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Vorlesung Massivbau H2.2

Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt Fachbereich 1: Architektur · Bauingenieurwesen · Geomatik

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Massivbau H2.2 Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt Stand: 29 Juni 2020

Vorlesung Massivbau H2.2

Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt Fachbereich 1: Architektur · Bauingenieurwesen · Geomatik

Inhalt 1 Zweiachsig gespannte Platten ............................................................................................ 1 1.1

Einführung in die Plattentragwirkung ................................................................................... 1

1.2

Koordinatensysteme bei Platten .......................................................................................... 4

1.3

Unterschiede zwischen einachsig- und zweiachsig gespannten Platten ................................ 5

1.4

Drillsteife- und drillweiche Platten ....................................................................................... 6

1.5

Schnittgrößen bei Platten..................................................................................................... 8

1.6

Exakte Lösung von Schnittgrößen und Durchbiegungen von Platten ..................................... 9

1.7

Auflagerarten von zweiachsig gespannten Platten ............................................................. 10

1.8

Belastungen auf Platten ..................................................................................................... 10

1.9

Schnittgrößenermittlung an zweiachsig gespannten Platten............................................... 11

1.10 Biegemomente vierseitig gestützter Platten nach Pieper Martens...................................... 12 1.11 Ermittlung von Querkräften und Auflagerkräften bei zweiachsig gespannten Platten ......... 14 1.12 Bewehrungsführung und konstruktive Hinweise bei Platten ............................................... 16 1.13 Fertigteildecken mit Aufbeton............................................................................................ 18 1.14 Platten mit Einzellasten...................................................................................................... 19 1.15 Balkone mit Wärmedämmung ........................................................................................... 23

2 Normalkraftbeanspruchte Bauteile .................................................................................. 26 2.1

Bemessung für Normalkraft mit geringer Biegebeanspruchung ohne Knickgefahr .............. 26

2.2

Bemessungsdiagramme für Querschnitte mit symmetrischer Bewehrungsanordnung........ 27

2.3

Bemessung von Wänden ohne Knickgefahr ........................................................................ 30

2.4

Normalkraftbeanspruchte Bauteile mit Stabilitätseinfluss .................................................. 32

2.5

Stabilität von Gebäuden ..................................................................................................... 34

2.6

Ausgesteifte und unausgesteifte Tragwerke ....................................................................... 37

2.7

Schlankheit von Einzeldruckgliedern ..................................................................................37

2.8

Abgrenzung der Schlankheit............................................................................................... 38

2.9

Beanspruchung von Druckgliedern durch Biegemomente ..................................................40

2.10 Einwirkungen aus Biegemomenten am Stützenkopf bzw. Stützenfuß ................................. 42 2.11 Druckglieder mit zweiachsiger Biegung .............................................................................. 48 2.12 Bewehrungsrichtlinien und bauliche Durchbildung von Druckgliedern ...............................49

3 Durchstanzen ................................................................................................................... 50 3.1

Tragsysteme für Decken ..................................................................................................... 50 3.1.1

Unterzugsdecke .................................................................................................................. 50

3.1.2

Balkendecke ....................................................................................................................... 51

3.1.3

Flachdecke .......................................................................................................................... 52

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Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt Fachbereich 1: Architektur · Bauingenieurwesen · Geomatik

3.2

Allgemeines zum Durchstanzen.......................................................................................... 53

3.3

Lasteinleitung und Nachweisschnitte ................................................................................. 54

3.4

Allgemeines Nachweisverfahren für Durchstanzen ............................................................. 56

3.5

Platten ohne Durchstanzbewehrung .................................................................................. 58

3.6

Platten mit Durchstanzbewehrung ..................................................................................... 59

3.7

Mindestdurchstanzbewehrung........................................................................................... 64

3.8

Mindestmomente für Durchstanznachweise ...................................................................... 64

4 Bemessung von Fundamenten ......................................................................................... 66 4.1

Allgemeines ....................................................................................................................... 66

4.2

Nachweis klaffende Fuge ................................................................................................... 68

4.3

Bemessung unbewehrter Einzel- und Streifenfundamente ................................................. 69

4.4

Bewehrte Einzelfundamente .............................................................................................. 72

4.5

Durchstanznachweis für Fundamente ................................................................................ 73

5 Stabwerkmodelle............................................................................................................. 76 5.1

Teilflächenbelastung .......................................................................................................... 76 5.1.1

Nachweis aufnehmbare Teilflächenlast ............................................................................. 76

5.1.2

Nachweis Querzugkräfte .................................................................................................... 77

5.1.3

Teilflächenlasten bei Wandscheiben.................................................................................. 77

5.2

Allgemeines zu Stabwerkmodellen..................................................................................... 78

5.3

Abgrenzung technische Biegelehre zur Stabwerkanalogie .................................................. 78

5.4

Modellfindung für die Bemessung von D-Bereichen ........................................................... 81

5.5

Nachweise für die Stabwerkskräfte .................................................................................... 82 5.5.1

Nachweis der Druckstreben: .............................................................................................. 82

5.5.2

Nachweis der Zugstreben:.................................................................................................. 82

5.5.3

Nachweis Querzugspannungen .......................................................................................... 82

5.5.4

Knotenbemessung .............................................................................................................. 83

5.6

Typische Stabwerksmodelle unterschiedlicher Wandscheiben aus [6] ................................ 84

5.7

Berücksichtigung des Eigengewichts .................................................................................. 89

5.8

Aussparungen und Öffnungen in Wänden .......................................................................... 91

5.9

Rahmenecken und Versprünge ..........................................................................................94 5.9.1

Rahmenecke mit positivem Moment (öffnendes Moment) .............................................. 94

5.9.2

Rahmenecke mit negativem Moment (schließendes Moment) ........................................ 94

5.9.3

Versprünge bzw. Ausklinkungen von Trägern .................................................................... 95

5.10 Ermittlung der Stabwerkskräfte am Auflagerpunkt ............................................................. 96

6 Literatur ........................................................................................................................... 97

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Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt Fachbereich 1:

Kapitel 1: Zweiachsig gespannte Platten

1

Architektur · Bauingenieurwesen · Geomatik

Zweiachsig gespannte Platten

1.1

Einführung in die Plattentragwirkung

Deckenplatten aus Stahlbeton werden statisch je nach ihrer Auflagersituation als •

einachsig gespannte Platten oder

•

zweiachsig gespannte Platten

berechnet. Das unterschiedliche Tragverhalten kann mit einer FEM-Analyse über die Verformungen und die Plattenschnittgrößen gut sichtbar gemacht werden. Anhand einer FEM-Analyse werden Platten mit unterschiedlichen Längen- zu Breiten-Verhältnissen bei gleicher Plattenstärke h = 20 cm, gleicher Belastung q = 5 kN/m2 und gleicher Steifigkeit E = 30.000 N/mm2 berechnet und die maximalen Feldmomente sowie Durchbiegungen in Feldmitte ermittelt. In Tabelle 1 sind die Ergebnisse der verschiedenen Berechnungen zusammenfassend dargestellt. Tabelle 1

Zusammenstellung der Schnittgrößen und Durchbiegungen verschiedener Plattenabmessungen.

Nr.

System

l/b [m]

l/b []

max m

max f

1

2-seitig

5/20

1:4

31,25 kNm/m

4,1 mm

2

4-seitig drillsteif

5/20

1:4

30,95 kNm/m

3,7 mm

3

4-seitig drillsteif

5/15

1:3

29,72 kNm/m

3,6 mm

4

4-seitig drillsteif

5/10

1:2

25,17 kNm/m

3,0mm

5

4-seitig drillsteif

5/7,5

1:1,5

19,69 kNm/m

2,3 mm

6

4-seitig drillsteif

5/5

1:1

11,16 kNm/m

1,2 mm

7

4-seitig drillweich

5/5

1:1

12,00 kNm/m

1,3 mm

Linienauflager, gelenkig Was kann man aus den FEM-Analysen erkennen: 1.

Das einachsig, über die kurze Spannrichtung gespannte System in Tabelle 1, Zeile 1 zeigt exakt die Schnittgrößen und Verformungen, die nach Elastizitätstheorie für einen Einfeldträger ermittelt werden können. Dabei wird bei der Schnittgrößenermittlung ein Plattenstreifen von 1m Breite betrachtet und somit Schnittgrößen je Meter Plattenbreite ermittelt.

Stand 29. Juni 2020

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Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt

Kapitel 1: Zweiachsig gespannte Platten

Fachbereich 1: Architektur · Bauingenieurwesen · Geomatik

Bei der Spannweite von 5 m, einem Eigengewicht von 𝑔 = 0,2&𝑚 ⋅ 25 𝑘𝑁 ⁄𝑚 , = 5 𝑘𝑁 ⁄𝑚 - &und einer Verkehrslast von 5 𝑘𝑁⁄𝑚 - berechnet sich das Moment zu: max 𝑚 = &

10 𝑘𝑁 ⁄𝑚 - ⋅ 5- &𝑚= 31,25 𝑘𝑁𝑚 ⁄𝑚 & 8

Die maximale Durchbiegung in Feldmitte in Millimetern kann mit Hilfe z.B. von Einfeldträger-Formeln mit einem Elastizitätsmodul für Beton von 𝐸6 = 30.000 𝑀𝑁 ⁄𝑚 - ermittelt werden zu: max 𝑓 = &

5 0,010 𝑀𝑁⁄𝑚- ⋅ 5= &𝑚 = ⋅ 12 5 𝑞 ⋅ 𝑙= ⋅ 10, = 4,07&𝑚𝑚 ⋅ =& ⋅ 384 𝐸 ⋅ 𝐼 384 30.000 𝑀𝑁 ⁄𝑚- ⋅ 1,0&𝑚& ⋅ 0,2, &𝑚 ,

Die beiden Ergebnisse decken sich somit erwartungsgemäß mit den Berechnungen der Finite-Elemente-Methode. 2.

Die Schnittgrößen der vierseitig gelagerten Platte mit dem gleichen Längenverhältnis 1:4 wie die Berechnung Nr. 1 unterscheiden sich nur unwesentlich. Daraus kann geschlossen werden, dass die Lasten hauptsächlich über die kurze Spannrichtung der Platte abtragen in unserem Fall über die Länge 5,0 m. Die Lasten werden somit durch Steifigkeiten angezogen. Betrachtet man die beiden Spannrichtungen l = 5 m und l = 20 m, so bildet die kürzere Spannweiter von 5 m aufgrund seiner geringeren Verformungen die „steifere“ Richtung aus. Steifigkeiten ziehen Lasten an.

3.

Die Schnittgrößen der vierseitig gelagerten Platte Nr. 3 mit dem Längenverhältnis 1:3 zeigen nun eine Zunahme der Tragwirkung auch quer zur Spannrichtung. Die Tragwirkung nimmt jedoch immer noch im Vergleich zum System 1 nur unwesentlich zu. Wir können davon ausgehen, dass auch eine Platte mit einem Längen- zu Breitenverhältnis von 3:1 hauptsächlich über seine kurze Spannrichtung abträgt und die Berechnung gleich eines Einfeldträgers (also einachsig gespanntes System) angesetzt werden kann.

4.

Bei einem Längen- zu Breitenverhältnis von 1:2 beginnt nun ein nennenswerter Lastabtrag in beide Tragrichtungen, wobei die Haupttragrichtung immer die kürzere Spannweite bildet. Im Vergleich zum einachsig gespannten System haben sich nun die Schnittgrößen in der Haupttragrichtung von 31,25 kNm/m auf 25,13 kNm/m reduziert, was eine Reduzierung des Moments auf 80% des Einfeldträgers bedeutet.

5.

Bei dem weiteren verkürzen der Längenverhältnisse auf 1:1,5 beginnt ein deutlicher 2-achsiale Lastabtrag der Platte. Die kurze Spannrichtung erzeugt immer noch die größeren Biegemomente.

6.

Bei einem Längen- zu Breitenverhältnis von 1:1 trägt nun die Platte in beide Spannrichtungen gleich ab. Die Verformungen sind von 4,1 mm bei einem Einfeldträger auf 1,2 mm gesunken, auch die Biegemomente sind nur noch ca. 1/3 der eines Einfeldträgers. Der Ansatz einer zweiachsigen Tragwirkung ist also nicht nur statisch relevant, sondern gleichzeitig auch wirtschaftlich. Die Biegebemessung erfolgt jedoch immer in beide Spannrichtungen und somit liegt im Falle des Längenverhältnisse 1:1 in beide Richtungen die gleiche Bewehrung vor.

Stand 29. Juni 2020

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Kapitel 1: Zweiachsig gespannte Platten

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Bis zu diesem Punkt haben wir lediglich drillsteife Plattensysteme betrachtet. Was unterscheidet drillsteife oder drillweiche Plattensysteme voneinander: Drillsteife Platte:

Drillweiche Platte:

7.

Die Ecken sind gegen Abheben gesichert. Das ist insbesondere gegeben, wenn: •

Genügend Auflast vorhanden ist (Lasten von Außenwänden der oberen Geschosse)

•

Eine monolithische Verbindung zum Auflager besteht (Beton in einem Guss, z.B. Decke auf Stahlbetonwand oder Unterzug)

Die Ecken können bei Belastung der Platte abheben (z.B. Stahlbeton-Fertigdecke auf einer gemauerten Garage.

In der letzten Berechnung Nr. 7 wurde das gleiche System wie Zeile 6 lediglich als drillweich berechnet. Dazu wurden alle umlaufenden Auflager so verändert, dass positive (also aufliegende) Auflagerkräfte abgetragen werden und negative (also abhebende) Auflagerkräfte auf 0 gesetzt werden. Damit können sich insbesondere die Eckbereiche der Platte abheben. Anhand der durchgeführten Berechnung Nr. 6 wird gezeigt, dass bei drillweichen Systemen sowohl die Verformungen, als auch die Schnittgrößen etwas höher ausfallen als im Vergleich zu den drillsteifen Systemen (Zeile 5). Das kann damit beschrieben werden, dass durch das Verhindern des Abhebens der Ecken eine Reduzierung der Durchbiegung erreicht wird.

Drillsteife Systeme liegen in der Praxis häufig vor. Durch das Verhindern eines Abhebens der Ecken werden in der Platte sogenannte Drillmomente erzeugt, also Momente in den Ecken in diagonaler Plattenrichtung.

Zur weiteren Information: FEM = Finite-Elemente-Methode (Finite-Element-Method). Ein rechnergestütztes, numerisches Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen an beliebig geformten Systemen (Decken, Stäbe, Balken, Wände, Schalen etc.). Die Struktur wird in eine endliche Anzahl von Teilgebieten einfacher Form aufgeteilt, meist kleine Quader oder Tetraeder (finite Elemente). Aufgrund der einfachen Geometrie jedes Elements kann mittels bekannter Ansatzfunktion das physikalische Verhalten berechnet werden. Über die Knoten werden die Schnittgrößen/Verformungen an das Nachbarelement übergeben.

Stand 29. Juni 2020

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Kapitel 1: Zweiachsig gespannte Platten

1.2

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Koordinatensysteme bei Platten

ebenes Koordinatensystem:

x z

räumliches Koordinatensystem: x y

z

Zweiachsig gespannte Platten bilden erstmalig den Übergang von der Ebenen zur räumlichen Statik: ebenes System am Beispiel Balken:

x

z räumliches System am Beispiel Platte: x z

y Sonderfall Platte: Eine Platte kann hinsichtlich ihrer Geometrie generell als Draufsicht dargestellt werden, also im x-y - Koordinatensystem. Lediglich die Verformungen treten aus der Ebene heraus in z-Richtung auf. Dennoch werden Platten eben und nicht 3d dargestellt: x Darstellung der Spannrichtung der Platte

y Stand 29. Juni 2020

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Kapitel 1: Zweiachsig gespannte Platten

1.3

Architektur · Bauingenieurwesen · Geomatik

Unterschiede zwischen einachsig- und zweiachsig gespannten Platten einachsig gespannte Platte

zweiachsig gespannte Platte

lx

lx x

x mx,y mx,y

Auflager ly

ly

mx my my mx,y

mx,y

y

y

Drillmomente in den Ecken

• Die Lasten werden über einachsige Biegung zu den Auflagern abgetragen.

• Die Lasten werden an...