UTN Resúmen Teórico Unidad 2 PDF

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Apuntes teóricos de la segunda unidad de Análisis Matemático I. Incluye funciones algebraicas, polinómicas, cónicas, etc, análisis completo de funciones....

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Análisis Matemático 1 Resumen Teórico Unidad 2: Limite Funcional UTN – Fac.Reg.Haedo – Cátedra Macagna

UTN – RESUMEN TEÓRICO T.P.2 Límite funcional Definición: Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a un valor a, es igual a L, si:

   0   0 / si 0  x  a  

entonces

f (x )  L  

Y se indica: lim f ( x )  L x a

En términos coloquiales: “Para cualquier valor ε (real y positivo), existe un valor δ (real y positivo), tal que –si la distancia entre x y a es menor que δ- entonces la distancia entre f(x) y L es menor que ε.

No existencia de límite Ocurre cuando no puede aplicarse la definición. Es decir, que no puede hallarse para cualquier ε, un δ en función de dicho ε, que asegure que

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las x que pertenecen al entorno reducido definido por 0  x  a   tengan todas imágenes dentro del entorno definido por f ( x )  L   . Por ejemplo, una función que en x=a tenga un “salto finito”. Límites Laterales a) Límite por derecha:

lim f ( x) L     0  ( )  0 / x Df : 0  x  a  

xa 

entonces

f ( x)  L  

entonces

f ( x)  L  

b) Límite por izquierda:

lim f ( x) L     0   ( )  0 / x Df : 0  a  x  

xa 

Unicidad del Límite El cálculo de límite de una función cuando x tiende a un valor a, admite un único resultado. Consecuencia: si los límites laterales de una función cuando x tiende a un valor a son distintos, entonces no existe el límite de la función en dicho punto. Teoremas 1)

lim f ( x)  L  lim  f ( x)  L  0 x a

x a

lim f (x ) L  f (x ) L   (x ), siendo (x) una función que verifica que

2)

x a

lim  ( x)  0 x a 

3) Sea k un número Real. Si

lim f ( x)  L , entonces se verifica que: x a

i) si Lk   E (a,  ) / x  E ( a,  ) : f ( x)  k *

*

4) Sean f y g dos funciones definidas en (a;b), salvo quizá en x0 Є(a;b) y tales que: i)

lim g ( x )  L x a

3

ii)  E ( a, ) / x  E ( a, ) : f ( x)  g( x) *

Entonces:

*

lim f ( x )  L x a

5) Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo (a;b), salvo quizá en x0 Є (a;b) y tales que: i)

lim g (x )  lim h (x )  L x a

x a

ii) x ( a, b) ( conx  a) : g( x)  f ( x)  h( x) Entonces:

lim f ( x )  L x a

6) Si f(x)=k, con k constante, entonces: lim f ( x)  k x a

Álgebra de límites Para todas las propiedades que se indican a continuación, se verifica que: Sean f y g dos funciones definidas en (a;b), salvo quizá en x0 Є (a;b) y tales que: lim f ( x)  L1 y

lim g( x)  L2 . Entonces: x a

x a

a)



 f ( x)  g( x)  L1  L2 lim x a

b) lim x a

 f ( x).g( x)  L .L 1

2

c) Si L2≠0 entonces: lim x a

f ( x) L1  g( x) L2

d) Si L1>0 entonces:

lim [log b f ( x)]  log b L1 

e) Si L1>0 entonces:

L lim [ f ( x)]g ( x )  L1 x a

x

a

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Infinitésimos Sea f(x) una función definida en un entorno de a, tal que

f ( x)  0 . lim x a

Se dice que f(x) es un infinitésimo cuando x tiende al valor a. 4

Propiedades: a) La suma de dos o más infinitésimos en a es otro infinitésimo en a. b) El producto de dos o más infinitésimos en a es otro infinitésimo en a. c) El producto entre un infinitésimo y una función f(x) acotada (k1...