𝑎

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑐

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

gegeben mit:

𝑎

𝑏

Einzelarbeit

S

Unterrichtsstunde Mathematik 0

1

2

25 4 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑥 25 5 5 𝑑𝑥 = − ∫

0

1

1

2

4 4 4 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 7 7 7

0

Sicherung II

1

0

Die Lösungen der beiden Beispiele werden an das Smartboard Penum

S

geschrieben, so dass alle in der Klasse sehen, was von den schnellsten gerechnet wurde und vor allem, ob die Rechnung stimmt. Im Plenum wird daraufhin versucht eine allgemeingültige Regel aufzustellen. Kann diejenige Person, die das Ergebnis darlegt, direkt die Regel aufzeigen so erhält dieses Team einen weiteren Punkt. Die Rechenregeln sind: 𝑎

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑐

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

Festigung

𝑎

𝑏

HA: Die SuS wenden die Rechenregeln der Integralrechnung

Medial

als Hausaufgabe mit den folgenden Integralen an:

mündlich...