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Formelsammlung Massivbau I nach Eurocode 2

Zusammenfassung der Mitschriften aus der Vorlesung Massivbau I/1 und Massivbau I/2 bei Prof. Kühlen

INHALTSVERZEICHNIS 2

GRUNDLAGEN UND BAUSTOFFE...............................................................5

2.1

Stahlbeton ................................................................................................................... 5

2.2

Zusammenwirken von Stahl und Beton am Zugstab .............................................. 5

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3

Baustoffkennwerte, Werkstoffmodelle ..................................................................... 5 Beton ............................................................................................................................. 5 Betonstahl ..................................................................................................................... 6 Verbundverhalten .......................................................................................................... 7

2.4

Tragverhalten eines Stahlbeton-Druckstabes ......................................................... 7

2.5 2.5.1 2.5.2

Tragverhalten eines Stahlbeton-Zugstabes ............................................................. 8 Im ungerissenen Zustand (Zustand I) ........................................................................... 8 Im gerissenen Zustand (Zustand II) .............................................................................. 8

2.6 2.6.1 2.6.2

Tragverhalten eines Stahlbeton-Biegestabes .......................................................... 8 Im ungerissenen Zustand (Zustand I) ........................................................................... 8 Im gerissenen Zustand (Zustand II) .............................................................................. 8

3

BEMESSUNGS- UND SICHERHEITSKONZEPT...........................................9

3.1 3.1.1 3.1.2

Bemessungskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ................................................ 9 Bauteilwiderstand .......................................................................................................... 9 Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit .............................................................. 9

4

BIEGEBEMESSUNG VON STAHLBETONBAUTEILEN..............................10

4.1

Allgemeines ............................................................................................................... 10

4.2

Definitionen ............................................................................................................... 10

4.3

Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit ....................................................... 10

4.4

Berechnung der inneren Kräfte aus einer Grenzdehnungsebene ....................... 11

4.5

Bemessungstafeln und Diagramme für Biegebemessung „Rechteckquerschnitt“ ............................................................................................. 11 Das allgemeine Bemessungsdiagramm ..................................................................... 12 Bemessungstabelle mit dimensionslosen Beiwerten für Biegung und Biegung mit Längskraft ohne Druckbewehrung .............................................................................. 12

4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1

Bemessung mit Druckbewehrung ........................................................................... 12 Bemessungstafeln für die Biegebemessung mit Druckbewehrung → ω-Tafel .......... 13

5

SYSTEMANNAHMEN UND SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG ...................14

5.1

Ablauf einer statischen Berechnung ...................................................................... 14

5.2

Tragwerksidealisierung ............................................................................................ 14

5.3

Statisches System und Stützweiten für 1-achsig gespannte Deckenplatten und Unterzüge .................................................................................................................. 14

2

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3

Verfahren zur Schnittgrößenermittlung.................................................................. 15 Das linear-elastische Berechnungsverfahren ............................................................. 15 Das linear-elastische Berechnungsverfahren mit Momentenumlagerung .................. 16 Mindestmoment bei monolitischer Verbindung mit der Unterkonstruktion ................. 17

6

QUERKRAFTBEMESSUNG ........................................................................18

6.1

Allgemeine Betrachtungen ...................................................................................... 18

6.2

Tragverhalten ohne Querkraftbemessung – Zahnmodell nach Kani .................. 18

6.3 6.3.1

Tragmodell mit Querkraftbemessung – Fachwerkmodell .................................... 18 Stabkräfte am Fachwerkmodell und Nachweis .......................................................... 18

6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3

Querkraftbemessung nach DIN EN 1992 ................................................................ 19 Bauteile ohne Querkraftbewehrung ............................................................................ 19 Bauteile mit Querkraftbewehrung ............................................................................... 20 Querkraftdeckungslinie ............................................................................................... 22

6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3

Konstruktive Durchbildung der Biegebewehrung ................................................. 22 Zugkraftdeckungslinie ................................................................................................. 22 Verankerung (-slängen) der Zugbewehrung ............................................................... 23 Bewehrungsstoss ........................................................................................................ 24

7

BEMESSUNG VON PLATTENBALKEN ......................................................27

7.1

Begriffe und Tragverhalten ...................................................................................... 27

7.2

Ermittlung der effektiven Breite beff (bf) .................................................................. 27

7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3

Bemessung von Plattenbalken ................................................................................ 28 Verfahren mit dimensionslosen Beiwerten – ω-Tafeln für Plattenbalken ................... 28 Vereinfachte Bemessung ............................................................................................ 28 Querkraftbemessung .................................................................................................. 29

7.4 7.4.1 7.4.2

Anschluss von Druck- und Zuggurt / Schub am Plattenanschnitt / Schulterschub ........................................................................................................... 30 Anschluss Druckgurt (im Feld) .................................................................................... 30 Nachweis Zugflansch (über Stütze) ............................................................................ 30

8

BEMESSUNG VON DRUCKGLIEDERN ......................................................32

8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3

Bemessung von Druckgliedern ohne Berücksichtigung der Tragwerksform .... 32 Zentrisch belastete Druckglieder ................................................................................ 32 Konstruktion bügelbewehrter Druckglieder – Mindestabmessung ............................. 33 Bemessung für Drucknormalkraft mit kleiner Ausmitte ............................................... 35

8.2

Bemessung schlanker Druckglieder ....................................................................... 36

9

GRÜNDUNG ................................................................................................ 38

9.1

Allgemein →Skript .................................................................................................... 38

9.2

Gründungsarten →Skript ........................................................................................ 38

9.3

Tragverhalten von Fundamenten →Skript ............................................................ 38

9.4

Berechnungsverfahren →Skript .............................................................................. 38

3

9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4

Nachweis für Streifen- und Einzelfundamente →Skript ....................................... 38 Streifenfundament....................................................................................................... 38 Unbewehrte Einzelfundamente ................................................................................... 40 Bewehrte Einzelfundamente (zentrisch belastet) ....................................................... 40 Exzentrisch belastete Fundamente ............................................................................ 42

9.6 9.6.1 9.6.2

Querkraftnachweis.................................................................................................... 45 Nachweis für Bauteile ohne Durchstanzbewehrung ................................................... 45 Nachweis für Bauteile mit Durchstanzbewehrung ...................................................... 47

10

NACHWEIS DER RISSBREITE ................................................................... 48

11

BESCHRÄNKUNG DER DURCHBIEGUNG ................................................49

12

SONSTIGES.................................................................................................51

12.1

Lastannahmen ........................................................................................................... 51

12.2 12.2.1 12.2.2

Bewehrung ................................................................................................................ 51 Rundstahl .................................................................................................................... 51 Matten ......................................................................................................................... 51

12.3

Schwerpunkt Bewehrung ......................................................................................... 51

12.4

Mindestbetondeckung .............................................................................................. 51

4

2 Grundlagen und Baustoffe 2.1 Stahlbeton Stahl:

Beton: -

hat große Zugfestigkeit fyt hat ungefähr gleichen Temperaturausdehnungskoeffizienten wie Beton korrodiert! Verliert Festigkeit bei hohen Temperaturen hat große Druckfestigkeit schützt Stahl vor Hitze und Feuchtigkeit

Prinzip des Stahlbeton (StB): Die Baustoffe Beton und Stahl ergänzen sich zum Baustoff Stahlbeton. Beton übernimmt Druckspannung, dort wo im Bauteil Zug zu erwarten ist, ist Stahl anzuordnen, der beim Reißen des Beton freiwerdende Zugkräfte übernimmt. Der Beton schützt den Stahl vor Korrosion und schädlichen Temperaturen im Brandfall bei genügender Dicke und Dichte der Betondeckung. Verbundarten:  Haftverbund: Art Klebewirkung geht bei der geringsten Relativverschiebung zwischen Stahl und Beton verloren → unsichere Größe  Reibverbund: ist stark abhängig von der Pressung quer zum Bewehrungsstab. Reibverbund daher nur bei garantierter Querpressung zulässig.  Scherverbund: zuverlässigste Verbundart. Damit eine Relativverschiebung statt finden kann, müssen „Betonkonsolen“ zwischen den Rippen eines Stahlstabes abgeschert werden.

2.2 Zusammenwirken von Stahl und Beton am Zugstab siehe Skript

→ Zustand I → Zustand II

2.3 Baustoffkennwerte, Werkstoffmodelle Werkstoffmodelle beschreiben Zusammenhand zwischen Dehnung und Spannung.

2.3.1 Beton 2.3.1.1 Beton auf Druck Vereinfachtes Werkstoffmodell nach DIN EN 1992 Parabel-Rechteck-Diagramm

Kenngrößen:

fck charakteristische Betondruckfestigkeit εc2 = - 2,0 ‰ εc2u = - 3,5 ‰ normal fester Beton

5

2.3.1.2 Beton auf Zug Vereinfachte Rechenannahme

fct = 1/10 bis 1/15 von fck

fct Zugfestigkeit von Beton Die Zugfestigkeit darf beim Nachweis der Tragfähigkeit nicht angesetzt werden!

2.3.2 Betonstahl 2.3.2.1 Betonstahl auf Zug Vereinfachtes Werkstoffmodell nach DIN EN 1992 Bi-lineares Werkstoffmodell

εss = 2,5‰ (mit Sicherheit 2,17‰)

fyk charakteristische Festigkeit an der Streck-/Fließgrenze Es = 200 000 MN/m² fyd = fyk/γs Stahlsorten und Duktilität → siehe Skript

 uk  50 ‰ f tk / fyk  1,08

hochduktil

uk  25 ‰

ftk / fyk  1,05

normal duktil

6

2.3.3 Verbundverhalten Bemessungswert der Verbundspannung fbd: F F 1m       lv U ds lv zul 1m 

Δ = Schlupf

F(   0,1mm )  fbd Ulv

fbd (Skript Folie 13/14) ist abhängig von:  Oberfläche des Stahls (glatt/gerippt)  Festigkeitsklasse  Lage zur Betonierrichtung (→ gute / mäßige Verbundbedingung) Verankerungslänge lv: Zd lv  fbd  ds  

Ausnutzungsgrad

erf. As  1,0 vorh. A s

Grundmaß der Verankerung lb: d s  f yd lb  l v  4  fbd l b,net   a 

erf A s  lb vorh A s

 lb,min

l b,min  0,3   a  l b  10  d s

αa Faktor für Verankerungsmaß → Skript oder Faltblatt (1,0 oder 0,7)

2.4 Tragverhalten eines Stahlbeton-Druckstabes zentrisch = Kraft greift im Schwerpunkt an, nur Normalkraft als Schnittgröße

Zentrisch gedrückt ohne Knickgefahr   c  s 

σc

l l

c  2 ‰ c  2 ‰

→ σc und σs aus Werkstoffmodellen   c  f ck  1    c  fck

2     1 c     c 2  

 3,5 ‰ σs

 s   ss

 s   s  Es

 s   ss

 s  f yk

F  s  A s  c  A c

Stahlkraft

Betonkraft

Bruttoquerschnitt, wenn normalfester Beton auf Druck, sonst Nettoquerschnitt

7

2.5 Tragverhalten eines Stahlbeton-Zugstabes 2.5.1 Im ungerissenen Zustand (Zustand I)  c  fct l   c  s  l  s   s  Es c   c  Ec

fct Zugfestigkeit von Beton

Ai ideeller Betonquerschnitt Ac Nettoquerschnitt

F   c  A c  (1  n  )

Ai n

Es Ec



As Ac

 Ic 

Bewehrungsgrad

F Ai

 Is  n   c

2.5.2 Im gerissenen Zustand (Zustand II)  IIc  0

Im Riss:

 IIs 

bei Friss mittlere Zugfestigkeit (σ’s, σ’’s) verwenden

F As

Traglast (Bruchlast) ist erreicht, wenn  s  fyk  Fließspann ung !

2.6 Tragverhalten eines Stahlbeton-Biegestabes 2.6.1 Im ungerissenen Zustand (Zustand I) max  c  fct

 c ( z) 

M z Ic

s (zs ) 

2.6.2

M z s n Ic

mit

Ic 

b  h3 12

Im gerissenen Zustand (Zustand II) max  c  fct

Nachweis im Riss:

→ größte Betondruckspannung → größte Stahlzugspannung

Für reine Momentenbeanspruchung: Fc  Fs M Fs  mit z  0,9  d z

d statische Höhe

8

3 Bemessungs- und Sicherheitskonzept Ständige Einwirkungen = G / g Veränderliche Einwirkungen = Q / q Außergewöhnliche Einwirkungen = A Ed  Rd

Bei der Ermittlung der Bemessungswerte und Bauteilwiderstände werden Unsicherheiten in den Annahmen (System, Lasten, Material) durch Sicherheitsbeiwerte abgedeckt.

3.1 Bemessungskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten 3.1.1 Bauteilwiderstand Rd  Rcd  R sd

erst Schnittgrößen mit charakteristischen Schnittgrößen berechnen, dann γ und ψ0

Rcd  A c  cd R sd  A s  sd fcd 

fyd 

f ck  0,85 1,5 f yk

Dauerstandsfaktor αcc = 0,85 (berücksichtigt Zeit in der Last aufgetragen wird)

1,15

3.1.2 Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit 3.1.2.1 Die ständige und vorübergehende Bemessungssituation

Ed 



G

Ständige  Q Leitlast 



Q

 0  Veränderli che

jede veränderliche Last muss als Leitlast abwechselnd durchgespielt werden

3.1.2.2 Die außergewöhnliche Bemessungssituation Ed



 Ständige Außergewöhnliche  2 oder  1 Leitlast 

G



 Veränderliche

2,i

→  0 und  c siehe Faltblatt

9

4 Biegebemessung von Stahlbetonbauteilen 4.1 Allgemeines Biegebauteile: Balken (Unterzüge, Überzüge) Ed  Rd

 MEd  MRd

Querschnittsbemessung d = h - d1

4.2 Definitionen Index ‚1’ Index ‚2’ b h d d1 z

d immer auf halbe cm abrunden

= Zugseite d1 immer auf halbe cm = Druckseite aufrunden = Breite des Querschnitts = Höhe des Querschnitts = statische Höhe (Abstand Druckrand bis zur Schwerachse der Zugbewehrung) = Abstand des Schwerpunktes der Zugbewehrung zur Betonoberfläche = innerer Hebelarm (Abstand zwischen resultierender Betondruckkraft Fcd und Stahlzugkraft FSd1)

4.3 Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit Grenzdehnungen:  Beton: Betonstauchung auf Druckseite  c 2  3,5 ‰ c 2  2,2 ‰    Stahl: 25 ‰ S1u

bei Biegung bei zentr. Druck

Eine Grenzdehnungsebene liegt vor, wenn:  die Grenzdehnung für Beton auf der Druckseite erreicht ist,  die Grenzdehnung für Stahl in der Stahlfaser erreicht ist,  die Grenzdehnung für Beton auf der Druckseite und die Grenzdehnung in der Stahlfaser erreicht sind. Grenzdehnungsebene GE: → zugelassene Spannungen über Werkstoffmodelle → resultierende Spannungen → innere Kräfte Fcd, FSd1, FSd2 → innere Schnittkräfte → MRd, NRd Annahmen für die Berechnung der Spannungen:  Dehnungsverlauf über die Höhe h ist linear  Beton hat keine Zugfestigkeit !!!  Beton und Stahl haben in benachbarter Faser gleiche Dehnung

10

4.4 Berechnung der inneren Kräfte aus einer Grenzdehnungsebene x

 c2  c 2   s1

Fc,d

εc εs2

Druckzonenhöhe x: d

Fs2,d

x MEd

[m]

h d

NEd

Betondruckkraft Fcd: Fcd   R  f cd  x  b

[MN]

εs1

Fs1,d

d1

αR [-] Völligkeitsbeiwert, abhängig von der Randdehnung εc2 → siehe Skript x [m] Druckzonenhöhe b [m] Breite der Druckzone Völligkeitsbeiwert zur Ermittlung 0,85  fck fcd [MN/m²]  der mittleren Betondruckspannung 1,5 ε = - 2,0 ‰ → α ~ 0,67 c2

R

εc2 = - 3,5 ‰ → αR ~ 0,80

Angriffspunkt a der Betondruckkraft Fcd: a  ka  x

ka [-] x [m]

[m]